ما هي حدسية بوانكاريه

في علم الرياضيات، فإن فرضية بوانكاريه هي نظرية تتعلق بوصف الكرة ثلاثية الأبعاد، والتي تحيط بكرة الوحدة في الفضاء ذي الأبعاد الأربعة. تقول الفرضية إن كل متجانس ثلاثي الأضلاع المغلق يتم مطابقته لمجال ثلاثي الأبعاد، والشكل المكافئ في الفرضية يحتوي على تماثل أكبر من التماثل الهوموتي. بمعنى آخر، إذا كان المتجانس ثلاثي الأضلاع المشابه مثاليا لثلاثة أوجه، فإنه سيكون بالضرورة متجانسا له.

نظريات بوانكاريه

حين نلف حول الكرة خيطا ونمسح به كل قطاعاتها، فإن الخيط سيتحول الى دوائر مختلفة المحيط، وذلك حتى يصبح نقطة، ألا وهي أبسط شكل في الفراغ ثنائي الأبعاد، وبينما نلف خيطا حول قطعة دائرية مثقوبة مثل الدونات فلن يتحول الى نقطة مهما إذاعملية المسح على سطح الدائرة، ولهذا نسمي الكرة سطحا متصلاً، بينما الدائرة أو اي جسم فيه ثقب أو أكثر هو سطح غير متصل.

وضع هنري بوانكاريه النظرية في الأصل، حيث تتصور المساحة المحلية كمساحة ثلاثية الأبعاد عادية ولكنها متصلة، وذات حجم محدود ولا تحتوي على أي حدود. وتشير حدسية بوانكاريه إلى أنه إذا كانت هذه المساحة تحتوي على خاصية إضافية يمكن من خلالها تكبير كل حلقة في الفضاء إلى حد ما، فإن ذلك يعني بالضرورة أن الأبعاد ثلاثية. وقد تم تأكيد تخمينات مشابهة لجميع الأبعاد العليا بالفعل.

دليل غريغوري بيرلمان على حدسية بوانكاريه

بعد ما يقرب من مئة عام من العمل الشاق من قبل علماء الرياضيات، قدم غريغوري بيرلمان دليلا على فرضية بوانكاريه في ثلاثة أوراق متاحة في عامي 2002 و 2003 على ARXiv. استخدم بيرلمان برنامج ريتشارد هاميلتون لاستخدام تدفق ريتشي في محاولة لحل المشكلة. في وقت لاحق، قدم هاميلتون تعديلا على تدفق ريتشي القياسي، وهو معروف باسم تدفق ريتشي بالجراحة، الذي يقوم بإزالة المناطق الفردية بشكل منهجي أثناء تطورها بطريقة مسيطرة. ومع ذلك، لم يتمكن من إثبات أن هذه الطريقة تتقاطع في ثلاثة أبعاد. استكمل بيرلمان هذا الجزء من الدليل، وتأكد العديد من علماء الرياضيات من صحة دليل بيرلمان.

حدسية بوانكاريه والطوبولوجيا

كانت فرضية بوانكاريه، قبل أن يتم إثباتها، أحد أهم الأسئلة المفتوحة في مجال الطوبولوجيا. في عام 2000، تم تصنيفها كواحدة من مشاكل جائزة الألفية السبع، والتي قدم معهد كلاي للرياضيات جائزة بقيمة مليون دولار لأول شخص يقدم حلا صحيحا لها. عمل بيرلمان نجا من عملية المراجعة وتم تأكيد إثباته في عام 2006، مما أدى إلى ترشيحه لجائزة ميدالية فيلدز. ومع ذلك، رفض بيرلمان هذه الجائزة، معتبرا أن مساهمته في إثبات فرضية بوانكاريه ليست أكبر من مساهمة هاملتون. وبحلول عام 2019، أصبحت فرضية بوانكاريه المشكلة الوحيدة من جوائز الألفية التي تم حلها.

في ٢٢ ديسمبر ٢٠٠٦، قدمت مجلة ساينس دليل بيرلمان تكريما لذكاء بوانكاريه واعتبرته `اختراق السنة` العلمي، وهذه هي المرة الأولى التي يمنح فيها هذا الشرف في مجال الرياضيات .

شرح حدسية بوانكاريه

إذا قمنا بتمديد شريط مطاطي حول سطح التفاحة ، فيمكننا تقليصها إلى حد ما عن طريق تحريكها ببطء ، دون تمزيقها ودون السماح لها بمغادرة السطح، من ناحية أخرى ، إذا تخيلنا أن الشريط المطاطي نفسه قد امتد بطريقة أو بأخرى في الاتجاه المناسب حول دونات ، فلا توجد طريقة لتقليصه إلى حد ما دون كسر الشريط المطاطي أو الدونات، نقول أن سطح التفاح “متصل ببساطة” ، لكن سطح الدونات ليس كذلك لأنه مثقوب، قبل حوالي مائة عام ، عرف بوانكاريه أن الكرة ثنائية الأبعاد تتميز أساسًا بخاصية التوصيل البسيط هذه ، وطرح السؤال المقابل على الكرة ثلاثية الأبعاد.

يعتبر هذا السؤال صعبا للغاية، حيث استغرق حله ما يقرب من قرن من الزمان منذ صياغته في عام 1904 من قبل هنري بوانكاريه، وحله غريغوري بيرلمان الذي تم الإعلان عنه في المخططات المنشورة على ArXiv.org في عامي 2002 و 2003، واعتمد حل بيرلمان على نظرية ريتشارد هاملتون لتدفق ريتشي، وتم الاستفادة من نتائج مسافات المقاييس بسبب تشيجر وجروموف وبيرلمان نفسه، وفي هذه الأوراق، أثبت بيرلمان أيضا تخمينات الهندسة الوراثية لويليام ثورستون، وهي حالة خاصة من تخمين بوانكاريه .

من هو بوانكاريه

هنري بوانكاريه كان عالم رياضيات وفيزياء وفيلسوف فرنسيا مميزا في جميع مجالات التخصص، حيث قدم العديد من المساهمات الأساسية والأصلية في الرياضيات البحتة والتطبيقية والفيزياء الرياضية والميكانيكا السماوية، كما كان مسؤولا عن صياغة حدسية بوانكاريه، والتي كانت واحدة من أشهر المشكلات الرياضية التي لم تحل حتى حلت في 2002-2003 بواسطة بيرلمان .

أوضح بوانكاريه أهمية الانتباه إلى استقرار قوانين الفيزياء في ظل التحولات المختلفة، وكان أول من قدم تحولات لورينتز في شكلها المتماثل الحديث، واكتشف بوانكاريه التحولات المتبقية في السرعة النسبية وسجلها في رسالة إلى هندريك لورنتز في عام 1905، وحصل بذلك على استقرار تام لجميع معادلات ماكسويل، وهي خطوة مهمة في صياغة نظرية النسبية الخاصة، اقترح بوانكاريه لأول مرة موجات الجاذبية (جرافات ondes) المنبعثة من الجسم والانتشار بسرعة الضوء كما هو مطلوب بواسطة تحولات لورينتيز في عام 1905 .