شرح درس حل المعادلات التربيعية بيانيا

تعد مسألة حل المعادلات التربيعية واحدة من أهم المسائل الرياضية، والتي لا يخلو منها أي امتحان، وذلك بسبب أهميتها الكبيرة للطلاب. فهذا الدرس موجود في الفصل الثامن من مادة الرياضيات في الصف الثالث المتوسط، وبعده يطلب تمثيل تلك المعادلات التربيعية بيانيا، أي على الرسم البياني، لمعرفة مجموعة الحلول للمسألة. ولذلك، قررنا شرح هذا الموضوع بشكل مفصل للوصول إلى المجموعة النهائية للحلول ومعرفة طريقة رسم المعادلة التربيعية على شكل منحنى. فلنبدأ التوضيح .

يجب معرفة :

و قبل شرح هذا الدرس من الضروري أن يكون لديك معرفة سابقة ، بطريقة حل المعادلات التربيعية و ذلك بالتحليل إلى العوامل ، و يجب أن تكون قد سبق و درستها ، لأنها من أهم الخطوات التي سوف تساعدنا ، في الوصول إلى حل المعادلات التربيعية و تمثيلها على الرسم البياني ، كما أننا سوف نتمكن أيضا من حل المعادلات التربيعية من خلال التمثيل البياني ، و يجب معرفة أيضا الجذر المكرر و هو من أهم مفردات الرياضة في هذا الدرس .

حل المعادلات التربيعية بالتحليل إلى العوامل

لمعرفة طريقة حل المعادلات التربيعية بيانيًا، يجب ذكر نبذة وطريقة الحل التحليلي الذي يتضمن تحليل المعادلات إلى عواملها، وسنشرح هذه الطريقة في السؤال التالي:

حل المعادلة س² – 6س + 5 = صفر ، بالتحليل إلى عوامل

الإجابة :

نرى تركز المسألة في الطرف الأيمن من المعادلة و الطرف الأيسر هو يحتوي على الصفر و المعروف أنه يكون مقداره ثلاثي حدود تربيعي ، و ذلك لكي نتمكن من حل هذه المعادلة فإنه يجب العثور على رقمين و الذي يكون حاصل ضربهما 5 و مجموعهما – 6 ، و وفقا لهذه الأرقام فإن الرقمين هما – 1 ، – 5 .

إذن فإنه يمكننا أن نقول س²  6 س +5 = صفر تتحول إلى هذا الشكل بالتعويض ( س – 5 ) (س – 1 ) = 0

لدينا مقداران يتضمنان حاصل ضربهما يساوي الصفر، وهذا يعني أن أحد المقدارين أو كلاهما يساويان الصفر، لذلك يجب التعويض ومعرفة قيمة كل من المقدارين، وبهذه الطريقة، سنجد أن:

س = 5       أو     س = 1

إذا قمنا بالتعويض في المعادلة الأصلية، سنحصل على النتيجة الصحيحة .

مثال أخر :

حلل المعادلة س² – 7 س – 18 = صفر

الإجابة :

س² – 7 س – 18

( س – 9 ) ( س + 2 ) = صفر

إذن سوف تكون س = 9    أو    س = – 2

حل المعادلات التربيعية بيانيا

و هذا النوع من المسائل يتكلم عن المسار المنحني ، و الذي يتمثل على محور السينات و محور الصادات ، و ذلك فإذا كانت الدالة ص = أس² + ب س + جـ ، حيث أن تكون س هي المسافة الأفقية التي يقطعها المنحنى أما ص فهي تعبر عن الارتفاع على محور الصادات ، و بذلك فإنه يمكننا رسم محور السينات الأفقي و الذي يقطعه محور الصادات الرأسي مكون تمثيل بياني و الذي سوف نستخدمه لمعرفة مقدار المنحنى و إحداثياته .

كيف نحل المعادلة التربيعية بيانيا

و من المعروف أن القانون الرئيسي للمعادة التربيعية هو : أ س² + ب س + جـ = صفر ، و ذلك حيث أن أ لا تساوي صفر ، و من الممكن كتابة الدالة التربيعية على هيئة معادلة و يمكن استبدال ص أو دالة (س) بالصفر ، و من الجدير بالذكر أيضا أنه يمكن أن يكون للمعادلة حلان أو حل واحد حقيقي و التي تكون هي مجموعة الحل أو لا يوجد أي حلول حقيقية ، و الرسم التالي يوضح  أشكال المنحنيات على الرسم البياني الثلاثة و التي يمكن أن تكون حل المسألة واحدة منها .

مثال :

حل المعادلة التربيعية بيانيا

س ² – 2س – 3 = صفر

الإجابة :

دالة (س) = س² – 2س – 3

لذلك، المقطع الصادي يساوي -3

و قانون محور التماثل هو  : س = 2أ/-ب = 2(1)/-2 = 1

إذن فإن محور التماثل = 1

و عند التعويض يكون : دالة (1) = 1 ² – 2 (1) – 3 = 1 – 2 – 3 = – 4

فإن رأس المنحنى يكون عند (1، -4)

نحدد هذه النقطة على الرسم البياني، ثم نقوم بتجربة تعويض النقطة س = 3 وص = صفر لمعرفة ما إذا كان المنحنى يمر بالنقطة (3،0) أم لا

د (3) = 3  ² – 2(3) – 3 = – 9 – 6 – 3 = صفر

نعم، يمر المنحنى عند النقطة (3، 0) وسنقوم برسمها على الرسم البياني

نقوم بتحديد النقطة الأخرى للتقاطع بأنها تبعد نفس المسافة عن محور التماثل، ومن ثم فإن هذه المعادلة لها حلان حقيقانيان ومجموعة الحلول هي { 3، -1 }

الرسم التالي يوضح الرسم البياني لحل هذه المسألة .