يتميز وجود الأعداد في حياتنا العملية بعدة خصائص، ولذلك لا يمكننا تصور حياتنا بدونها، وسنوضح هذه الخصائص من خلال بحثنا حول الأعداد الطبيعية.
مقدمة بحث عن خصائص الاعداد الحقيقيه
الأعداد الحقيقية هي عبارة عن مجموعة من الأعداد النسبية والغير نسبية المتحدة مع بعضها البعض بشكل غير متناهي، وخطوط الأعداد الحقيقية هي عبارة عن خطوط أفقية تحتوي على مجموعة من السلاسل التي تجمع ما بين الأعداد الموجبة والأعداد السالبة والصفر، وتتميز الأعداد الحقيقية أن لا نهاية لها سواء في الأعداد الموجبة أو الأعداد السالبة.
خصائص الأعداد الحقيقية
تتميز الأعداد الحقيقية بمجموعة من الخصائص مثل:
– الأعداد الطبيعية تشمل جميع الأعداد الموجبة بما فيهم الصفر وتقع بين الصفر واللانهاية من الأعداد الموجبة، والعدد الموجب هو العدد الموجود على يمينه إشارة الموجب.
الأعداد الصحيحة هي الأعداد التي تقع بين اللانهاية الموجبة واللانهاية السالبة مرورًا بالصفر، ولا تشمل الأعداد الموجبة أو السالبة.
الأعداد النسبية هي أي عدد يتكون من بسط ومقام، على أن يكون المقام غير يساوي الصفر.
الأعداد غير النسبية هي تلك الأعداد التي لا تنتهي ولا تتكرر، وهي الأعداد الموجودة تحت جذر التربيعي.
مثال توضحي
الأعداد التي يمكن أن نمثلها أ، ب، ج وتكون كالتالي:
الأعداد (أ+ب) و (أ-ب) هي عددين حقيقيين، على سبيل المثال (3=1+2)، حيث إن العدد 3 هو عدد حقيقي، وكذلك (1=1-2) وهو أيضًا عدد حقيقي.
عندما يكون b لا يساوي الصفر، فإن (أ×ب) و (أ/ب) يساويان عددًا حقيقيًا، على سبيل المثال (2=2×1).
يُعَدُّ العدد صفر عددًا حقيقيًا، حيث يُمثل العنصر المحايد في عملية الجمع، مثلًا (5=0+5).
العدد 1 هو عدد حقيقي لأنه يعد عنصرًا محايدًا في عملية الضرب، ومثال على ذلك هو (5=1×5).
يتمثل النظير الجمعي لأي عدد حقيقي في عدده العكسي، على سبيل المثال، النظير الجمعي للعدد (أ) هو (-أ).
النظير العكسي لأي عدد حقيقي غير الصفر هو عبارة عن عكس هذا العدد ضربًا، وعلى سبيل المثال، النظير العكسي للعدد (أ) هو (1/أ).
نشأة الأعداد الحقيقية
تطورت الأعداد الحقيقية عندما وجد الناس في العصور القديمة صعوبة في قياس بعض الأطوال بطرق بدائية. كان من الصعب قياسها باستخدام الأعداد الكسرية أو الصحيحة، لأن الناتج يمكن أن يكون عدد غير كسري ويمكن تصورها على أنها أعداد غير منتهية. ومن هذا المنطلق، نشأت فكرة الأعداد الحقيقية.
أمثلة توضيحية عن تصنيف الأعداد الحقيقية
المثال الأول
صنف الأعداد التالية كأعداد نسبية أو غير نسبية، واشرح السبب. العدد (…..0.88888) يمكن تمثيله بصورة كسر عشري متكرر غير منته، حيث يمكن كتابته على شكل أ/ب، حيث أ وب هما عددان صحيحان وب لا تساوي الصفر، وبالتالي يعتبر عددا نسبيا. العدد (……0.151151115111115)
الحل: العدد (……0.151151115111115) هو كسر عشري غير متناهي وليس له نمط محدد. لا يمكن كتابته على شكل (أ/ب)، حيث (أ، ب) هما عددين صحيحين وب لا يساوي صفر، لذلك فهو يعتبر عددا غير نسبيا.
الجذر التربيعي للعدد 2. الحل: يمثل الجذر التربيعي للعدد 2 جذر مربع غير كامل، حيث لا يمكن كتابته على شكل (أ/ب)، حيث أ وب عددان صحيحان وب لا يساوي الصفر، وبالتالي يعتبر هذا العدد غير نسبي.
المثال الثاني
صنف الأعداد التالية إلى أعداد طبيعية وصحيحة ونسبية وغير نسبية وأعداد حقيقية؟ (1، 0.52، -15، 1/2، الجذر التربيعي للعدد 23)؟
الأعداد الطبيعية، المرمزة بالحرف `ط`، هي مجموعة الأعداد الموجودة بين الصفر والمالا نهاية الإيجابية، أي تشمل الأعداد الموجبة والصفر. والعدد الموجب هو العدد الذي يحمل إشارة الموجب (+) على يمينه، أو لا يحمل إشارة على الإطلاق، مثل: {0، 1، 2، 3، …}
الأعداد الصحيحة “ص”: هي مجموعة الأعداد التي تمتد بين الما لا نهاية السالب والما لا نهاية الموجب، مروراً بالصفر.
وهذا يدل على أنها تشمل مجموعة الأعداد إيجابية وسالبة وكذلك الصفر، والعدد السالب هو العدد الذي يحمل إشارة سالبة (-) على يمينه، وتكون كالتالي: {…،-3، -2، -1، 0، 1، 2، 3،…}.
الأعداد النسبية ” ن” : هي مجموعة تضم جميع الأعداد التي يمكن تمثيلها على شكل بسط ومقام، مع الشرط الأساسي أن قيمة المقام لا تكون صفرا، وتشمل هذه المجموعة الأعداد الصحيحة (أ) و(ب)، حيث (ب) لا يساوي الصفر.