ما هي الدوال الاسية بالامثلة

شرح الدالة الاسية

• يتم تعريف الدالة الأسية على أنها دالة ذات ثابت موجب مختلف عن 1 مرفوع إلى قوة المتغير.
• يتم تقييم الوظيفة عن طريق حل قيمة إدخال محددة.
• يمكن العثور على نموذج أسي عند معرفة معدل النمو والقيمة الأولية.
• يمكن العثور على نموذج أسي عند معرفة نقطتين من بيانات النموذج.
• يمكن العثور على نموذج أسي باستخدام نقطتي بيانات من الرسم البياني للنموذج.
• يمكن حساب قيمة الحساب في أي وقت t باستخدام معادلة الفائدة المركبة عند معرفة معدل الفائدة الأساسي والسنوي والفترات المركبة.
• يمكن العثور على الاستثمار الأولي للحساب باستخدام صيغة الفائدة المركبة عندما يكون معدل الفائدة السنوي والفترات المركبة وعمر الحساب معروفة، ويتم تحديد قيمة الحساب بشكل مناسب.
• يُعد الرقم e ثابتًا رياضيًا يستخدم عادة كقاعدة لنماذج النمو والتسوس الأسي في العالم الحقيقي، والتقريب العشري له هو e≈2.718282
• تعتبر نماذج النمو المستمر أو التسوس أنماطًا رياضية تستخدم البريد كأساس لها.
• يمكن العثور على نماذج النمو والتحلل المستمر عندما يتم تحديد القيمة الأولية ومعدل النمو أو التحلل، أو عند البحث عن الدوال والمتغيرات

امثلة على الدوال الاسية

بالإضافة إلى الدوال الخطية والتربيعية والعقلانية والجذرية والمعادلات الجبرية، هناك الآن دوال أسية، وهي الدوال التي تأخذ شكل f(x) = bx ، حيث b هي قاعدة الأس و b ≠ 1 ، وكما هو الحال في أي تعبير أسي، فإن x يمثل العدد الحقيقي

• مثال على الوظيفة الأسية هو نمو البكتيريا: تتضاعف بعض البكتيريا كل ساعة، فإذا كانت هناك بكتيريا واحدة وتضاعفت كل ساعة، ستكون هناك 2^x بكتيريا بعد x ساعة، ويمكن تمثيل هذا بالصيغة الرياضية f(x) = 2^x .

قبل أن تبدأ ،               f(0) = 2⁰ = 1

بعد ساعة واحدة          f(1) = 2¹ = 2

في ساعتين              f(2) = 2² = 4

في 3 ساعات            f(3) = 2³ = 8

و هكذا.

•  مثال عن التسوس الاسي هو العنصر المشع: السيزيوم 137 هو عنصر مشع يستخدم في التطبيقات الطبية، ويبلغ عمر نصف العنصر حوالي 30 سنة. إذا كانت كمية السيزيوم 137 في المختبر تبلغ 10 جرام ولم يتم استخدامه، فكم سيبقى من الوقت حتى يصبح كمية السيزيوم 137 في المختبر 60 عامًا؟

R: هذه هي المبلغ المتبقي، ما تحاول العثور عليه.

A: الكمية الأولية كانت 10 جرام.

H: نصف العمر 30 سنة.

t: مضى 60 عامًا من الزمن. (يرجى ملاحظة أن هذا يتم قياسه بنفس الوحدة، أي السنوات، مثل نصف العمر)

حدد القيم المعروفة في الصيغة.

الاجابة:

خلال 60 عامًا، سيكون هناك كمية 2.5 جرام من السيزيوم 137

• مثال عن الدالة الأسية للثابت الطبيعي e هو الكثافة السكانية: إذا كان معدل نمو السكان السنوي هو 2.5٪، فما هو عدد سكان المدينة بعد ست سنوات إذا كان عدد سكانها الحالي 4 ملايين؟

نكتب المعادلة التالية: (N = 4. Exp(0,025.6

و النتيجة: مليون نسمة N = 4,647 بعد 6 سنوات

تكامل الدوال الاسية

ربما تكون الدالة الأسية، (y = e^x )، هي الأكثر كفاءة في عمليات حساب التفاضل والتكامل، ويمكن الحصول على مشتقها وتكاملها.
يمكن دمج الدوال الأسية باستخدام الصيغ التالية:

[∫e ^ x ، dx = e ^ x + C )

[∫a^x،dx = dfrac{a^x}{ln a} + C]

ان الخطأ الشائع عند التعامل مع التعبيرات الأسية هو معاملة الأس في (e ) بنفس الطريقة التي نتعامل بها مع الأس في التعبيرات متعددة الحدود، اذ لا يمكننا استخدام قاعدة الأس للأس في (e )، قد يكون هذا مربك بشكل خاص عندما يكون لدينا كل من الأسي و متعدد الحدود في نفس التعبير

عند نقطة التفتيش السابقة، في هذه الحالات، يجب علينا التحقق بعناية دائمًا للتأكد من استخدام القواعد الصحيحة للوظائف التي ندمجها.

