أنواع الدوال وخصائصها

تعريف الدوال

عند النظر إلى تعريف الدوال، نجد أن الدوال هي عبارة عن علاقات، حيث يكون لكل مدخل ناتج معين. فمثلا في درس في مادة الرياضيات، يتم تناول مفاهيم الدوال في الرياضيات، وأنواع الدوال، وخصائصها باستخدام أمثلة مختلفة لفهم أفضل .

ما هي الدوال في الرياضيات

• الدالة هي علاقة رياضية بين مجموعة من المدخلات ومجموعة من المخرجات المسموح بها، حيث يرتبط كل مدخل بمخرج واحد فقط بشكل صحيح، وتتميز الدوال بخصائص مختلفة، على سبيل المثال، إذا كانت A و B مجموعتان غير فارغتان، فإن التعيين من A إلى B يعتبر دالة فقط إذا كان لكل عنصر في مجموعة A صورة واحدة فقط في مجموعة B.

مثال : يتم فيه تعريف الدوال على أنها علاقة f، حيث يتم تعيين كل عنصر من عناصر المجموعة A مع عنصر واحد فقط من المجموعة B، ولا يمكن أن يكون هناك زوجان لهما نفس العنصر الأول في الدالة .

• شرط الدالة هو أن مجموعة A ومجموعة B لا يمكن أن تكونان فارغتين .
• عند استخدام الدالة f: A -> B، يتم إدخال قيمة محددة من A للحصول على قيمة محددة من B، حيث A هو مجال محدد و B هو مجال آخر .
• تحتوي الدالة التي تأخذ قيما حقيقية على مجموعة P كنطاق لها، أو على أي من مجموعاتها الفرعية، وإذا كان مجالها يتضمن P أو أي من مجموعاتها الفرعية، فإنها تسمى دالة حقيقية، وتم التعبير عن الدوال والمتباينات 

اختبار الخط العمودي

اختبار الخط العمودي يستخدم لتحديد ما إذا كان المنحنى دالة أم لا، فإذا قاطع المنحنى خطا رأسيا في أكثر من نقطة واحدة، فإن المنحنى ليس دالة، وإنه ليس من ضمن الدوال التغير

كيف يتم تمثيل الدوال

تمثيل الدوال بشكل عام كالتالي: f (x) f (x)

لنفترض أن 3f(x) = x^3 وf(x) = x

يقال إن f في المتغير x يساوي x مكعب.

يمكن أيضًا تمثيل الدوال بما يلي: g ()، t ()، . . . إلخ.

خطوات حل الدالة

فمثلا السؤال يقول: احسب ناتج الدالة 2ج (ت) = ٦ت^٢ + ٥ج (ت) = ٦ت

+5 في 2

(ط) ر = 0

(2) t = 2

الحل:

الوظيفة المعطاة هي 2g(t) = 6t^2 + 5 و 5g(t) = 6t + 5

(i) عندما t = 0، فإن g (0) = 6 (0) ^ 2 + 5g (0) = 6 (0)

2+5= 5

(2) (عند t = 2، g (2) = 6 (2) ^ {2} + 5g (2) = 6 (2))

2+5= 29

أنواع الدوال وخصائصها

توجد أنواع مختلفة من الدوال في الرياضيات، ولكل نوع خصائصه الخاصة، وتشمل هذه الخصائص ما يلي:

