معلومات عن معادلة بمجهولين

الرياضيات تعد من أفضل المواد التي يفضلها العديد من الطلاب، وعلى الرغم من بعض الصعوبات التي يواجهها الطلاب، إلا أنها لا تزال توفر الكثير من المتعة العقلية التي لا يشعر بها إلا من يتقبلها بصدر رحب ويسعى لتعلمها. ومن بين الأشياء التي يدرسها الطلاب في مراحل تعليمهم هي المعادلات الجبرية.

المعادلة الخطية

في علم الجبر، تعتبر المعادلات الخطية من أشهر المعادلات. فهي تمثل المعادلات التي تحتوي على متغيرات وأعدادا ثابتة. وقد تحتوي بعض المعادلات الخطية على متغير واحد فقط، وقد تحتوي على أكثر من متغير. وللمعادلات الخطية العديد من الاستخدامات الشائعة في الرياضيات التطبيقية، ولها أهمية كبيرة في نمذجة العديد من الظواهر، بما في ذلك الظواهر الغير خطية التي يمكن في بعض الأحيان نمذجتها على أنها ظواهر خطية، عندما يتم تحديد بعض المتغيرات في النظام الذي يتغير في مجال ضيق للغاية.

معادلة خطية بمجهولين

المعادلة الخطية هي معادلة تساوي بين دالتين خطيتين، وعلى سبيل المثال، فإن المعادلة التالية تمثل معادلة خطية لمتغيرين حقيقيين وهما x و y:

3x+y-5=-7x+4y+3

وهذا يعني أن الطريقة الأكثر شيوعًا لكتابة معادلة خطية لها مجهولين هي: y=ax+b

تستخدم معادلة الخط المستقيم لتمثيل خطوط في نفس المستوى بواسطة الأرقام الثابتة a و b. يعرف a بميل الخط ويستخدم لتوضيح الفارق بين قيمة y و x، بينما يعرف b بنقطة تقاطع الخط الدال على المحور y مع المحور الذي يرمز له بقيمة y في الرسم البياني.

لا تعتبر الصيغة السابقة الوحيدة في تدوين المعادلة الخطية بمجهولات، ويمكن تحويل هذه الصيغة إلى العديد من الأشكال والصور الأخرى، ولكن مع الاحتفاظ بنفس المتغيرات.

يتألف النظام الخاص بالمعادلات الخطية من معادلتين أو أكثر، ويستخدم عادةً لحل مشترك لجميع المعادلات، حيث تتطابق كل معادلة مع خط مستقيم ويتم تمثيلها بنقطة واحدة في نقطة تقاطع الخطوط.

علم الجبر

الجبر هو فرع هام في الرياضيات، حيث يتعامل مع الرموز وينشئ القوانين التي يتم استخدامها للتلاعب بالرموز. في الجبر، تمثل معظم الرموز الحروف اللاتينية واليونانية، وهي كميات غير ثابتة تعرف بالمتغيرات. تماما كما تصف الحروف والكلمات العلاقات بينها وبين الجمل، فإن المعادلات تصف التعاملات الجبرية والعلاقات بين المتغيرات. يمكننا أخذ المثال التالي للتوضيح:

إذا كان لدينا حقلان بمساحة إجمالية 1800 متر مربع لكل منهما، ويحتاج كل حقل لثلثي جالون لكل ياردة مربعة ونصف جالون لكل ياردة مربعة، وإذا أعطي الحقل الأول 500 جالون إضافية عن الحقل الثاني، فما مساحة كل حقل؟.

ظهرت وانتشرت شائعة أن مثل هذه المسائل تم اختراعها لتعذيب الطلاب لا أكثر، وقد لا يكون هذا الأمر بعيد عن الحقيقة، فمن شبة المؤكد أن مثل هذه المشكلة تم كتابتها لمساعدة الطلاب في فهم الرياضيات، ولكن ما يميز هذه المسألة أنها تعد من حفريات الرياضيات حيث أن عمرها يعود إلي أكثر من أربعة آلاف سنة تقريباً، وهذا وفقاً للعالم جاك سينسو ، في كتابه الذي نشر سنة 2009 الذي كان باسم (مقدمة لتاريخ الجبر).