مثال :احسب مشتقة الدالة الأسية العكسية (e ^ {- x} ).

الحل:

باستخدام استبدال وإعداد (u = – x)، ثم (du = -1، dx)، ضرب المعادلة بـ (du) في (-1)، ليكون لديك الآن (- du = dx)، ثم،

[int e ^ {- x} ، dx = -int e ^ u ، du = -e ^ u + C = -e ^ {- x} + C. no number]

.

تفاضل الدوال الاسية و اللوغاريتمية

تُعَد الدالة الأسية الطبيعية (({f{e}}^x)) ودالة اللوغاريتم الطبيعي ((ln(x))) هما أكثر الدوال الأسية واللوغاريتمية شيوعًا في دورة حساب التفاضل والتكامل.

يمكن استخدام الصيغ لإيجاد مشتقات الدوال الأسية واللوغاريتمية، وتستخدم اللوغاريتمات في الطب، ولتطوير هذه الصيغ، نحتاج إلى وضع افتراضات أساسية معينة

نبدأ بافتراض أن الدالة B (x) = bx ، b> 0 ، معرفة لكل رقم حقيقي وأنها متصلة، تم تحديد قيم الدوال الأسية لجميع الأعداد المنطقية ، بدءًا من تعريف bn ، حيث n هي عدد صحيح موجب، كحاصل ضرب b في نفسه n مرة. في وقت لاحق ، حددنا b0 = 1 ، b − n = 1bn ، لعدد صحيح موجب n ، و bs / t = (bt) s للأعداد الصحيحة الموجبة s و t

تترك هذه التعريفات مسألة قيمة br ، حيث r هو عدد حقيقي تعسفي، وباستمرارية B (x) = bx ، b> 0 ، يمكننا تفسير br على أنه الحد من xb إلى rbx عندما تنتقل القيمة x باتجاه الحد الحقيقي

….43 <4π <44،43.1 <4π <43.2،43.14 <4π <43.15،43.141 <4π <43.142،43.1415 <4π <43.1416

مقارنة بين الدالة الاسية و اللوغارتمية

تعتبر الدالات واحدة من الفئات الرياضية الهامة، والتي تستخدم على نطاق واسع في مختلف فروع الرياضيات، وتشير أسماؤها إلى أن كل من الدوال الأسية واللوغاريتمية هي دوال خاصة.

الوظيفة هي علاقة بين مجموعتين محددتين بطريقة تجعل القيمة التي تتوافق معها في المجموعة الثانية فريدة لكل عنصر في المجموعة الأولى، اسمح أن تكون وظيفة محددة للمجموعة A في المجموعة B، ثم لكل x ϵ A ، يشير الرمز (ƒ (x إلى القيمة الفريدة في المجموعة B التي تتوافق مع x، و تسمى الصورة x الموجودة أسفل ƒ.

تعتبر العلاقة ƒ من A إلى B دالة إذا وفقط إذا كان لكل x ϵ A و y ϵ A ، إذا كان x = y فإن (ƒ (x) = (y، ويُطلق على مجموعة A اسم مجال وظيفة ƒ ، وهي المجموعة التي يتم فيها تعريف الوظيفة.

ما هي الفروقات بين الدالة الأسية والدالة اللوغاريتمية؟

• تُمثل الدالة الأسية بواسطة ƒ (x) = e x، في حين تُمثل الدالة اللوغاريتمية بواسطة g (x) = ln x، والأولى تُعتبر عكس الثانية.
• يتكون مجال الدالة الأسية من مجموعة من الأرقام الحقيقية، بينما يتكون مجال الدالة اللوغاريتمية من مجموعة من الأرقام الحقيقية الموجبة.
• يتألف نطاق الدالة الأسية من مجموعة من الأرقام الحقيقية الموجبة، بينما يشمل نطاق الدالة اللوغاريتمية مجموعة من الأرقام الحقيقية التي يمكن أن تستخدم في اللوغاريتم

فالدالة اللوغاريتمية هي معكوس الدالة الأسية، نظرًا لأن الوظيفة الأسية هي واحد إلى واحد وأكثر من R + ، يمكن تعريف الوظيفة g من مجموعة الأرقام الحقيقية الموجبة في مجموعة الأرقام الحقيقية المعطاة بواسطة g (y) = x ، إذا وفقط إذا ، y = e x . هذه الدالة g تسمى الوظيفة اللوغاريتمية

أو يتم الإشارة بشكل أكثر شيوعًا إلى اللوغاريتم الطبيعي، والذي يتم تمثيله بواسطة g(x) = loge x = ln x. ونظرًا لأنها دالة لوغاريتمية طبيعية، فهي عكس دالة أسية، وإذا تم رسم الدالة الأسية المعكوسة على خط y = x ، فسيتم الحصول على التمثيل البياني للدالة اللوغاريتمية.