• الدالة الثابتة : الدالة الرياضية التي يكون فيها التابع الرياضي ثابتاً ولا يتغير قيمته بغض النظر عن قيمة المتغير المستقل، تسمى بالدالة الثابتة، وصيغتها العامة هي f(x) = a .
• الدالة الجبرية : هو نوع من الدوال، حيث تكون في كل دالة منها كل العمليات الرياضية الأربعة، أي إضافة أو طرح أو ضرب أو قسمة، كافية للحصول على الناتج المطلوب. وتكون صيغتها f(x) = x² + 3x + 6 .
• الدالة متعددة الحدود : هذه دالة متعددة الحدود التي يمكن أن تتضمن واحد أو أكثر من المتغيرات والمعاملات، وتتم بناء الدالة من خلال العمليات الرياضية مثل الجمع والطرح والضرب والقسمة، وتكون درجة الأس في الصيغة الرياضية صحيحة وليست سالبة، وتكون الصيغة كالتالي: P(x) = amxn + an-1xn-1 + … + a1x + a0.
• الدالة التربيعية : هي دالة من الدوال، والصيغة العامة لهذه الدالة المعروفة باسم الدالة التربيعية هي f(x) = ax2 + bx + c.
• تحتوي الدالة التربيعية ذات المتغيرات الثلاثة x، y، z على الحدود x²، y²، z²، xy، xz، yz، x، y، z، وهي دالة ثابتة ممثلة بالمعادلة f(x، y، z) = ax² + by² + cz² + dxy² + exz + fyz + gx + iz + j.
• فيما يتعلق بالدالة التربيعية الأحادية المتغير، يتم تعريفها عن طريق إضافة a أو b أو c أو d أو e أو f إلى معاملات المربع الثانوي، شرطا أن لا يكون أحد هذه المعاملات يساوي 0، وتصاغ كالتالي f(x, y) = ax² + by² + cxy + dx + ey + f .
• الدالة التكعيبية : تعد الدالة التكعيبية واحدة من الدوال التي لها صيغة محددة، والصيغة العامة للدالة التكعيبية هي f(x) = ax3 + bx2 + cx + d .
• تعتبر الدالة المتطابقة أو المحايدة f(x) = x، ∀x∈A، حيث f: A → B .
• الدالة الكسرية: تعد الدالة الكسرية واحدة من أهم الدوال، ويمكن كتابة أي دالة على شكل نسبة بين دالتين متعددات الحدود، حيث تعتبر (P(x و (Q(x دوال كسرية، وينتمي x إلى مجموعة R وتخالف (Q(x الصفر .
• الدوال المثلثية : تعتمد الدوال المثلثية على العلاقات الحسابية بين المثلثات، وتشمل دوال مثل y=sinx و y=cosx و y=tanx .
• الدوال الاسية : تعتبر الدوال الجبرية الأكثر شهرة وانتشارا بين جميع أنواع الدوال، لأنها تستخدم في مختلف العلوم، حيث تسهل العمليات الحسابية في الكيمياء والفيزياء والهندسة وغيرها من العلوم، وتصاغ على النحو التالي: f(x) = ax، حيث a > 0 و a ≠ 1.
• اللوغاريتم : تعتبر دالة اللوغاريتم هي الدالة العكسية للدوال الأسية (f(x) = loga(x، فمثلاً، لوغاريتم 100 بالنسبة للأس 10 هو 10 × 10 = 10² .
• أما دوال التغير: تم تسمية هذه الدوال بدوال التغير لأنها تأخذ أشكالًا مختلفة وفقًا للمتغيرات، فعلى سبيل المثال، إذا كانت الدالة ذات متغير واحد في مجالها، تسمى بدالة متغير واحد، وإذا كانت ذات متغيرين، تسمى بدالة ذات متغيرين، وتنقسم الدوال المتغيرة إلى أربع فئات وهي كالتالي:
• التمثيل البياني : يتم تمثيل الشكل البياني للدالة بعد وضع العناصر الخاصة بالمنطلق والمستقر وربط النقاط .
• والتمثيل الجبري .
• والتمثيل الكلامي .
• وأخيرا التمثيل باستخدام القائمة .
• وبالتالي يمكن تلخيص خصائص جميع أنواع الدوال فيما يلي :
• يتميز التمثيل البياني للدوال التربيعية بتماثيلها حول محور الصاد، حيث يظهر أحد الخطوط الرسم البياني وكأنه معكوس عن الآخر عند خط التناظر .
• تتميز الدالة التكعيبية بزيادة قيمة المتغير الأول عند زيادة قيمة المتغير الثاني ضمن المجال المحدد، بينما تتميز الدالة الجبرية بانخفاض قيمة أحد المتغيرات عند انخفاض قيمة المتغير الثاني .
• تتميز الدوال متعددة الحدود بالتوافق بين كل قيمة من المتغير الأول وقيمة واحدة فقط من المتغير الثاني، ولا يتم تمثيل أي قيمة لهذه المتغيرات بأكثر من قيمة واحدة للمتغير الثاني .