هذه المسألة تستند إلى قرص من الطين يعود إلى الحضارة البابلية إلي حوالي عام 1800 قبل الميلاد وتوجد الآن في متحف الشرق الأدنى القديم، فمنذ هذا الوقت في بلاد ما بين النهرين، كان علم الجبر هو أمر محوري للعديد من التطورات في العلوم والتكنولوجيا التي تختلف بين الحضارات، فلا يستطيع أحد ما أن ينكر فضل علم الجبر فيما توصلت إليه هذه الحضارات القديمة والحضارة العالمية الحالية، ولقد تباينت لغة الجبر بشكل كبير عبر التاريخ لكل الحضارات التي توارثتها وصدرتها وتناقلتها أو تبادلها بين الحضارات والعصور القديمة.

تاريخ علم الجبر

علم الجبر في مصر القديمة وحضارة بابل

يعود أقدم نص رياضي موجود إلى حضارة مصر القديمة حيث تم رصده على ورقة بردي منذ حاولي سنة 1650 قبل الميلاد، هي وغيرها من النصوص الرياضية سواء في الجبر أو في غيرها من الفروع، تدل على قدرة المصريين القدماء الكبيرة في حل المعادلات الرياضية التي ساعدتهم في البناء وفي الزراعة وغيرها، فهم عبر التاريخ تمكنوا من حل المعادلات الخطية ذات المجهول الواحد، والتي تم تعريفها فيما بعد بالمعادلة الخطية من الدرجة الأولي.

في الماضي، استطاع المصريون القدماء حل المسائل المتعلقة بنظام المعادلات ذات الكميات غير المعروفة، بما في ذلك المعادلات ذات الجذر التربيعي، وهي المعادلات من الدرجة الثانية التي تحتوي على مجهولات مربعة. تمكن المصريون القدماء من فهم هذه المعادلات وحل مشاكل قياس طول الحقل وعرضه، وحتى حاجته للماء باللتر، ولكنهم لم يستخدموا الرموز الجبرية في ذلك الوقت. بدلا من ذلك، كانوا يستخدمون تعابير مثل النصف والثلث وما شابه ذلك.

يعود تاريخ الرياضيات في بابل إلى عام 1800 قبل الميلاد ويشير النقوش المسمارية المحفورة على الألواح الطينية إلى أن الحساب البابلي كان يعتمد على نظام موضعي مفصل جدا يسمى نظام القاعدة 60، بدلا من النظام العشري الحديث الذي يستند إلى وحدات مكونة من عشرة أجزاء. وعلى الرغم من ذلك، لم يكن البابليون يستخدمون الصفر بشكل ثابت في ذلك الوقت. كانت العديد من العمليات الرياضية البابلية تعتمد على الجداول، مثل الضرب والتبادل وحساب المربعات، وحتى كانوا يعرفون استخدام الجذور التربيعية والتكعيبية.

اليونان والرياضيات

كان اكتشاف فيثاغورث في عام 430 قبل الميلاد من بين أوائل المعلمين الرياضيين في التاريخ الذين تمكنوا من اكتشاف أن ليست كل الأطوال معقولة، وليست كل القياسات قابلة للقياس بالوحدات المشتركة، وكان هذا الاكتشاف صادما للمجتمع في ذلك الوقت.

المعادلات الجبرية في الهند والصين

ظهر العديد من علماء الرياضيات في الهند، مثل براهماغوبتا وبهاسكار، وقاموا بوضع وحل العديد من المعادلات من الدرجة الأولى والثانية، مع وجود أكثر من متغير واحد. ومع ذلك، يكمن المساهمة الرئيسية التي ينسبها علماء الرياضيات في الهند في وضعهم للنظام العشري، وهو نظام الأرقام الموضوعية. ووفقا للتقديرات، كان هناك نظام عشري موضوعي كامل موجود في الهند بحلول القرن التاسع. ومن الجدير بالذكر أن العديد من الأفكار المركزية في هذا الوقت تم نقلها إلى العالم الإسلامي والصين.

تمكن العلماء الهنود من وضع قواعد متسقة وصحيحة للعمل على الأعداد الإيجابية والسلبية، ومرت الأيام والسنين وقام علماء الرياضيات في أوروبا بدمج هذه الأفكار التي أنتجها علماء الهند الرياضيون، حتى ضبطوها وتحولت إلىعلم الجبر.

قام علماء الرياضيات الصينيون خلال الفترة الموازية للعصور الوسطى في أوروبا بالمساهمة في تطوير أساليبهم الخاصة لحل المعادلات التربيعية عن طريق الجذور.