تعريف الدالة التربيعية .. وقواعدها .. وخصائصها .. وأمثلة عليها

ما هي الدالة التربيعية

تستخدم الدوال التربيعية في مجالات الهندسة والعلوم المختلفة للحصول على قيم المعلمات المختلفة، وبشكل بياني يتم تمثيلها بواسطة القطع المكافئ.  

بناء على معامل الدرجة الأعلى، يتم تحديد اتجاه المنحنى بكلمة `تربيعي` المشتقة من كلمة `رباعي` التي تعني مربع، بعبارة أخرى، الوظيفة التربيعية هي `دالة متعددة الحدود من الدرجة 2`  

يمكن استخدام الدوال التربيعية في العديد من السيناريوهات، مثل وصف مسار صاروخ باستخدام حل دالة تربيعية.

الدالة التربيعية هي دالة متعددة الحدود ذات متغير واحد أو أكثر يكون فيها الأس الأعلى للمتغير هو اثنان نظرًا لأن الحد الأعلى من الدرجة في دالة تربيعية هو من الدرجة الثانية، لذلك يُطلق عليها أيضًا اسم متعدد الحدود من الدرجة 2 تمتلك الدالة التربيعية حدًا واحدًا على الأقل وهو من الدرجة الثانية وهي وظيفة جبرية.

ما هي قواعد الدالة التربيعية

يأخذ الشكل القياسي للدالة التربيعية أو القواعد الخاصة بالدالة التربيعية الشكل التالي:

 f (x) = ax2 + bx + c  

حيث أن a و b و c أعداد حقيقية مع a ≠ 0.

ما هي خصائص الدالة التربيعية

يوجد ثلاث خصائص عامة لجميع الدوال التربيعية: 

الرسم البياني للدالة التربيعية هو دائما قطعة مكافئة تفتح إما لأعلى أو لأسفل (السلوك النهائي)   

2. مجال الدالة التربيعية يشمل جميع الأعداد الحقيقية.

عندما يتم فتح القطع المكافئ لأعلى، يصبح الرأس النقطة الأدنى، بينما عندما يتم فتح القطع المكافئ لأسفل، يصبح الرأس النقطة الأعلى.

أمثلة على الدالة التربيعية

مثال 1: حدد رأس الدالة التربيعية f(x) = 2(x+3)² – 2

الحل:

تكون f(x) = 2(x+3)² – 2 ويمكن كتابتها على شكل f(x) = 2(x-(-3))² + (-2)

 بالمقارنة بالدالة التربيعية القياسية f(x) = a(x-h)^2 + k، حيث (h،k) هي رأس القطع المكافئ، يتم تحديد دالة تربيعية معينة

 H = -3 ، k = -2

 وبالتالي، يكون رأس f(x) هو (-3، -2)

 الجواب: Vertex = (-3، -2

مثال 2: حدد الرأس ومحور التماثل والأصفار ونقطة التقاطع y للقطع المكافئة الموضحة في الشكل 5.1.35.1.3

الحل:

نجد أن الرأس هو نقطة تحول الرسم البياني، حيث يوجد الرأس عند (3،1) بسبب فتح هذا القطع النصفي نحو الأعلى، ومحور التناظر هو الخط الرأسي الذي يتقاطع مع القطع النصفية في الرأس.  

إذن، محور التناظرهو x = 3، وهذا يعني أن الخط المكافئ لا يتقاطع مع محور x ولا يحتوي على أي أصفار، ويعبر المحور y عند (0،7)، لذا هذه هي نقطة التقاطع العمودية.

مثال 3: يتم تحويل الدالة التربيعية g(x) = x² إلى المعادلة f(x) = (5/7) g(x + 1) – 5 وتبسيط المصطلحات للحصول على المعادلة العامة

الحل:

 يُمكن رؤية الرسم البياني لـ gg كتحويل للرسم البياني لـ f(x) = x^2 باتجاه اليسار بمقدار 2 ولأسفل بمقدار 3، مما يعطي الصيغة العامة لـg(x) = a(x + 2)^2 – 3، أو بالصيغة العامة الأخرى g(s) = a(s + 2)^2 – 3.

