في عام 2000، حدد معهد كلاي للرياضيات في كامبريدج، ماساتشوستس، سبعة من أصعب مشاكل الرياضيات التي واجهها العلماء في ذلك الوقت، وعرضوا مكافأة قيمتها مليون دولار على أي شخص يستطيع حلها، وتمثل هذه المشاكل أعمق الألغاز في مجال الرياضيات.
مسائل غير محلولة في الرياضيات
مسألة كثير حدود وكثير حدود غير قطعي
مشكلة P مقابل NP هي مشكلة كبيرة لم يتم حلها، نوقشت القضايا الأساسية لأول مرة في الخمسينيات من القرن الماضي ، في رسائل من جون فوربس ناش جونيور إلى وكالة الأمن القومي ، ومن كورت غودل إلى جون فون نيومان، تم تقديم البيان الدقيق لمشكلة P مقابل NP في عام 1971 بواسطة ستيفن كوك في بحثه الأساسي “تعقيد نظرية إثبات إجراءات”، (وبشكل مستقل من قبل ليونيد ليفين في عام 1973 ، واعتبرها الكثيرون أهم مشكلة مفتوحة في علوم الكمبيوتر، إنها واحدة من مشاكل جائزة الألفية السبعة التي اختارها معهد كلاي للرياضيات ، وكل منها يحمل جائزة بقيمة 1000000 دولار أمريكي للحل الأول الصحيح.
حدسية هودج
تعتبر لغزية هودج من الألغاز الأكثر صعوبة في الفهم والحل. تتطلب فهم هذه اللغزية معرفة متقدمة في المجال الرياضي. صاحب هذه اللغزية هو السير هودج البريطاني الذي أعلن عنها في عام 1950. يشار إلى أن درجة غموضها عالية، حيث تتعلق بحساب التفاضل على الأشكال العامة وليس الأعداد بشكل فعلي أو رمزي.
فرضية ريمان
في مجال الرياضيات، فرضية ريمان هي عبارة عن افتراض يقول أن وظيفة ريمان زيتا تتواجد فقط أصفارها في الأعداد الصحيحة السالبة والأعداد المعقدة ذات الجزء الحقيقي. يعتبر هذا التحليل من قبل الكثيرين أهم مشكلة غير محلولة في مجال الرياضيات البحتة. فهي لها أهمية كبيرة في نظرية الأعداد لأنها تتعلق بتوزيع الأعداد الأولية، وتم اقتراحها من قبل برنهارد ريمان في عام 1859 .
مشكلة هلبرت الثامنة في قائمة ديفيد هلبرت التي تضم 23 مشكلة لم يتم حلها، تشكل فرضية ريمان وبعض تعميماتها، بالإضافة إلى تخمين جولدباخ والتخمين المزدوج. كما أنها واحدة من مشكلات جائزة الألفية بمعهد كلاي للرياضيات. ويستخدم الاسم أيضا لبعض نظائرها ذات الصلة الوثيقة، مثل فرضية ريمان للمنحنيات على الحقول المحدودة.
نظرية يانغ ميلز
نظرية يانغ ميلز هي نظرية قياس تستند إلى مجموعة (SU (N، أو بشكل عام أي جبر كاذب مختزل، تسعى نظرية يانغ ميلز إلى وصف سلوك الجسيمات الأولية باستخدام مجموعات الكذب غير أبليان وهي في صميم توحيد القوة الكهرومغناطيسية والقوى الضعيفة (أي U (1) × SU (2 وكذلك الكم الديناميكا الحرارية ، نظرية القوة القوية (على أساس SU 3 ) وبالتالي فإنه يشكل الأساس لفهمنا للنموذج القياسي لفيزياء الجسيمات.
معادلات نافييه ستوكس
في مجال الفيزياء، تصف معادلات نافييه ستوكس حركة المواد السائلة اللزجة، والتي تم اسمها على اسم كلود لويس نافير وجورج غابرييل ستوكس. وتأتي معادلات التوازن هذه من تطبيق قانون إسحاق نيوتن الثاني على حركة السوائل، مع افتراض أن الإجهاد في السائل يتكون من مصطلح اللزوجة الذي يتناسب مع التدرج اللوني للسرعة، ثم مصطلح الضغط. وتصف هذه المعادلات تدفق المواد اللزجة، والفرق الرئيسي بينها وبين معادلات أويلر الأبسط للتدفق الخفي هو أن معادلات نافير ستوكس تأخذ في الاعتبار حدا فروديا (وجود مصدر خارجي) وليست معادلات حفظ، وهي بذلك تشكل نظام تبديد، أي أنه لا يمكن تطبيقها في شكل متجانس .
تلقى معادلات نافييه ستوكس اهتماما كبيرا أيضا في الرياضيات النظرية، على الرغم من العديد من التطبيقات العملية المتنوعة، لم يتم إثبات وجود حلول ثلاثية الأبعاد بشكل دائم، وإذا كانت موجودة فإما أنها سلسة – أي قابلة للتمييز بشكل لا نهائي في جميع النقاط في الفضاء، وتعتبر واحدة من أهم سبع مشكلات مفتوحة في الرياضيات، وقد منح معهد كلاي للرياضيات جائزة قيمتها مليون دولار أمريكي لحلها .
حدسية بريتش داير
في علم الرياضيات، يصف التخمين البريتش داير مجموعة الحلول المنطقية للمعادلات التي تحدد منحنى إهليلجي، وهي مشكلة مفتوحة في نظرية الأعداد ومشهورة على نطاق واسع بوجودها كواحدة من أصعب المسائل الرياضية. تم اختيار التخمين كواحدة من مشاكل جائزة الألفية السبعة المدرجة في معهد كلاي للرياضيات، حيث يقدم المعهد جائزة قيمتها 1000000 دولار لأول شخص يقدم برهانا صحيحا، وتم تسميتها على اسم العالمين برايان بيرش وبيتر سوينرتون داير اللذين طورا التخمين في الستينيات بمساعدة الحواسيب. ومنذ عام 2018 تم إثبات حالات التخمين الخاصة.
حدسية بوانكاريه
هي المسألة الوحيدة التي تم حلها من قبل بيرلمان. لقد كانت مسألة بوانكاريه، التي صاغها عالم الرياضيات الفرنسي بوانكاريه في عام 1904، واحدة من أصعب التحديات في القرن العشرين، حتى قام غريغوري بيرلمان بإثباتها في عام 2002. اعتبرها معهد كلاي للرياضيات واحدة من مشاكل جائزة الألفية السبعة، وإذا تم حلها، فإنها ستكافئ بمبلغ مليون دولار. حصل غريغوري بيرلمان على ميدالية فيلدز “لإسهاماته في الهندسة ورؤيته الثورية” التي أدت إلى برهانه المبتكر، لكنه رفض كل من الجائزة والميدالية .