بحث عن المثلثات المتشابه

تتمثل ظاهرة تشابه المثلثات في الرياضيات عندما تكون مقاييس ضلعين متقابلين في مثلثين متطابقين، وعندما تكون مقاييس الضلعين في مثلث واحد متطابقة مع المضلعين المقابلين في مثلث آخر، وإذا كانت الزوايا المتضمنة متساوية فإنها تكون متشابهة .

تعريف المثلث 

المثلث هو شكل هندسي أساسي في الرياضيات، وينشأ عند رسم قطع مستقيمة (تسمى الأضلاع) تصل بين ثلاث نقاط غير متعامدة (تمثل الرؤوس)، وهو شكل مغلق يتكون من ثلاثة أضلاع وثلاث زوايا. وللمثلث ستة عناصر: ثلاثة أضلاع وثلاث زوايا، ومجموع زوايا المثلث الداخلية يساوي 180 درجة. وفي أي مثلث، يكون مجموع طولي أي ضلعين دائما أكبر من طول الضلع الثالث .

نبذة عن المثلثات المتشابهة

– تكون المثلثات متشابهة إذا كان لها نفس الشكل ، و لكن ليس بالضرورة بنفس الحجم ، و يمكنك التفكير في الأمر على أنه “تكبير” أو جعله المثلث أكبر أو أصغر ، و لكن مع الحفاظ على شكله الأساسي ، في الشكل أدناه ، بينما تقوم بسحب أي قمة على مثلث PQR ، يتغير المثلث الآخر ليكون بنفس الشكل ، و لكن نصف الحجم .

بالإمكان القول أن المثلثين متشابهين في الحالات التالية: إذا كان لديهما نفس الشكل، وإذا كانت أطوال الأضلاع المتناظرة متساوية، وإذا كانت قياسات الزوايا المتناظرة متساوية .

خصائص المثلثات المتشابه

تكون الزوايا المقابلة متطابقة (بنفس المقياس)، وفي الشكل المبين أدناه، تكون الزاوية P = P` و Q = Q` و R = R`.
يتميز الأطراف المقابلة بنسبة متساوية ، وبالتالي فإن الأزواج الأخرى من الجانبين يتمتعون بنفس النسبة ، وتتزامن العلاقات العامة مرتين في المثلثين المتشابهين PQR و P`Q`R` بين PR وP`R و RQ وR`Q .

الأجزاء المشتركة في المثلثات المتشابه

يمكن أن يكون المثلثان متطابقين في الشكل، حتى لو كانا يحتويان على بعض العناصر المشتركة، وفي بعض المثلثات يشبه المثلث الأكبر PQR المثلث الأصغر STR، حيث تكون S و T هما النقطتان الوسطيتان للجوانب QR و PR على التوالي، ويشتركان في الزاوية R وجزء من الجوانب PR و QR، وتكون الشبه بينهما على أساس AAA، نظرا لأن الزوايا المقابلة في كل مثلث هي متساوية .

نبذة عن المثلثات المتطابقة 

– يحدث التطابق في أي مثلثين إذا تساوت أطوال أضلاعهما المتناظرة و أيضًا تساوت قياسات زواياهما المتناظرة ، و هناك حالات معينة نستطيع أن نعرف من خلالها إذا كان هناك تطابق و هي كالتالي : (ضلع ، ضلع ، ضلع) ، و يقصد بهذه الحالة أن المثلثين يتطابقان إذا كان لهما ثلاثة أضلاع متماثلة و متساوية في القياس ، (ضلع ، زاوية ، ضلع) يتطابق المثلثان إذا تساوى فيهما طول ضلعين و زاوية محصورة بينهما ، و يشترط أن تكون محصورة ، (زاوية، زاوية، ضلع) إذا تساوى طول ضلع و زاويتين في المثلث الأول ، مع طول ضلع و زاويتين متناظرتين في المثلث الثاني .

قوانين قياس المثلثات 

مساحة المثلث

مساحة أي مثلث يساوي نصف طول القاعدة مضروبا في الارتفاع، والارتفاع هو الخط المستقيم المرسوم من إحدى الزوايا الى الضلع المقابل، وهو يشكل زاوية قائمة مع القاعدة، وبالتالي فإن مساحة المثلث تساوي نصف ضرب القاعدة في الارتفاع .

محيط المثلث 

يساوي مجموع أطوال الأضلاع الثلاثة للمثلث محيطه، شريطة أن تكون وحدات القياس متساوية .
– محيط المثلث = طول الضلع الأول + طول الضلع الثاني = طول الضلع الثالث .

نظرية فيثاغورث 

نظرية فيثاغورث هي واحدة من النظريات الرياضية الشهيرة جدا، والتي قام بوضعها العالم اليوناني الشهير فيثاغورث، وتستخدم فقط في المثلث القائم الزاوية، حيث تفيد بأن مساحة المربع الذي يتكون على الوتر يساوي مساحة المربعين على ضلعي الزاوية القائمة. يمكن صياغتها أيضا على النحو التالي: مربع طول الوتر = مربع طول الضلع الأول + مربع طول الضلع الثاني. إذا كان ABC مثلثا قائم الزاوية في B، فإن العلاقة بين طول الأضلاع هي (AC)² = (AB)² + (BC)² .