ما هو قانون ديكارت للاشارات

قاعدة العلامات ديكارت، التي وصفها رينيه ديكارت لأول مرة في عمله لا جيومتري، هي تقنية للحصول على معلومات حول عدد الجذور الحقيقية الإيجابية للعديد من الحدود، وتؤكد أن عدد الجذور الموجبة هو على الأكثر عدد من التغييرات في تسلسل معاملات الحدود المتعددة (باستثناء المعاملات الصفر)، وأن الفرق بين هاتين القيمتين هو ثابت.

ويعني هذا على وجه الخصوص، إذا كان عدد التغييرات في العلامة يساوي صفر أو واحد، فسيوجد بالضبط جذر إيجابي واحد أو اثنان على التوالي.

بتحويل الهوموغرافيك للمتغير، يمكن للشخص استخدام قاعدة علامات ديكارت للحصول على معلومات مماثلة حول عدد الجذور في أي فاصل زمني، وهذه هي الفكرة الأساسية لنظرية بودان ونظرية بودان-فورييهر.

من خلال تكرار تقسيم الفترات الزمنية إلى فترات زمنية أصغر، يمكن للشخص الحصول في النهاية على قائمة تحتوي على جميع الفترات الزمنية التي تحتوي على جذور حقيقية للعديد من الحدود، وتحتوي على جميع الجذور الحقيقية بالكامل.

تعد قاعدة ديكارت للعلامات والتحولات التماثلية للمتغير أساسًا لأسرع الخوارزميات الحاسوبية لحساب الجذور الحقيقية متعددة الحدود في الوقت الحاضر.

يمكن استخدام تحويل x → –x من قبل ديكارت للحصول على معلومات حول عدد الجذور السلبية في الحكم الذي يقدمه.

جذور إيجابية

تنص القاعدة على أنه إذا تم ترتيب شروط متعدد الحدود أحادية المتغير مع المعاملات الحقيقية بواسطة تنازلي الأس ، فإن عدد الجذور الموجبة للعدد متعدد الحدود يساوي عدد فروق الإشارة بين معاملات غير صفرية متتالية ، أو يكون أقل من ذلك برقم زوجي ، يتم حساب جذور متعددة من نفس القيمة بشكل منفصل.

جذور سلبية

يتوافق العدد الموجب للجذور السالبة مع عدد تغييرات علامات مصطلحات القوى الفردية بعد ضرب معاملاتها بمقدار -1، أو يقل العدد عنها بعدد زوجي. ويمكن استخدام هذه القاعدة لاستبدال المتغير بنفسه بالنفي .

على سبيل المثال، لمعرفة عدد الجذور السلبية لـ F(x)=ax^3+bx^2+cx+d، يمكننا السؤال عن عدد الجذور الإيجابية لـ -x في العملية ذاتها

x)+d=-ax^3+bx^2-cx+d=g(x).-f (-x)=a(-x)^3+b(-x)^2+c(

باستخدام قاعدة علامات ديكارت على g(x)، تُعطى عدد الجذور الموجبة xi في g، ونظرًا لأنg(x) = f(-x)، فإنه يعطي عدد الجذور الموجبة (-xi) لـ f، وهو نفس عدد الجذور السالبة xi لـ f .

مثال جذور حقيقية

كثير الحدود

f(x)=+x^{3}+x^{2}-x-1

يشمل ذلك تغيير علامة واحدة بين المصطلحين الثاني والثالث (تسلسل أزواج من علامات متعاقبة وهي + → + ، + → – ، – → -).

في هذا المثال، يوجد جذر واحد إيجابي بالضبط، ويجب ملاحظة علامة المعامل الرئيسية لتحديد عدد الجذور السالبة. للعثور على الجذور السالبة، يجب تغيير علامات معاملات المصطلحات ذات الأس الفردي، أي تطبيق قاعدة علامات ديكارت على f(-x)، للحصول على المتعدد الحدود الثاني

f(-x)=-x^{3}+x^{2}+x-1

كثيرًا ما تحتوي الحدود على تغييرات في العلامة (تسلسل أزواج من العلامات المتعاقبة هو – → +، + + + +، + → -)، ويشير هذا إلى أن هذا الحد يمتلك جذورًا موجبة أو صفر كمتعدد للحد الثاني، وبالتالي فإن المتعدد الأصلي للحدود يمتلك جذورًا سلبية أو اثنين.

العامل كثير الحدود هو في الواقع العامل الأول

بالتالي، فإن الجذور هي -1 (مرتين) و +1 (مرة واحدة).

