‎انجازات غابرييل كرامر

• حل المعادلة التالية

12  6  0

24   =   11   5   1    det

10   2   2
الحل:

12 6 0
11 5 1  D = det
10 2 2

12 6 0
−1 −1 1  = det
−2 −4 2

2 1  0
−1 −1 1  = 6 det
−2 −4 2

0   −1   2
−1 −1  1  = 6 det
0  −3    2

−1 −1 1
0 −1   2  = −6 det
0 −3   2

1  1  −1
0 −1   2  = 6 det
0 −3   2

1   1  −1
0 −1    2  6 det
0   0  −4

= 6(1)(−1)(−4)

= 24

• حل المعادلات التالية باستخدام كريمر
  x + 2 z + 3 y = 2
  2x + 5 y + 3 z = 3
  x + 8 y = 4

الحل:

عند استخدام قاعدة كرامر في الحل، يتبع الخطوات التالية

1) نحول النظام الى نظام المصفوفات
2) نجد المحدد للمصفوفة الممتدة
3)A3، A2، A1 للمصفوفات المحددة
4) ثم نطبق القاعدة
(1)

1 2 3          X= 2
2 5 3         Y = 3
1 0 8          Z= 4
X = B               A
( 2 )

A = 1 ( 40 ) – 26 – 15 = -1 = 0
( 3 )
2 2 3
A1 = 3 5 3
4 0 8

(A1 = 2 ( 40 ) – 2 ( 12 ) + 3 ( -20
= 80 – 24 – 60
= -4
1 2 3
A2 = 2 3 3
1 4 8

(A2 = 1 ( 12 ) – 2 ( 13 ) + 3 ( 5
= 12 – 26 + 15
= 1
1 2 2
A3 = 2 5 3
1 0 4

(A3 = 1 ( 20 ) – 2 ( 5 ) + 2 ( -5
= 20 – 10 – 10
= 0
( 4 )
X = A1 / A = -4 / -1 = 4
Y = A2 / A = 1 / -1 = -1
Z = A3 / A = 0 / -1 = 0
مجموعة الحلول = 4 , -1 , 0

• تتطلب المسألة حل معادلة بمتغير واحد (Z)2 X + Y + Z = 1، و (X – Z + 4 Y = 0)، و (X + 2 Z – 2 a = 3)

  لإيجاد العدد `زيد` يجب أن نجد العامل المشترك، ثم نحلل `دي زي` بتبديل العمود الثالث بعمود الحل (1-0-3): الحل هو

  Z = 2

• حل المعادلة التالية باستخدام طريقة المحددات

x + 2y = 3

2x + 4y = 6

Δ =1 2
2 4
= 4 – 4

∆ = 0

Δx =3 2
6 4
= 12 – 12

∆ₓ = 0

Δy =1 3
2 6

= 12 – 12

∆ᵧ = 0

إذا كان ∆ = 0 و ∆ₓ = 0 و ∆ᵧ = 0 وكان عنصر واحد على الأقل في ∆ غير صفر، فإن النظام متسق ولديه عدد لا نهائي من الحلول. يمكن تقليص النظام المذكور أعلاه إلى معادلة واحدة. لحل هذه المعادلة، يجب تعيين قيمة y = k.

x + 2y = 3

x + 2 (k) = 3

x + 2k = 3

x = 3 – 2k

y = k

الحل:

x = 3 – 2k

y = k هنا k ∈ R

‎انجازات غابرييل كرامر

• حصل على درجة الدكتوراه بسبب نظريته المتعلقة بالصوت التي قدمها في أطروحته عندما كان في سن صغير لم يتجاوز الـ19 عامًا
• في سن الحادية والعشرين ، درس كريمر الهندسة والميكانيك
• تنتج المقالات ذات الأهمية الكبيرة التي تغطي مجموعة واسعة من الموضوعات، بما في ذلك دراسة المشكلات الهندسية وتاريخ الرياضيات والفلسفة والتاريخ
• تتضمن مهامه معالجة المدفعية والتحصينات وإعادة بناء المباني والحفريات، ويعمل كأمين أرشيف أيضًا
• زار علماء رياضيات بارزين عدة مدن ودول في أوروبا.
•  كان كريمر يعمل على دخول الجائزة التي حددتها أكاديمية باريس لعام 1730 و فاز بجائزة يوهان برنولي
•  طرح كريمر فكرة المنفعة وهي مبدأ أساسي يربط بين نظرية الاحتمالات والاقتصاد الرياضي
• قام بتدريس دوراته باللغة الفرنسية بدلاً من اللغة اللاتينية، التي كانت اللغة التقليدية للعلماء في ذلك الوقت
• تم نشر مقال حول الشفق القطبي في المعاملات الفلسفية للجمعية الملكية في لندن
• كتب مقالًا عن القانون، حيث استخدم المقدار المحتمل لإثبات أهمية الحصول على شهادة مستقلة من شاهدين أو ثلاثة شهود بدلاً من شاهد واحد.
• تم نشر أربعة مجلدات من مقدمة لتحليل المنحنيات الجبرية حيث تضمن العمل قاعدة كرامر التي تحكم حل المعادلات الخطية ومفارقة كرامر

