يعد المثلث شكلا هندسيا يتكون من ثلاثة أضلاع وثلاثة زوايا، وقد تختلف قياسات الزوايا في المثلث حسب شكله، ولكن مجموع زوايا المثلث يساوي 180 درجة، ويصنف أي مثلث إلى نوعين حسب أطوال الأضلاع وحسب قياس الزوايا.
أنواع المثلثات
يمكن تصنيف المثلث حسب الأضلاع إلى مثلث متساوي الأضلاع، ومثلث مختلف الأضلاع، وآخر متساوي الساقين، كما يمكن تصنيف المثلث حسب زواياه إلى مثلث حاد الزاوية وهو المثلث الذي يكون مجموع زواياه أقل من 90 درجة، أما المثلث منفرج الزاوية فيكون قياس إحدى زواياه الثلاثة أكبر من 90 درجة وأقل من 180 درجة، بينما المثلث القائم الزاوية فيكون قياس أي زاوية من زواياه يساوي 90 درجة.
خصائص المثلث
يتميز المثلث، كما تتميز أشكال هندسية أخرى، بمجموعة من الخصائص التي تميزه، ومن بين تلك الخصائص:
تقع الزوايا المتساوية مقابل الأضلاع المتساوية والعكس.
يساوي مجموع زوايا المثلث 180 درجة، مما يعني أن لديه زاويتان قائمتان ويبلغ قياس كل منهما 90درجة.
لا يحتوي المثلث ذو الزاوية المنفرجة على أكثر من زاوية قائمة.
المثلث المنفرج لا يحتوي على أكثر من زاوية واحدة منفرجة.
5- في أي مثلث لا توجد أقطار.
في أي مثلث، يكون أطول ضلع مقابل لأكبر زاوية طرفًا إلى القياس.
يساوي مقدار قياس الزاوية الثالثة في أي مثلث مجموع قياس أي زاويتين داخلية فيه.
في أي مثلث، تكون الزوايا المتناظرة متطابقة، في حين تكون الأضلاع المتناظرة متساوية الطول.
نظريات في المثلثات
تنصف زاوية الرأس في أي مثلث متساوي الأضلاع ينصف القاعدة ويكون عموديًا عليها.
تكون الزاوية الخارجية في المثلث أكبر من أي زاوية داخلية، باستثناء الزاوية المجاورة لها.
يواجه الضلع الكبير في أي مثلث زاويته الكبيرة، والعكس صحيح.
إجمالي أي ضلعين في المثلث يكونان أكبر من الضلع الثالث، ويكون الفرق بين أي ضلعين أصغر من ضلع المثلث الثالث.
تتمم الزاوية الخارجية المثلث بالزاوية الداخلية الملتصقة بها بحيث يكون مجموعهما 180 درجة.
قانون محيط المثلث ومساحته
مساحة المثلث
لحساب مساحة المثلث، يوجد قاعدة معروفة لحساب مساحة المثلث ويمكن تطبيقها على جميع المثلثات، وهي:
يساوي مساحة المثلث نصفطول القاعدة مضروبًا بالارتفاع
مساحة المثلث يساوي (طول القاعدة × الارتفاع) ÷ 2
مساحةالمثلث القائم الزاوية = نصف طول ضلع الزاوية القائمة
مساحة المثلث المتساوي الأضلاع = (الضلع × الجذر التربيعي 3) ÷ 4
أمثلة على حساب مساحة المثلث
مثال: إذا كان لدى مثلث متساوي الساقين ضلع طوله 8 سم وقاعدة طولها 8 سم وارتفاعه 8 سم، فإن مساحته تساوي كم؟
باستخدام قانون مساحة المثلث، فإن يساوي مساحة المثلث نصفطول القاعدة مضروبًا بالارتفاع = ٤ × ٨ = ٣٢ سم²
مساحة المثلث = (طول القاعدة × الارتفاع) ÷ 2 = 8 × 8 = 64 ÷ 2 = 32 سم مربع.
على سبيل المثال، يتم حساب مساحة مثلث قائم الزاوية الذي يكون طول ضلعه القائم يساوي 8 سم وطول قاعدته القائمة يساوي 8 سم .
مساحة مثلث قائم الزاوية = طول ضلع الزاوية القائمة ÷ 2 = طول ضلع القائم × طول ضلع القاعدة ÷ 2 = 8 × 8 = 64 ÷ 2 = 32 سم مربع
ملاحظة
في المثلث القائم الزاوية، عندما يكون طول إحدى الأضلاع مجهولا، يمكننا الحصول على قيمة المجهول باستخدام قانون فيثاغورس، والذي يقول أن مربع طول الوتر يساوي مجموع مربعات أطوال الضلعين القائمين.
محيط المثلث
قبل حساب محيط أي مثلث، يجب أولاً إيجاد القيمة الصحيحة التي تمثل محيطه، ويتم ذلك عن طريق:
يتم معرفة قيم جميع أضلاع المثلث، ثم كتابة قانون محيط المثلث الذي يساوي مجموع أطوال أضلاعه.
أمثلة على حساب محيط المثلث :
مثال : في مثلث متساوي الأضلاع، إذا كان طول أحد الأضلاع يساوي 10 سم، فإن محيط المثلث يساوي 35 سم
محيط المثلث يساوي (10 × 2 + 15) = 35 سم.
مثال : في مثلث متساوي الأضلاع، وإذا كان طول أحد الأضلاع 10 سم، فما هو محيط المثلث؟
محيط المثلث يساوي (10 x 3) ويساوي 30 سم.