علم حساب المثلثات
علم حساب المثلثات هو فرع من فروع علم الرياضيات، يهتم بوظائف الزوايا وتطبيقاتها في الحسابات، من خلال مجموعة من قوانين حساب المثلثات. تحتوي هذه المجموعة على ستة قوانين أساسية للزوايا، وتم تسميتها بشكل مختصر باسم جيب الزاوية أو الدوال المثلثية. توضح هذه القوانين خصائص زاوية محددة داخل مثلث بطريقة مستقلة عن باقي الشكل الهندسي.
قوانين حساب المثلثات
تحتوي قوانين حساب المثلثات على ست قوانين شهيرة تسمى جيب الزاوية أو الدوال المثلثية، وفي السابق تم حساب قيم هذه القوانين للعديد من الزوايا وتم تجميعها في جدول، قبل ابتكار جهاز الكمبيوتر الذي جعل الأمر أسهل بكثير.
أصبح من السهل الآن معرفة خواص الزوايا المثلثية وحساب المسافات داخل الأشكال الهندسية التي كانت غير معروفة من قبل بفضل قوانين حساب المثلثات التالية
- تختصر جيب الزاوية الساين باستخدام (Sin).
- تختصر جيب التمام cosine على شكل (Cos).
- ظل الزاوية المتجاورة وتختصر بالتانجنت (tan).
- تُختصر الظل التمام على شكل (cot) في الرياضيات .
- القاطع secant وتختصر على هيئة (sec).
- قاطع التمام cosecant وتختصر على هيئة(csc).
استخدامات قوانين حساب المثلثات
تستخدم قوانين حساب المثلثات في مجموعة متنوعة من العلوم،منها ما يستخدم لحساب خواص الزوايا والمسافات الهندسية في نطاق بعدين أو ثلاثة أبعاد، ومنها ما يلي
- علم الفلك.
- علوم المساحة وصنع الخرائط.
- العلوم العسكرية، مثل حساب نطاق المدفعية.
- في علوم الفضاء، ونظرًا لأنها ثلاثية الأبعاد، يتم استخدام قوانين حساب المثلثات الكروية فيها.
تاريخ علم حساب المثلثات
ظهر علم حساب المثلثات في الحضارات القديمة، وخاصة في الحضارات المصرية والبابلية والهندوسية والصينية، والتي كانت لديها معرفة وافرة بالهندسة المعمارية، ولعبت قوانين حساب المثلثات دورا كبيرا في تطوير الشكل المعماري لهذه الحضارات.
قوانين حساب المثلثات في الحضارة المصرية
تم اكتشاف بردية مصرية قديمة تسمى Rhind، والتي تحتوي على 84 مسألة حسابية في فروع الجبر والهندسة، ويرجع تاريخها إلى سنة 1800 قبل الميلاد، كما أنها تتضمن خمس مسائل رياضية فيما يتعلق بـ seked.
يكشف التحليل الدقيق للنصوص والأشكال التي تحويها هذه البردية، أن كلمة `seked` تعني ميل الانحدار، والتي كانت أساسًا لبناء مشاريع معمارية ضخمة مثل الأهرامات، وكانت الأساس لوضع قوانين حساب المثلثات.
مسألة حسابية عن الهرم
اكتشف العلماء أن للبردية سيكيد مسألة حسابية، ومن خلالها تمكن المصريون القدماء من حساب ظل تمام الزاوية بين قاعدة ووجه المثلث، وهذه النسبة المعروفة باسم “الجري إلى الارتفاع” أو “run-to-rise”، والتي تُعرف حديثًا باسم “المنحدر”، وكانوا يحسبونها بدقة.
يعد هذا القانون أحد قوانين حساب المثلثات في السنة الأساسية، ويثبت بذلك أن المصريين القدماء كانوا يمتلكون معرفة بالحسابات داخل المثلث، والذي يمكن اعتباره الأساس لعلم حساب المثلثات.
علم حساب المثلثات الكلاسيكي
اشتقت كلمة حساب المثلثات من الكلمة اليونانية trigonon، التي تعني المثلث، وكان هذا العلم يستخدم في القرن السادس عشر تقريبًا لحساب قيم الأجزاء المفقودة في المثلث أو أي شكل هندسي يمكن تقسيمه إلى مجموعة مثلثات.
تم اعتبار هذا النوع من الحسابات علم المثلثات الكلاسيكي، ويختلف عن علوم الهندسة بأنه يركز بشكل أساسي على العلاقات النوعية. وكان يعتبر من العلوم الهندسية في السابق، ولكن تم فصله عنها ليصبح فرعًا منفصلًا في بداية القرن السابع عشر.
