تعد الأعداد أو العدد كما يطلق عليه علماء الرياضيات من الكائنات الرياضية الأساسية التي يتم استخدامها في عمليات العد والقياس، وقد شهدت المراحل التطورية للإنسان الثقافية تطورا في تقسيم الأعداد إلى مجموعات، والتي تعرف بالأنظمة العددية.
ما هي مجموعات الأرقام أو الأنظمة العددية ؟
مجموعة الأعداد الطبيعية ( ط )
مجموعة الأعداد الطبيعية هي أول مجموعات الأعداد وأقدمها، وهي تمثل الأعداد الصحيحة الموجبة بالإضافة إلى الصفر، ويطلق عليها أيضا مجموعة أعداد العد، ويرمز لأعدادها بالرمز Z+، باستثناء الصفر الذي يعد عددا لا سالب ولا موجب.
مجموعة الأعداد الصحيحة ( ص )
لم تكن مجموعة الأعداد الطبيعية كافية أو مرضية للرياضيين بسبب التطور الكبير الذي شهدته العلوم الرياضية، لذلك ظهرت الحاجة إلى مجموعة أوسع من مجموعات الأعداد، حيث ظهرت مجموعة الأعداد السالبة، وبالتالي اضطررنا إلى وجود مجموعة جديدة تضمها، وظهرت مجموعة الأعداد الصحيحة التي تمثل اتحادا بين مجموعة الأعداد الصحيحة الموجبة Z+ والصفر ومجموعة الأعداد الصحيحة السالبة Z.
مجموعة الأعداد الكسرية أو النسبية أو القياسية ( ن )
لم تعد الأعداد مقتصرة على الأعداد الصحيحة مع تطور العلوم الرياضية ، حيث أصبح من الضروري استخدام الكسور. ظهرت الحاجة إلى مجموعة أوسع تضم الأعداد الكسرية ، المعروفة أيضا بالأعداد النسبية أو القياسية. ظهرت المجموعة الجديدة وهي مجموعة الأعداد النسبية ، حيث يتم تمثيل الأعداد على شكل نسبة بين عددين ، بما في ذلك الأعداد الصحيحة.
مجموعة الأعداد الحقيقية ( ح ) (Real Numbers )
المجموعة الشاملة أو الحاوية تضم جميع مجموعات الأعداد السابقة المذكورة، ويتم التعبير عن الأعداد فيها بالشكل العشري، فهي تشمل الصفر والأعداد الصحيحة الموجبة والسالبة والكسرية أو النسبية.
مجموعة الأعداد المركبة (Complex Numbers )
تمثل مجموعة الأعداد المركبة تقسيما حديثا لمجموعات الأعداد وتعتمد على عدد أساسي يعرف بالعدد التخيلي، ويرمز له بالرمز i، ويتكون العدد المركب أو العدد العقدي من أعداد حقيقية وعدد تخيلي، لذا صيغة كتابته تكون كالتالي (a+bi) وتعبر a و b عن أعداد حقيقية بينما i تعبر عن العدد التخيلي أو الوحدة التخيلية، ويرمز لها في اللغة العربية بالحرف (ت)، ومن هنا يطلق عليها مجموعة الأعداد التخيلية.
ما هو العدد التخيلي؟
العدد التخيلي هو العدد الذي يعتبر الجذر التربيعي للعدد -1 أو بمعنى أكثر دقة هو الجذر التربيعي السالب لأي عدد، والذي يعني أن العدد الحقيقي تتم إدارته في عكس الاتجاه حول نقطة الأصل بزاوية مقدارها 180 درجة، أو يمكننا القول بأن الأعداد التخليلية أو كما يسميها البعض الوحدات التخيلية هي التي تسمح لنا بإيجاد جذر واحد على الأقل لكثيرات الحدود د(س).
ظهور العدد التخيلي أو الحاجة إلى وجوده جاء نتيجة عدم القدرة على حل بعض أنواع المعادلات، وعلى رأسها المعادلات التكعيبية.
كيف تمثل الرقم التخيلي
لتمثيل الأعداد التخيلية، يتطلب الأمر مستوى إحداثي ديكارتي ثنائي الأبعاد، والذي يطلق عليه المستوى العقدي أو رسم أرغند البياني. ويحتوي هذا المستوى على محورين متعامدين، حيث يتم تمثيل الأعداد الحقيقية على أحدهما، في حين يتم تمثيل الأعداد التخيلية على المحور العمودي.
أهمية الأعداد التخيلية أو الأعداد المركبة
تعتبر أهمية هذا النوع من الأرقام مرتبطة باستخدامات عديدة في الحياة الواقعية، مثل تطبيقات الكهرباء الحالية المترددة، وكذلك في التكنولوجيا الخلوية والتقنيات اللاسلكية، وحتى في مجالات أخرى مثل الرادار وموجات الدماغ في البيولوجيا. بالإضافة إلى ذلك، تستخدم في العمليات والمعادلات الرياضية المتقدمة، وتكامل وتفاضل الطائرات
تنطبق على الأعداد التخيلية تقريبًا نفس قواعد العمليات التي تطبق على الأعداد الحقيقية، حتى عمليات التبسيط، وكذلك قواعد الأسية.
لم تخل الرواية والثقافة من ظهور الأعداد التخيلية، وظهرت في رواية روبرت لانغدون بعنوان (شفرة دافنشي)، حيث كانت صوفي نفيو تعتقد بأنه يوجد ما يعرف بالعدد الخيالي. كما ظهر استخدام الأعداد التخيلية في القصة القصيرة (الخيال) للمؤلف إسحاق أسيموف، والتي وصف فيها الأرقام والمعادلات الوهمية لسلوك نوع من الحبار.
لماذا سميت الأعداد التخيلية بهذا الاسم
جاءت هذه التسمية من المعارضين لفكرة هذا النوع من الأرقام، وكانت عبارة عن سخرية ورفض لها، وظل الاسم مرتبطًا بهذا النوع من الأعداد واشتُهر به.
وجاءت أسباب الرفض لهذا النوع من الأرقام بأنها أرقام غير موجودة في الواقع، ولكنها لا تزال طريقة جيدة للتعبير عن أمور واقعية في الحياة، ويظهر ذلك جليا في المجالات أو الميادين التي تتطلب استخدام الأرقام المركبة، وهنا لا يوجد أي تعارض في استخدام الأرقام التخيلية أو الأرقام غير الموجودة في الواقع لوصف أمور واقعية .
الأساس هنا هو القدرة على الوصول إلى نتائج نهائية مرضية من خلال هذه الأرقام. فعلى الرغم من أن النموذج الرياضي يستخدم للتعبير عن الحقيقة، إلا أنه ليس الحقيقة بحد ذاتها. وإذا كانت هناك انتقادات أخرى بشأن استخدام تلك الأرقام، فلماذا يقبل العالم فكرة الأرقام السالبة، على الرغم من عدم وجود ما يعرف بالأرقام السالبة في الواقع؟ وبالإضافة إلى ذلك، فإن العلوم الرياضية تعترف دائما بقدرة العقل على قبول ما يتخطى الواقع بكثير.
ملحوظة : تتمتع جميع المجموعات السابقة بخاصية هامة تتمثل في تمتدها إلى ما لا نهاية.