تعريف المضلعات المتشابهة .. وشرحها بالأمثلة

تعريف المضلعات المتشابهات 

في مجال الرياضيات ، يمكن أن يكون المضلع أي شكل ثنائي الأبعاد المكون من خطوط مستقيمة ، سواء كانت الأشكال الرباعية أو المثلثات أو الخماسيات ، وهذه جميعها أمثلة مثالية للمضلعات وتظهر عدد أضلاعها ؛ على سبيل المثال ، المثلث له ثلاثة أضلاع والرباعي له أربعة أضلاع ، لذا أي شكل يمكن رسمه عن طريق توصيل ثلاثة خطوط مستقيمة يسمى مثلثا ، وأي شكل يمكن رسمه عن طريق توصيل أربعة خطوط مستقيمة يسمى رباعي الأضلاع

شرح المضلعات بالأمثلة

يتم توضيح بعض الأمثلة على المضلعات وفقا لأنواعها في البيان التالي

• المثال الأول على الاسطوانة

ما هو طول الأسطوانة الصلبة التي يبلغ قطرها 2 سم والتي يجب استخدامها لإعادة الصياغة في أسطوانة مجوفة قطرها 20 سم وسمكها 0.25 سم وطولها 15 سم؟ الإجابة هي 54.06 سم 

• الإجابة: 

قطر الأسطوانة الصلبة = 2 سم أو نصف القطر = 1 سم؛ الارتفاع = ح؛ V1 = πr²h = π(1)²h = πh. بالنسبة للأسطوانة المجوفة، الارتفاع = 15 سم؛ القطر الخارجي = 20 سم أو نصف القطر الخارجي = 10 سم. وبالتالي، القطر الداخلي = 10 – 0.25 (سمك) = 9.75 سم. لذا، V2 = π[10² – (9.75²)] × 15 = 15π × 19.75 × 0.25. أيضا، V1 = V2، مما يعطي قيمة لـ ح = 74.06 سم 

• سؤال 

إذا كانت مساحة السطح الجانبي للأسطوانة تساوي ٥٠٠ سم² وكان ارتفاعها ١٠ سم، فأحسب نصف قطر قاعدتها. ٧.٩٦ م أو ٧.٩٦ سم ٧.٩٦ سم² ٩.٦١ سم² 

• الإجابة 

مساحة الشكل A = 500 سم² وارتفاعه 10 سم، وبالتالي A = 2πrh، حيث 500 = 2 × 3.14 × r × 10، وبالتالي r = 62.8، وبما أن r² = 500، فإن r = 22.4 سم

• المثال الثاني على الدائرة

تشكل ثلاث دوائر متباينة ومماسة من الخارج مثلثًا يكون طول أضلاعه 3 و 4 و 5، وتكون مساحة الدوائر الكلية بالوحدات المربعة تساوي 9π، 16π، 21π، و 14π

• الإجابة

يكون قطر الدائرة أ ، ب ، ج نصفا. إذن ،

 ab = 3 (1)

 bc = 4 (2)

 ca = 5 (3) 

بجمع المعادلات الثلاثة abc = 6 (4) من المعادلات أعلاه ، نحصل على c = 3 ، a = 2 ، b = 1 ، والآن مساحة الدوائر الثلاث = π (1²) (2²) π (3²) = π 4π 9π = 14π

• سؤال 

الحصان مربوط بحبل طوله 10 أمتار في موضع ما، فما هي مساحة المنطقة التي يمكن أن يتجول فيها؟ (π = 3.14) 

• الإجابة 

يمكن لمساحة المنطقة التي يمكن للحصان الرعي فيها أن تكون دائرية بنصف قطر يساوي طول الحبل، ويمكن حساب مساحة هذه المنطقة باستخدام مساحة الدائرة πr² = 3.14 × 10² = 3.14 × 100 = 314، وبالتالي يمكن للحصان الرعي في منطقة تبلغ مساحتها 314 سم². بالنسبة لتعريف الدائرة في الرياضيات، فهي شكل دائري ثنائي الأبعاد بطبيعته، يحيط به جميع النقاط على حافته على نفس المسافة من المركز، ويساوي ضعف نصف قطره، ولا يحتوي على أي حواف أو زوايا، ويتكون هذا الشكل من خط منحني

• المثال الثالث على المستطيلات والمربعات

على محمد أن يقسم حقله المستطيل إلى جزأين من زاوية إلى أخرى باستخدام السياج إذا كانت مساحة الحقل 450 م² وطول الحقل 36 م فما هو طول السور المطلوب؟ 

• الإجابة 

مساحة المستطيل = الطول × العرض. وبما أن مساحة الحقل 450 مترا مربعا وطول الحقل 36 مترا، فسيكون العرض 540/36 = 15 مترا

طول السياج المطلوب هو طول القطر.