عند استبدال إحداثيات نقطة على المنحنى، مثل (0،-1)، يمكننا حساب عامل التمدد.

 -12a = أ (0 + 2) 2-3 = 4a = 12 (5.1.4) (5.1.5) (5.1.6)

 (5.1.4) -1 = أ (0 + 2) 2-3 (5.1.5) 2 = 4 أ (5.1.6) أ = 12

 يتمثل النموذج الجبري القياسي لهذا الرسم البياني في g (x) = 12 (x + 2) 2 – 3 أو g (x) = 12 (x + 2) 2 – 3.

 يمكننا تبسيط الحدود وكسر الصيغة لكتابة هذا بصيغة كثيرة الحدود العامة.

أشهر الدوال الرياضية

تحدد أنواع الدوال بناء على نطاقها ومجالها والتعبير الذي يستخدم لكتابة الوظيفة هو العامل الأساسي الذي يحدد الدالة  

بالإضافة إلى التعبير، فإن العلاقة بين عناصر مجموعة المجال ومجموعة النطاق تعبر عن نوع الدوال وتساعد في تصنيف الوظائف لفهم أنواع الوظائف المختلفة وتعلمها بسهولة.

يتم تصنيف الوظيفة y = f (x) إلى أنواع مختلفة من الوظائف، بناء على عوامل مثل مجال ومدى الوظيفة، وتعبير الوظيفة.  

تشمل الوظائف قيمة المجال x المشار إليها بـ `المدخلات`، ويمكن أن تكون قيمة المجال عددا أو زاوية أو عشرية أو كسرا، وبالمثل، فإن قيمة y أو قيمة x f هي قيمة رقمية عموما وتعبر عن النطاق.  

تم تصنيف الوظائف إلى الأنواع الأربعةالتالية

• بناء على مجموعة العناصر
• على أساس المعادلة
• على أساس المدى
• على أساس المجال

الدوال التكعيبية

الدالة التكعيبية هي دالة كثيرة الحدود من الدرجة 3، وبالتالي فإن التمثيل البياني للدالة التكعيبية قد يحتوي على 3 جذور على الأكثر، وهي إحدى أنواع الدوال

– يمكن للدالة التكعيبية أن تتقاطع مع المحور السيني في حدود 3 نقاط على الأكثر، لأن الجذور المعقدة تحدث دائمًا في أزواج، وبالتالي فإن الدالة التكعيبية تحتوي على إما صفر واحد حقيقي أو ثلاثة أصفار حقيقية ولا يمكن أن تحتوي على صفرين حقيقيين.

الدالة التكعيبية هي دالة كثيرة الحدود من الدرجة 3 وهي على شكل f (x) = ax3 + bx2 + cx + d ، حيث a و b و c و d أعداد حقيقية و a 0. الدالة التكعيبية الأساسية (  والتي تُعرف أيضًا باسم الوظيفة التكعيبية الأصلية) هي f (x) = x3.  بما أن الدالة التكعيبية تتضمن كثير حدود من الدرجة الفردية ، فإن لها جذرًا حقيقيًا واحدًا على الأقل.

الدوال الكسرية

يوجد العديد من الدوال، بما في ذلك دوال كثيرة الحدود ودالة الكسرية التي يمكن كتابتها على أنها نسبة دالتين كثيرتي الحدود، وهي دوال لا تحتوي على معاملات كثيرة الحدود أو قيم منطقية، وتسمى دوالا عقلانية لمتغير واحد x

تحليل البسط والمقام في الدالة الكسرية يساعد على تحديد تفردات الدوال المنطقية الجبرية. يحدث التفرد عندما يكون مقام الدالة الكسرية يساوي 0، سواء كان العامل الخطي في المقام يلغى بعامل خطي في البسط أم لا

الخط المقارب للمنحنى هو الخط الذي يقترب المسافة بين المنحنى والخط من الصفر لأنها تميل إلى اللانهاية، ويوجد ثلاثة أنواع من الخطوط المقاربة: الخطوط الأفقية والعمودية والمائلة.

تتضمن الوظيفة الكسرية خطًا مقاربًا أفقيًا واحدًا على الأكثر أو خطًا مقاربًا مائلًا، وقد تضم العديد من الخطوط المقاربة العمودية.