تعتبر العامل الثاني لـ f(x)=(x+1)^2(x-1) هو 2 جذور سالبة وجذر واحد موجب (+1) .

الدالة f(x)=-(x-1)²(x+1)، وقيمة الدالة عند الحد الثاني هي f(-x)=-(x-1)²(x+1) .

في هذه النقطة ، الجذور هي (مرتين) و -1 (مرة واحدة) + 1 ، وتم استبعاد الجذور المتعددة الحدود الأصلية .

جذور غير حقيقية

في الطائرة المعقدة ، فإن أي درجة متعددة الحدود لها بالضبط n جذور إذا تم حسابها وفقًا للتعددية.

إذا كان (f (x متعدد الحدود وليس له الجذر عند 0 (والذي يمكن تحديده عن طريق التفتيش) فإن الحد الأدنى لعدد الجذور غير الحقيقية يساوي  n-(p+q) ، حيث تشير p إلى الحد الأقصى لعدد الجذور الموجبة ، تشير q إلى الحد الأقصى لعدد الجذور السلبية (يمكن العثور على كلاهما باستخدام قاعدة علامات ديكارت) ، وتشير n إلى درجة المعادلة.

مثال: معاملات صفر ، جذور غير حقيقية .

كثير الحدود .

f(x) = x^3-1

بسبب تغيير علامة واحدة، يكون الحد الأقصى لعدد الجذور الحقيقية الإيجابية في f (-x) = -x^3-1 هو -1 .

يمكن القول إن كثير الحدود ليس له جذور سلبية حقيقية، وبالتالي، يكون الحد الأدنى لعدد الجذور غير الحقيقية هو 2، وذلك من خلال العملية التالية: 3 – (1 + 0) = 2 .

نظرًا لضرورة وجود جذور غير حقيقية محصورة في معاملات حقيقية في أزواج متزامنة، يمكن رؤية أن x3 – 1 لديه جذران غير حقيقيين وجذر حقيقي واحد (وإيجابي).

حالة خاصة

تحدث مضاعفات العدد 2 فقط من الجذور الموجبة الأقصى، لأن كثير الحدود قد يكون له جذور غير واقعية، والتي تأتيدائماً في أزواج، لأن القاعدة تنطبق على كثيرات الحدود التي تكون معاملاتها حقيقية.

وبالتالي، إذا كان من المعروف أن كثير الحدود له جذور حقيقية، فإن هذه القاعدة تسمح للشخص بإيجاد العدد الدقيق للجذور الإيجابية والسلبية، حيث يمكن تحديد جميع الجذور في هذه الحالة نظرًا لأنه من السهل تحديد تكرار الصفر كجذر .

التعميمات

إذا كان لدى متعدد الحدود الحقيقي P جذور موجبة حقيقية محسوبة بتعدد، فسيكون هناك على الأقل k تغييرًا في علامة سلسلة معاملات تايلور لدالة (eaxP(x بما يكفي لتحقيق حد كبير، وسيكون هناك بالضبط مثل هذه التغييرات في العلامة .

في السبعينيات من القرن العشرين، طور أسكولد جورجيفيتش خوفانسكي نظرية عدد قليل من الشخصيات التي تعمم حكم ديكارت .

يمكن اعتبار قاعدة العلامات كمؤشر لعدد الجذور الحقيقية لمتعدد الحدود، حيث يتناسب هذا العدد مع تعقيد كثير الحدود وعدد المونوميات الموجودة فيه، وليس بدرجته .

أظهر خوفانسكي أن هذا ينطبق ليس فقط على مصفوفات الحدود، ولكن أيضًا على التركيبات الجبرية لعدد من الوظائف التجاوزية، المعروفة باسم الوظائف Pfaffian .

من هو رينيه ديكارت

رينيه ديكارت (1596-1650) كان عالم رياضيات مبدع من الدرجة الأولى، وكان مفكرا علميا مهما وعالما في الميتافيزيقا الأصلية. في حياته، كان عالما في الرياضيات أولا، وعالما للطبيعة أو “فيلسوف الطبيعة” في المرتبة الثانية، وثالثا في الميتافيزيقا .

طور ديكارت تقنيات جعلت الهندسة الجبرية، المعروفة أيضا بالتحليلية، ممكنة. وفي الفلسفة الطبيعية، يمكن أن ينسب إليه العديد من الإنجازات المحددة: ابتكار قانون انكسار الجيب، وتطوير حساب تجريبي مهم للقوس قزح، واقتراح حساب طبيعي لتكوين الأرض والكواكب .