نبذة عن حياة غابرييل كرامر

ولد العالم السويسري في عام 1704 في مدينة جنيف، وعند بلوغه العشرينات من العمر، تولى منصب رئيس مشارك في جامعة جنيف لتدريس الرياضيات، وقام بكتابة العديد من الأبحاث حول السبب الفيزيائي لشكل الكواكب الكروي وحركتها حول الشمس، وعلاج نيوتن للمنحنيات المكعبة.

بعد مرور عام على نشر أهم أعماله الرياضية في عام 1750، تم تعيين كريمر كأستاذ للفلسفة في الأكاديمية، حيث ترك منصبه كالاندريني لخدمة الحكومة السويسرية، ونشر أربعة مجلدات من مقدمة تحليل المنحنيات الجبرية.

احتوى العمل على قاعدة كرامر ، التي تحكم حلول المعادلات الخطية ، ومفارقة كرامر ، التي أوضحت اقتراحًا طرحه كولين ماكلورين (1698-1746) بشأن النقاط والمنحنيات التكعيبية. بالإضافة إلى ذلك ، طرح كريمر فكرة المنفعة وهي مبدأ أساسي يربط بين نظرية الاحتمالات والاقتصاد الرياضي

تعرض كريمر لحادث سقوط من عربة، وكان مرهقًا لفترة طويلة ويشعر بالإرهاق، لذلك نصحه الطبيب بالراحة في جنوب فرنسا. وفي الرابع من يناير 1952، توفي كريمر أثناء توجهه إلى بلدة بانول.

المنحنيات الجبرية

في الرياضيات، يمثل منحنى المستوى الجبري الذري مجموعة متعددة الحدود الصفرية في متغيرين، ويمثل منحنى المستوى الجبري الإسقاطي الصفر المحدد على مستوى الإسقاط لمتغير متعدد الحدود وثلاثي المتغيرات المتجانس .

يتم استكمال منحنى المستوى الجبري للمستوى في منحنى المستوى الجبري الإسقاطي من خلال التجانس، وكثير الحدود المعرف به، والجبر الإسقاطي العكسي.

يمكن تحديد منحنى المستوى بشكل أفقي عن طريق استبدال بعض المصطلحات المتجانسة غير المحددة بمصطلحات جبرية، وهذه العملية تشبه العملية الأخرى .

غالبًا ما يتم استخدام تعبير منحنى المستوى الجبري دون تحديد ما إذا كانت الحالة الجبرية أو الحالة الإسقاطية مشمولة.

بشكل أكثر عمومية ، المنحنى الجبري عبارة عن مجموعة جبرية أحادية البعد ، بالتساوي ، المنحنى الجبري هو مجموعة جبرية تساوي منحنى مستوى جبري في مستوى ثنائي ، وإذا كان المنحنى يقع في مساحة تابعة أو مجال إسقاطي ، فإن واحدًا مثل هذا. يمكنك أن تأخذ إسقاط التكافؤ الثنائي وتسمح المعادلات .

يقلل هذا التكافؤ من قدرة العمل على المنحنيات الجبرية في دراسة منحنى المستوى الجبري، ومع ذلك، هناك بعض الخصائص التي لا يتم حفظها تحت المعادلة الثنائية ويتعين دراستها على منحنيات غير منتظمة.

تشير عادة إلى منحنيات الفضاء أو منحنيات التباعد باسم النعومة، وذلك لأن العديد من منحنيات الجبر غير الفردية لا تساوي أي منحنى مستوى جبري (وينطبق هذا على جميع منحنيات الجنس الإيجابي).

المنحنى الجبري في المستوى الإقليدي

هو مجموعة من النقاط التي تمثل إحداثياتها حلولا لمعادلة رياضية متعددة الحدود وثنائية المتغيرات، وغالبا ما يشار إلى هذه المعادلة باسم “المعادلة المضمنة للمنحنى”، وهي رسم بياني لوظيفة تصف بوضوح العلاقة بين y ودالة x وهي عبارة عن منحنى مرسوم بواسطة مثل هذه المعادلة المضمنة، وتتمثل التحديات الأولية في تحديد شكل المنحنى ورسمه.

حل هذه المشكلات ليس سهلاً كما هو موضح في الرسم البياني للدالة، حيث يمكن حساب قيمة y بسهولة لقيم x المختلفة، ولكن الحقيقة هي أن المعادلة المحددة للدالة تحتوي على حدود كثيرة، مما يعني أن المنحنى للدالة يتميز ببعض الخصائص الهيكلية التي يمكن أن تساعد في حل هذه المشاكل.