ما هي الأعداد الأولية

العدد الأولي هو عدد صحيح أكبر من 1، يمكن تقسيمه بالتساوي إلى 1 ونفسه، ويحتوي على عامل واحد فقط هو العدد الصحيح، وتشمل الأعداد الأولية القليلة الأولى 2 و3 و5 و7 و11 و13 و17 و19 و23 و29، أما الأعداد التي تحتوي على أكثر من عامل فهي مركبة، ولا يعتبر العدد 1 أوليا أو مركبا.

تشير الأعداد الأولية إلى الأرقام الخاصة التي لا يمكن تقسيمها إلا على الرقم واحد فقط، فمثلًا الرقم 19 هو عدد أولي، ويمكن تقسيمه فقط على 1 و19، بينما الرقم 9 ليس عددًا أوليًا، حيث يمكن تقسيمه على 1 و3 و9.

العدد الأولي الأكبر

لكل عدد أولي (ص)، يوجد رقم أولي (ص)، مثل (ص)، والذي يكون أكبر من (ص)، وهذا البرهان الرياضي الذي أظهره عالم الرياضيات اليوناني إقليدس في العصور القديمة يؤكد صحة الفكرة القائلة بأنه لا يوجد رقم أولي أكبر، مع استمرار مجموعة الأرقام الطبيعية ن=(1،2،3،…)، ومع ذلك، تصبح الأعداد الأولية أقل تكرارا بشكل عام، ويصعب العثور عليها في فترة زمنية معقولة، حتى كتابة هذه السطور، كان أكبر رقم أولي معروف يحتوي على 24862048 رقما، وتم اكتشافه في عام 2018 من قبل باتريك لاروش من شركة الإنترنت الكبرى Mersenne Prime Search (GIMPS).

دليل إقليدس على وجود عدد لا نهائي من الأعداد الأولية

استخدم إقليدس نظرية أساسية أخرى لإثبات وجود عدد لا نهائي من الأعداد الأولية، وهي العبارة التي تقول (يمكن كتابة كل رقم طبيعي كمنتج للأرقامالأولية)، وبذلك يمكن إثبات صحة هذا الادعاء بسهولة، حيث يمكن اختيار رقم طبيعي غير مركب وذلك لأنه سيكون أوليًا.

إذا لم يكن الرقم الذي اخترته من رقمين أصغر كلاهما أولي، فيمكنك كتابة الأرقام الأصغر على شكل منتجات ذات أرقام أصغر. وإذا كان الرقم الذي اخترته من رقمين أصغر كلاهما أولي، فقد عبرت عن رقمكمنتج للأرقام الأولية.

وفي هذه العملية ، يمكنك الاستمرار في استبدال أي من الأرقام المركبة بمنتجات ذات أرقام أصغر ، نظرًا لأنه من المستحيل القيام بذلك إلى الأبد ، يجب أن تنتهي هذه العملية ، ولا يمكن تقسيم جميع الأرقام الصغيرة التي ينتهي بها الأمر ، مما يعني أنها أرقام أولية ، كمثال  لنقم بتقسيم الرقم 72 إلى عوامل رئيسية :
72 = 12 × 6 = 3 × 4 × 6 = 3 × 2 × 2 × 6 = 3 × 2 × 2 × 2 × 3.

وبناءً على هذه الحقيقة الأساسية، يمكننا الآن تفسير دليل إقليدس لعدم نهاية مجموعة الأعداد الأولية، وسنوضح الفكرة باستخدام قائمة الأعداد العشرة الأولى، ولكن يجب ملاحظة أن هذه الفكرة نفسها تعمل مع أي قائمة محدودة من الأعداد الأولية.

يمكن حساب الوسيطة لأي قائمة من الأرقام بضرب كل الأرقام في القائمة وإضافة رقم واحد إلى النتيجة، وتسمية الرقم الناتج بـ N. ولا تهم قيمة N في الواقع، بل يجب أن تكون الوسيطة صالحة لأي قائمة
N = (2 × 3 × 5 × 7 × 11 × 13 × 17 × 19 × 23 × 29) +1

يمكن كتابة الرقم N كأي رقم طبيعي آخر، ويمكن استخدامه كمنتج للأرقام الأولية. فمن هم الأعداد الأولية التي تقسم N؟ لا نعرف، لأننا لم نحسبها، ولكن هناك شيء واحد نعرفه بالتأكيد: جميعها تقسم N.

لكن الرقم N يترك باقي واحد عند قسمة ، على أي من الأعداد الأولية في قائمتنا 2 ، 3 ، 5 ، 7 ، … ، 23 ، 29 ، ومن المفترض أن تكون هذه قائمة كاملة بأساسياتنا ، لكن لا أحد منهم يقسم N ، لذا فإن العوامل الأساسية لـ N ليست في تلك القائمة ، وعلى وجه الخصوص  يجب أن يكون هناك الأعداد الأولية الجديدة بعد 29.

كيفية تحديد ما إذا كان الرقم أوليًا

يمكن استخدام الكمبيوتر لاختبار أعداد كبيرة جدًا لمعرفة ما إذا كانت أولية، ولكن لأنه لا يوجد حد لحجم الأعداد الطبيعية، فإن هذا الاختبار يصبح مهمة صعبة جدًا، حتى بالنسبة لأقوى أجهزة الكمبيوتر العملاقة.

تم تطوير خوارزميات مختلفة لتوليد أعداد أولية أكبر من أي وقت مضى، ومثال على ذلك، إذا كان (n) عددًا صحيحًا ولا يزال غير معروف ما إذا كان رئيسيًا أو مركبًا، وهو رقم موجب، فيمكن إيجاده بضرب عددين أصغر معًا.