= √ (15 ²) + (36 ²) = 225 + 1296

= -1521

= 39 م 

التشابه  في   المضلعات

المضلعات هي أشكال ثنائية الأبعاد مثل المربعات والمستطيلات والمثلثات والسداسيات والمثمنات، والمضلعات المتطابقة لها نفس الشكل والحجم بالضبط، بينما المضلعات المتشابهة لها نفس الشكل وقد يكون لها حجم مختلف، ويمكن تحديد المضلعات المتشابهة بشكل رسمي بالطريقة الموضحة

التعريف: تعتبر المضلعات متشابهة إذا كان لديهمضلعان متشابهان بحيث تكون زواياهما المقابلة متساوية والأضلاع المتناظرة متناسبة.

إذا علمنا أن 𝐴 𝐵 𝐶 𝐷 ∼ 𝑃 𝑄 𝑅 𝑆 (𝐴 𝐵 𝐶 𝐷 مشابه لـ 𝑃 𝑄 𝑅 𝑆) ، لدينا 𝑚 ∠ 𝐴 = 𝑚 ∠ 𝑃 ، 𝑚 ∠ 𝐵 = 𝑚 ∠ 𝑄 ، 𝑚 ∠ 𝐶 = 𝑚 ∠ 𝑅 ، 𝑚 ∠ 𝐷 = 𝑚 ∠ 𝑆. a n d يمكننا أيضًا ملاحظة الأضلاع المتناظرة.

هذه هي 𝐴 𝐵 و 𝑃 𝑄 و 𝐵 𝐶 و 𝑄 𝑅 و 𝐶 𝐷 و 𝑅 𝑆 و 𝐷 𝐴 و 𝑆 𝑃. بما أن الأضلاع المتناظرة في نفس النسبة، يمكننا كتابة 𝐴 𝐵 𝑃 𝑄 = 𝐵 𝐶 𝑄 𝑅 = 𝐶 𝐷 𝑅 𝑆 = 𝐷 𝐴 𝑆 𝑃. يمكن أيضًا إعطاء العلاقة التناسبية مع تبديل جميع البسط والمقام في البيان بالكامل أي، 𝑃 𝑄 𝐴 𝐵 = 𝑄 𝑅 𝐵 𝐶 = 𝑅 𝑆 𝐶 𝐷 = 𝑆 𝑃 𝐷 𝐴. 

يجب أن نستخدم بيان التشابه لتحديد الرؤوس المقابلة، بدلاً من مجرد استخدام أي رسوم بيانية معينة على سبيل المثال، إذا كان لدينا مثلثين مثل △ 𝐸 𝐹 𝐺 ∼ △ 𝑋 𝑌 𝑍 ، ثم 𝑚 ∠ 𝐸 = 𝑚 ∠ 𝑋 و 𝑚 ∠ 𝐹 = 𝑚 ∠ 𝑌 و 𝑚 ∠ 𝐺 = 𝑚 ∠. هذا الجانب 𝐹 𝐺 سيكون مطابقًا لـ 𝑌 𝑍. في المثال الأول، سنستخدم الأضلاع والزوايا المتناظرة لتحديد ما إذا كان المضلعان متشابهين.

مقدمة درس تشابه المضلعات

المضلعات المتطابقة هي أشكال ثنائية الأبعاد ذات أضلاع مستقيمة يتشاركون في نفس قياسات الزوايا ويختلفون فقط في الحجم

هل رأيت من قبل إخوة يشبهون بعضهم بعضا إلى حد يبدو فيه أحدهم نسخة مصغرة من الآخر؟ تتبع المضلعات المتشابهة نفس المفهوم بأنها لها نفس الشكل ولكنها مختلفة في الحجم. يمكننا إثبات التشابه في المضلعات، وهناك عدة طرق لإثبات تشابه المثلثات. المضلعات المتشابهة أيضا تحتوي على العديد من الخصائص والعلاقات التي يمكن استخدامها لحل المشكلات

شروط تشابه المضلعات

• يتطلب هذا الشرط وجود مضلعين متشابهين، ولكن يجب أولاً فهم الفرق بين التشابه والتطابق، وسنوضح ذلك فيما يلي:
• يتشابه شكلان إذا كان لديهما نفس الشكل، ولكن ليس بالضرورة بنفس الحجم 
• إذا كان حجمهما متساويًا ، فإنهما يعتبران متطابقين 
• إذا كانت الأرقام متشابهة، فإنها متطابقة أيضًا 
• إذا كان رقمان متطابقان، فهما متشابهان أيضًا 

هناك شرطان لكي يكون مضلعين متشابهين: 

• يجب أن تكون جميع الزوايا المتناظرة متساوية.
• يجب أن تكون جميع الأضلاع المتناظرة متناسبة 

إذن التعريف هو: إذا كان المضلعان متشابهين ولهما زوايا متساوية، فإن ضلعهما المقابل يكون متناسباً.