انواع زوايا المثلث وقياسها

المثلث هو شكل هندسي ثنائي الأبعاد، ويتألف من ثلاثة أضلاع وثلاث زوايا، وهو شكل مغلق يتألف من ثلاثة أجزاء مستقيمة كحدود وتسمى الأجزاء المستقيمة بالجوانب، وتحتوي الزوايا الثلاث على القمم، ويرمز للمثلث بالرمز Δ.

خصائص المثلث

• مجموع زوايا أي مثلث يساوي دائمًا 180 درجة، أي أن مجموع زوايا الثلاثة <أ + <ب + <ج يساوي 180 درجة.
• تكون أي زاوية في المثلث أكبر من الصفر وأقل من 180 درجة دائمًا.
• لا يمكن أن تكون أي زاوية أكثر من 90 درجة.
• يتميز مجموع طول أي جانبين دائمًا بأنه أكبر من طول الضلع الثالث.

أنواع المثلثات حسب الضلوع

مثلث متساوي الأضلاع

يطلق على المثلث الذي يتميز بأضلاع متساوية الأطوال اسم `المثلث المتساوي الأضلاع`، لأنه عندما تكون كل الأزواج متساوية في الطول، فإن مجموع زوايا المثلث يساوي 180 درجة، وبالتالي فإن كل زاوية في المثلث المتساوي الأضلاع تساوي 60 درجة.

مثلث متساوي الساقين

يُطلق على المثلث الذي له ضلعان متساويان اسم مثلث متساوي الساقين، وتكون الزوايا المقابلة للأضلاع المتساوية متساوية أيضًا.

مثلث مختلف الأضلاع 

يسمى المثلث الذي له جميع الأضلاع بأطوال مختلفة بـ `مثلث متفاوت الأضلاع`.

أنواع المثلثات حسب الزوايا

مثلث حاد

يُطلق على المثلث الحاد الزوايا فيه أقل من 90 درجة.

مثال: يتكون المثلث الحاد من زوايا قياسها 50 درجة و 60 درجة و 70 درجة، والتي تكون أقل من 90 درجة.

مثلث منفرج

يطلق على المثلث الذي يزيد زاويته عن 90 درجة اسم مثلث منفرج.

مثال: يتألف هذا المثلث من ثلاث زوايا، وهي 25 درجة و35 درجة و120 درجة، وإذا كانت إحدى الزوايا أكبر من 90 درجة، فإنه يعتبر مثلثًا منفرجًا.

مثلث قائم الزاوية

إذا كانت أي زاوية من زوايا المثلث 90 درجة ، يسمى المثلث بالمثلث القائم الزاوية ، المثلث أدناه هو مثلث قائم الزاوية حيث أن <ACB هي الزاوية اليمنى 90 درجة ، بما أن مجموع زوايا المثلث الثلاث يساوي 180 درجة ، فإن مجموع الزاويتين الأخريين في المثلث القائم الزاوية سيكون 90 درجة.

الضلع المقابل للزاوية القائمة يسمى الوتر ، ويكون الوتر أكبر من الضلعين الآخرين ، المثلث القائم الزاوية له خاصية خاصة ، وتُعرف باسم نظرية فيثاغورس ، مربع طول الوتر يساوي مجموع مربعي أطوال الضلعين الآخرين ، وسميت نظرية فيثاغورس على اسم عالم الرياضيات اليوناني فيثاغورس ، الذي أثبت هذه العلاقة خلال 570-495 قبل الميلاد للنظرية مجموعة واسعة من الاستخدامات في الرياضيات العليا.

كيفية حساب زوايا المثلثات

يمكن استخدام منقلة أو جهاز كشف زاوية رقمي في الأعمال اليدوية والبناء عندما تحتاج إلى قياس زاوية بين جانبين أو نقل الزاوية إلى جسم آخر. يمكن استخدام هذا الجهاز كبديل لمقياس الزوايا المائلة لنقل الزوايا. على سبيل المثال، عند تحديد نهايات العوارض الخشبية قبل القطع، يمكن قياس الزوايا بدقة تصل إلى 0.1 درجة بواسطة القواعد المتدرجة بالبوصة والسنتيمتر.

“يجب ملاحظة أن هذه الأداة ليست مناسبة كأداة للرسم الفني، لأن المحور لن يبقى مسطحًا على الورق كما هو الحال مع المنقلة. كما أنها مصنوعة من الفولاذ المقاوم للصدأ، فلديها زوايا مدببة قد تكون حادة وبالتالي لا تصلح للاستخدام من قبل الأطفال.

الجيب وجيب التمام وتان من زاوية

زاوية المثلث القائم تساوي 90 درجة، والضلع المقابل لتلك الزاوية يُدعى بالوتر، وهو الضلع الأطول. يمكن حساب طول الوتر باستخدام نظرية فيثاغورس، أما لحساب الجانبين الآخرين فيجب استخدام الجيب وجيب التمام، وهذه هي الدوال المثلثية للزاوية.

الجيب وجيب التمام يمكن استخدامهما لقياس أي زاوية، ومن الممكن أن يتقاطعان في نقطة واحدة، ويتم حساب الجيب وجيب التمام لهذه الزاوية باستخدام أطراف مثلث قائم الزاوية المتداخلة على الخطوط.