في البداية، يتم حساب الجذر التربيعي لـ n، أو القوة 1/2 منه، ثم يتم تقريب هذا الرقم لأعلى عدد صحيح ثانٍ يليه، ويتم استدعاء النتيجة m، ثم يتم البحث عن جميع الحلول التالية:

q_m = n / m
q_(m-1) = n / (m-1)
q_(m-2) = n / (m-2)
q_(m-3) = n / (m-3)
. . .
q₃ = n / 3
q₂ = n / 2

يعتبر الرقم n أوليًا إذا وفقط إذا لم يتم تقسيمه على أي عدد صحيح آخر غير 1 أو n، كما هو مشتق أعلاه.

الأعداد الأولية والتشفير

تتمثل قاعدة التشفير الأساسية في أنه لا يحتاج إلى خوارزمية أو إجراء فعلي معين للحفاظ على سرية البيانات، بل يتم ذلك عن طريق المفتاح، لذلك فإن حتى أكثر القراصنة تعقيدا في العالم لن يتمكنوا من فك تشفير البيانات طالما أن المفتاح لا يزال سريا، وتعتبر الأرقام الأولية ذات أهمية بالغة في إنشاء المفاتيح

فعلى سبيل المثال ، تكمن قوة تشفير المفتاح العام أو الخاص ، في حقيقة أنه من السهل حساب منتج رقمين أوليين يتم اختيارهم عشوائيًا ، ولكن قد يكون من الصعب جدًا ، ويستغرق وقتًا طويلاً لتحديد أي رقمين رئيسيين ، تم استخدامهما لإنشاء رقم منتج كبير ، عندما يكون المنتج معروفًا فقط.

ففي RSA ((Rivest-Shamir-Adleman) مفتاح التشفير العام ، من المفترض دائمًا أن تكون الأعداد الأولية فريدة ، والأساسيات التي يستخدمها تبادل مفاتيح Diffie-Hellman ، ومخططات تشفير معيار التوقيع الرقمي (DSS) ، ومع ذلك يتم توحيدها واستخدامها بشكل متكرر ، من قبل عدد كبير من التطبيقات.

حقيقة رقم 11 كعدد أولى

يمكن معرفة كيفية استخدام العمليات الرياضية، سواء كان العدد صحيحًا أم عددًا أوليًا، وبالنسبة للعدد 11 فهو عدد أولي، حيث يتكون من قسمين فقط، الرقم 1 والرقم نفسه (11) 

تردد الأعداد الأولية

وبالنسبة لتكرار الأعداد الأولية وعددها، يتراوح تقريبا بين (مليون ومليون بالإضافة إلى ألف)، والعدد يتراوح بين (مليار ومليار زائد ألف). وهنا يأتي السؤال هل يمكننا تقدير عدد الأعداد الأولية بين تريليون وتريليون زائد ألف

تظهر الحسابات أن الأعداد الأولية تصبح أكثر ندرة مع زيادة الأعداد. هل من الممكن ذكر نظرية دقيقة تعبر عن مدى ندرة هذه الأشياء بالضبط؟ تم ذكر هذه النظرية لأول مرة كحد تخميني (تسمى أيضا فرضية). إنها عبارة رياضية يعتقد أنها صحيحة، ولكن لم يتم إثباتها حتى الآن. يمكن أن ينتج الإيمان بالصلاحية من التحقق من الحالات الخاصة أو الأدلة الحسابية أو الحدس الرياضي. لا يزال هناك تخمينات رياضية يختلف الناس حولها.

تم تطويرها من قبل العالم الرياضي الكبير كارل فريدريش غاوس في عام 1793 ميلادية عندما كان عمره 16 سنة، وفي القرن التاسع عشر، أثر برنهارد ريمان على دراسة الأعداد الأولية في العصر الحديث أكثر من أي شخص آخر، وقد طور أدوات أخرى ضرورية للتعامل معها.

ومع ذلك، تم تقديم الإثبات الرسمي لهذه النظرية فقط في عام 1896 بعد قرن من ذكرها. والمثير للدهشة هو أنه تم تقديم برهانين مستقلين في نفس العام، أحدهما من قبل الفرنسي جاك هادامارد والآخر من قبل البلجيكية دي لا فالييه بوسين. ومن المثير للاهتمام أن نلاحظ أن كلا الرجلين ولدا في وقت وفاة ريمان. وتمت تسمية هذه النظرية (نظرية العدد الأولي) بناء على أهميتها.

تتطلب صياغة نظرية الأعداد الأولية بدقة شديدة وتفاصيل دليلية، وذلك باستخدام رياضيات متقدمة التي لا يمكن مناقشتها بدقة كبيرة، ولكن بصورة أقل دقة، تنص النظرية على أن تكرار الأعداد الأولية حول العدد x يتناسب عكسيا مع عدد الأرقام الموجودة في x.

في المثال السابق، ستكون الأعداد الأولية في (النافذة) التي يبلغ طولها 1000 حوالي مليون، أي الفاصل الزمني بين مليون ومليون وألف، 50٪ أكبر من عدد الأعداد الأولية في نفس (النافذة) التي يبلغ طولها حوالي مليار، وهي نسبة 9:6 تماما كنسبة الأصفار بين مليار ومليون، وحوالي ضعف عدد الأعداد الأولية في نفس النافذة التي يبلغ طولها حوالي تريليون، وهي نسبة 12:6.

بالفعل، تظهر الحسابات الكمبيوترية وجود 75 عددًا رئيسيًا في النافذة الأولى، 49 في الثانية، و 37 فقط في الثالثة، بين تريليون وتريليون زائد ألف.