أنواع المعادلات الجبرية و طرق استخدامها

يوجد خمسة أنواع رئيسية من المعادلات الجبرية، وهي مختلفة في موضع المتغيرات وأنواع الحلول والوظائف المستخدمة وسلوك الرسوم البيانية الخاصة بها. لكل نوع من المعادلات مدخلات متوقعة مختلفة وينتج مخرجات بتفسير مختلف. تدل الاختلافات والتشابهات بين الأنواع الخمسة من المعادلات الجبرية واستخداماتها على تنوع وقوة العمليات الجبرية.

أنواع المعادلات الجبرية

معادلات متعددة الحدود

المعادلات الأحادية والمعادلات متعددة الحدود هي معادلات تتألف من مصطلحات متغيرة مع عدد من الأسيات. وتصنف المعادلات متعددة الحدود حسب عدد المصطلحات في التعبير، فبعضها يحتوي على مصطلح واحد، والتعبيرات ذات الحدين تحتوي على فصلين، وبعض المعادلات لها ثلاثة فصول. يطلق على التعبيرات التي تحتوي على أكثر من مصطلح اسم “متعدد الحدود”، وتصنف كذلك متعددات الحدود حسب الدرجة، وهي الأس الأعلى في المعادلة. تسمى المعادلات متعددة الحدود ذات الدرجة الأولى والثانية والثالثة بالتربيعية والتكعيبية والخطية على التوالي، وتسمى المعادلة x ^ 2 – x – 3 تربيعية، وتستخدم المعادلات التربيعية عادة في الجبر الأول والثاني.

المعادلات الأسية

تمييز المعادلات الأسية عن طريق وجود مصطلحات متغيرة في الأسس. مثالا على المعادلة الأسية هو y = 3 ^ (x – 4) + 6. يتم تصنيف الدوال الأسية كنمو أسي إذا كان للمتغير المستقل معاملا موجبا، وتصنف كتفسخ أسي إذا كان له معاملا سلبيا. يستخدم معادلات النمو المتسارع لوصف انتشار السكان والأمراض، بالإضافة إلى المفاهيم المالية مثل الفائدة المركبة (صيغة الفائدة المركبة: Pe ^ (rt)، حيث P هو العنصر الأساسي، و r هو سعر الفائدة، و t هو مقدار الوقت). وتصف معادلات الاضمحلال الأسي الظواهر مثل الاضمحلال الإشعاع.

معادلات لوغاريتمية

الدوال اللوغاريتمية هي عكس الدوال الأسية. وبالنسبة للمعادلة y = 2 ^ x، فإن الدالة العكسية تكون y = log2 x. وتعبر قاعدة اللوغاريتم log b عن الرقم الذي يجب رفعه للحصول على العدد x. على سبيل المثال، log2 16 يساوي 4 لأن 2 مرفوعة للقوة الرابعة تكون 16. ويستخدم العدد المتسلسل “e” كقاعدة اللوغاريتم، وتسمى قاعدة اللوغاريتم e بالعادة اللوغاريتم الطبيعي. وتستخدم المعادلات اللوغاريتمية في العديد من أنواع مقاييس الشدة، مثل مقياس ريختر للزلازل ومقياس الديسيبل لشدة الصوت. ويستخدم مقياس الديسيبل قاعدة log 10، مما يعني أن زيادة ديسيبل واحدة تعادل زيادة بمقدار عشرة أضعاف في كثافة الصوت.

المعادلات البوليانية

المعادلات البولينومية هي معادلات جبرية من النموذج p(x)/q(x)، حيث كلاهما متعدد الحدود، ومثال على ذلك هو (x-4)/(x^2-5x+4)، وتمتاز هذه المعادلات بوجود خطوط مقاربة، والتي تمثل القيم y و x التي يقترب منها الرسم البياني للمعادلة، ولكنها لا تصل إلى القيمة المحددة أبدا. ويمثل الخط المقارب الرأسي للمعادلة البولينومية القيمة x التي لا يصل إليها الرسم البياني، بينما تتجه القيمة y إما إلى اللانهاية الإيجابية أو السلبية عندما تقترب قيمة x من الخط المقارب، ويمثل الخط التقارب الأفقي القيمة ص التي يقترب منها الرسم البياني عندما تنتقل قيمة x إلى اللانهاية الإيجابية أو السلبية.

المعادلات المثلثية

تحتوي المعادلات المثلثية على الدوال المثلثية sin ، cos ، tan ، sec ، csc و cot. تصف الدوال المثلثية النسبة بين جانبي المثلث الأيمن ، مع أخذ قياس الزاوية كمدخل أو متغير مستقل و نسبة كمتغير الإخراج أو المتغير ، و على سبيل المثال ، يصف y = sin x نسبة الجانب المقابل للمثلث الأيمن إلى الوتر لزاوية القياس x ، و تختلف الدوال المثلثية في أنها دورية ، أي أن الرسم البياني يتكرر بعد فترة معينة من الزمن ، و الرسم البياني لموجة جيبية قياسية لديه فترة 360 درجة.

المعادلات الجبرية

تعد المعادلات الجبرية من أهم الاختراعات التي قدمها العرب المسلمون في العصر الذهبي، وكان الخوارزمي هو أشهر من قام بشرح هذه المعادلات، ولذلك تم تسمية بعض المعادلات بأسمائه “الخوارزميات”، وتعد هذه المعادلات أحد الأسس الأساسية التي يقوم عليها علم الجبر، وهو العلم الذي يعد أحد أهم العلوم التي تقوم عليها الرياضيات، وقد قدم الخوارزمي العديد من المعادلات الهامة والقواعد الأساسية بالإضافة إلى اسهاماته في العديد من المجالات الأخرى، مثل الفلك والطب وغيرها.