علم حساب المثلثات الحديث
ظهرة قوانين حساب المثلثات في شكلها الحديث في اليونان، وتم التعبير عنها بعبارات هندسية بحتة، على يد هيبارخوس Hipparchus وكان ذلك في سنة (120-190 قبل الميلاد)، فهو من أنشأ أول جدول لقيم الدوال المثلثية، حيث كان يعتبر أي مثلث على أنه موجود داخل دائرة، فبذلك يصبح أي ضلع في المثلث وتر للدائرة.
يُشار إلى أن أي خط مستقيم يربط بين نقطتين واقعتين على منحنى الدائرة يُطلق عليه اسم الوتر، ويمكن احتساب القيم المفقودة لهذا المثلث من خلال ذلك، وقد كان هيبارخوس Hipparchus عالم فلك مهتم بهذا الموضوع، واقتبس هذه الفكرة من المثلث الخيالي الذي يُرسمه ثلاث نجوم في سماء الكرة الأرضية.
علم حساب المثلثات في أوروبا
كان كتاب المجسطي (Almagest) للعالم اليوناني القديم بطليموس هو أول عمل في حساب المثلثات يصل إلى أوروبا، وذلك في القرن الثاني الميلادي (100-170 م)، حيث كان يعيش في مدينة الإسكندرية المصرية، والتي كانت المركز الفكري للحضارة الهلنستية (Hellenistic).
رغم كتابته العديدة وأعماله المختلفة، لم يعرف الكثير عن بطليموس، الذي كان له أعمال في مختلف العلوم، منها الرياضيات والجغرافيا والبصريات، ولكن المجست Almagest كانت أشهر أعماله.
Almagest المجست لبطليموس
هي مجموعة من 13 كتابًا في علم الفلك، وكانت تمثل الصورة الأساسية لهذا العلم حيث كان يعتبر الأرض مركز الكون، حتى ظهرت نظرية نيكولاس كوبرنيكوس في منتصف القرن السادس عشر التي وضعت نظرية مركزية الشمس.
حاول بطليموس تطوير علم الفلك باستخدام قوانين حساب المثلثات، وقد وضع جدولاً لقيم الدوال المثلثية، كما تصوّر بطليموس الكون بأن الأرض تقع في المنتصف وتدور حولها الشمس وخمسة كواكب، وهو الرأي الذي كان متفقاًمعه في ذلك الوقت.
حساب المثلثات في الهند والعالم الإسلامي
جاءت المساهمات الفاعلة التالية في علم حساب المثلثات من الهند، واستخدم النظام الستيني. وتوصل العلماء عن طريقه إلى النظام العشري. وعند تطبيقه على جدول بطليموس، ظهرت قوانين الجيب في شكلها الحديث.
تم نقل هذه المساهمات العلمية إلى العالم الإسلامي أثناء فترة العصور الوسطى التي كانت أوروبا فيها تعيش في ظلام، حيث قام المسلمون بنقل هذا العلم لأوروبا من خلال وجودهم في إسبانيا (الأندلس) والعراق وبلاد فارس، وقد كان ذلك بداية لظهور الآلة الحاسبة.
علم حساب المثلثات الكروي
نظرًا لأن علم الفلك كان يهيمن على العلوم الطبيعية حتى القرن السادس عشر، كان علم المثلثات الكروي هو الموضوع الذي كان يهتم به العلماء، وهناك العديد من الاختلافات بين المثلثات المسطحة والمثلثات الكروية، وهذا ما يؤدي إلى وجود اختلافات بينهما
- يتطابق المثلثان الكرويان في الحجم والشكل، ولكنهما يكونان متطابقين فقط في الحالة المستوية.
- إجمالي زوايا المثلث الكروي يكون دائمًا أكبر من 180 درجة، بينما تكون زوايا المثلث في الفضاء المستوي تساوي 180 درجة.
مصطلح المثلث الكروي
ظهر مصطلح المثلث الكروي لأول مرة في الكتاب الأول من كتاب Sphaerica، والذي يتألف من ثلاثة كتب من Menelaus في مدينة الإسكندرية المصرية عام 100 ميلادية، حيث قام بتطوير المعادلات الرياضية الكروية لعروض Euclid الخاصة بالمثلثات المستوية.
يتم وصف المثلث الكرويبأنه شكل هندسي مكون من ثلاثة أقواس موجودة على سطح كرة، وتتطابق مراكز هذه الأقواس مع مركز الكرة، مما يجعله مختلفًا عن المثلث المستوي في الزوايا والقوانين.
ساهمت قوانين حساب المثلثات بشكل كبير في التطور العلمي الحديث، الذي وصل إليه العلم الآن، فقد كانت السبب في وجود الفنون المعمارية الرائعة في العصور القديمة، وبدأت بها معرفة علوم الفلك واكتشاف الكون، كما أنها أثبتت الترابط الوثيق بين العلوم المختلف، واعتماد كلا منهما على الأخر، وأظهر فضل الحضارات القديمة على عالمنا الحديث.