قاعدة جيب التمام

بالنسبة للمثلث ذو الأضلاع أ، ب، ج، إذا كانت أ وب معروفتين وكانت ج هي الزاوية المضمنة (الزاوية بين الأضلاع)، فيمكن حساب ج باستخدام قاعدة جيب التمام. وهي واحدة من قوانين حساب المثلثات بالصيغة التالية:

ج²= أ²+ب²-(2×أ×ب×جتا(جَ)).

يمكن استخدام قاعدة جيب التمام إذا كنت تعرف أطوال ضلعي المثلث والزاوية المحصورة، حيث يمكنكبعد ذلك حساب طول الضلع المتبقي باستخدام قاعدة جيب التمام.

كيفية إيجاد زوايا المثلث بمعرفة نسبة أطوال الأضلاع

إذا كنت تعرف نسبة أطوال الأضلاع، فيمكن استخدام قاعدة جيب التمام لإيجاد زاويتين، ثم يمكن إيجاد الزوايا المتبقية بمعرفة أن مجموع جميع الزوايا يساوي 180 درجة.

مثال:

المثلث له أضلاع في النسبة 5: 7: 8. أوجد زوايا المثلثات؟

الحل:

لذلك قم باستدعاء الأضلاع a و b وc والزوايا أ وب وج وافترض أن الأضلاع a = ٥ وحدات ، b = ٧ وحدات ، c = ٨ وحدات ، لا يهم ما هي الأطوال الفعلية للأضلاع لأن جميع المثلثات المتشابهة لها نفس الزوايا ، لذا ، إذا توصلنا إلى قيم زوايا المثلث الذي يكون ضلعًا فيه a = 5 وحدات ، فإننا نحصل على نتيجة كل هذه المثلثات المتشابهة.

استخدم قاعدة جيب التمام، حيث c² = a² + b² – 2ab cos C

البديل عن إعطاء a و b و c:

8² = 5² + 7² – 2 (5) (7) cos c

العمل على هذا يعطي:

64 = 25 + 49-70 c

التبسيط وإعادة الترتيب:

cos C = 1/7 و C = arccos (1/7

يمكن استخدام قاعدة جيب التمام مرة أخرى للعثور على زاوية ثانية، كما يمكن العثور على الزاوية الثالثة بعد معرفة مجموع الزوايا الثلاثة المتشكلة، والذي يساوي 180 درجة.

كيفية حساب مساحة المثلث

هناك ثلاث طرق يمكن استخدامها لاكتشاف مساحة المثلث وهم: 

• استخدام الارتفاع العمودي

يمكن تحديد مساحة المثلث بضرب نصف طول قاعدته في الارتفاع العمودي، حيث يكون الارتفاع العمودي في الزوايا القائمة. يمكن استخدام أي جانب كقاعدة ويمكن استخدام أي من الجوانب الثلاثة. باستخدام قلم رصاص، يمكنك تحديد المنطقة عن طريق رسم خط عمودي من الجانب إلى الزاوية المقابلة باستخدام مربع محدد أو مربع T أو منقلة. بعد ذلك، قم بقياس طول الخط واستخدم الصيغة التالية لحساب المساحة

المساحة = 1 / 2ah

الحرف `أ` يمثل قاعدة المثلث والحرف `هـ` يمثل الارتفاع العمودي.

• استخدام أطوال الأضلاع والزوايا

يتطلب الحصول على مساحة المثلث باستخدام الطريقة البسيطة المذكورة، قياس ارتفاع المثلث، وإذا كانت المعلومات المتاحة هي طول ضلعين والزاوية المضمنة، يمكن حساب المساحة بشكل تحليلي باستخدام الجيب وجيب التمام.

• استخدم صيغة هيرون

كل ما تحتاج إلى معرفته هو طول الأضلاع الثلاثة.

المساحة = جذر (س (س – أ) (س – ب) (س – ج))

حيث s هو نصف مقياس المثلث.

معلومات عن المثلث

• المثلث له ثلاثة أضلاع وثلاث زوايا.
• المثلث هو شكل مستوٍ مغلق مكون من ثلاثة أجزاء مستقيم.
• المثلث له ثلاث زوايا تسمى الرؤوس.
• مجموع زوايا المثلث الداخلية دائمًا ما يساوي 180 درجة.
• عادة ما يكون مجموع أطوال أي ضلعين أكبر من طول الضلع الثالث.
• يمكن تصنيف المثلث بناءً على جوانبه أو زواياه.
• يُصنف المثلث على أنه مثلث متساوي الساقين أو متساوي الأضلاع اعتمادًا على طول جوانبه.
• يصنف المثلث على أنه مثلث حاد أو مثلث يمين أو مثلث منفرج، وذلك بناءً على قياس زواياه
• المثلث الأضلاع المتساوية يسمى المثلث المتساوي الأضلاع.
• المثلث الذي يتساوى ضلعاه يسمى مثلثًا متساوي الساقين.
• يُسمى المثلث الذي له أطوال مختلفة بمثلث سكالين.
• يطلق على المثلث ذو الزاوية القائمة (90 درجة) اسم المثلث القائم.
• يُطلق على المثلث الحاد الزوايا فيه أقل من 90 درجة.
• يطلق على المثلث الذي يزيد زاويته عن 90 درجة اسم مثلث منفرج.
• تَنصُ نظريةُ فيثاغورث على أنَّ مربّعَ طولِ الوترِ يساوي مجموعَ مربَّعَي طولَي الضلعِ الآخرَين.