غابرييل كرامر كان عالم رياضيات وتلقى تعليمه في جنيف. في عام 1722، عندما كان عمره 18 عاما فقط، حصل على درجة الدكتوراه بعد تقديمه أطروحة حول نظرية الصوت. بعد عامين، شارك في منافسة في الفلسفة في أكاديمية دي كلافين في جنيف وعمل مع كالاندريني في مجال الرياضيات. قام كرامر بتدريس الهندسة والميكانيكا بينما قام كالاندريني بتدريس الجبر وعلم الفلك. خلال تواجده هناك، اقترح كرامر ابتكارا كبيرا قبل قبوله من قبل الأكاديمية، وهو أنه قام بتدريس دوراته باللغة الفرنسية بدلا من اللاتينية، والتي كانت اللغة التقليدية للعلماء في ذلك الوقت .
حل نظام المعادلات الخطية باستخدام قاعدة كرامر
عندما نقوم بحل أي نظام من المعادلات الخطية، يتوفر لدينا ثلاثة أنواع من الحلول: إما حل وحيد، أو عدد لا نهائي من الحلول، أو عدم وجود حل، وبالتالي، نستخدم المعاملات لمعرفة ما إذا كان النظام له حل وحيد، أو عددا لا نهائيا من الحلول، أو عدم وجود حل، ونستنتج ذلك من قيمة المعاملات في المصفوفة، وإذا كانت المعاملات تساوي الصفر، فإن الحل هو “عدم وجود حل للنظام أو عدد لا نهائي من الحلول”، وإذا كانت المعاملات غير مساوية للصفر، فإن الحل الوحيد للنظام موجود .
طريقة كرامر لحل المحددات
عند البحث عن قاعدة كرامر، ستجد أنها تستخدم مصفوفة المعاملات لحل النظام. وبمعنى آخر، إذا كان لدينا نظام من المعادلات، فسوف نحتاج إلى مصفوفة المعاملات الخاصة به. على سبيل المثال، إذا كان لدينا نظاما مثل أ س + ب ص = ك، ج س + د ص = ل، فإن س وص يمثلان المتغيرات التي يجب علينا البحث عن قيمتها، وتحتوي مصفوفة المعاملات على معاملات هذه المتغيرات، وسنقوم بترتيب هذه المعاملات بالشكل التالي: أ ب ج د. هذه هي مصفوفة المعاملات .
طريقة كرامر لحل معادلتين
الآن لدينا مصفوفة المعاملات وهي: أ، ب، ج، د، وعندنا أيضا الثوابت : ك، ل، لكي نحضر ص، سوف نقوم بإزالة أ و ج من مصفوفة المعاملات، ونضع مكانهم ك و ل، وبالتالي سيصبح يبقى المحدد في الأعلى الـ ك والـ ل مكان أول عمود، والـ ب والـ د كما هم، لكن الـ ص، وهي المتغير الثاني هنقوم فيها بإزالة الـ ب والـ د، ونضع مكانهم الـ ك والـ ل .
ويعني ذلك أن قيمة ص تساوي أ، وأن قيمة ج هي كما هي، وسنضع قيمة ك ول في مكان العمود الثاني. ثم سنحضر قيمة المحدد في البسط، بناءً على قيمة المحدد في مصفوفة المعاملات، وبهذا سنحصل على قيمة س. وهكذا بالنسبة لقيمة ص. وعندما نحصل على قيم س وص، سنقوم بإدخالهم في المعادلتين .
طريقة كرامر لحل ثلاث معادلات
إذا كان لدينا نظام من المعادلات : نحل هذا النظام بحل المعادلات الثلاثة المتعددة، والتي هي: أ س + ب ص + ج ع = م، د س + هـ ص + و ع = ر، ك س + ن ص + ل ع = ي
الحل سيكون من خلال إيجاد الـ س، والـ ص، والـ ع بالشكل التالي : الـ س = محدد مصفوفة المعاملات، بعد أن نقوم بتبديل أول عمود في المصفوفة بعمود الثوابت، والـ ص ستكون استبدال ثاني عمود بعمود الثوابت، والـ ع سوف تكون باستبدال ثالت عمود بعمود الثوابت، ثم سنقسم هذا على قيمة محدد مصفوفة المعاملات .
مثال : 4س + 5ص – 6ص = -14، و 3س – 2ص + 7ع = 47، و 7س – 6ص – 8ع = 15
بعد الحصول على عمود الثوابت -14 و47 و15، سنقوم بتبديلهم بمكان أعمدة مصفوفة المعاملات للحصول على الـ س والـ ص والـ ع، وبعد ذلك سنقوم بكتابة مصفوفة المعاملات التالية: 4 و3 و7، و5 و-2 و-6، و6 و-6 و7 و-8 .
نقوم بحساب مصفوفة المعاملات المحددة، ثم نقوم بحساب المقدار الناتج من ضرب الأقطار وطرحهما، ويكون الناتج 621. بعد ذلك، نستخدم قاعدة كرامر لحساب قيمة S وقيمة ص وقيمة ع. نحسب قيمة S عن طريق فك المصفوفة في البسط، وتكون قيمة S تساوي خمسة، وقيمة ص تساوي -2، وقيمة ع تساوي 4 .