ماهي وحيدات الحد في الرياضيات ؟.. وامثلها عليها

ما هي وحيدات الحد

التعبير الجبري هو تعبير مبني على مجموعة من الثوابت والمتغيرات، ويمكن أن يكون التعبير الجبري محدودا أو غير محدود.

توجد تعريفات متعددة لمصطلح وحدات الحد في الرياضيات، ويمكن تبسيط تعريفها بأنها:

الحد الوحيد هو الذي لديه حدود معينة وحدة فقط.

مثال على وحيدة الحد:

5 أ ب³ س^4.

تتكون كثيرات الحدود من مجموعة وحيدات الحد التي تعبر عنها بتعبير جبري يحتوي على عدد محدود من المصطلحات، ونظرًا لأن الحدود تتألف بشكل رئيسي من أحاديات الحدود، فلا يمكن أن تحتوي على أسس سالبة.

يمكن أن تكون حدود كثيرة ذات حدود ثنائية أو ثلاثية أو رباعية أو أكثر من ذلك.

مثال :

ص ع² + 4.

ن أ + 5 ب + أ

أنواع وحيدات الحد

ووحيدة الحد يمكن أن تكون إما  أن تكون :

• عدد ثابت (5، 8، 9).
• عدد متغير (س، ص، ل).
•  ناتج ضرب عددين مع تغييرات، أو 2س ص.

شروط وحيدة الحد

يجب توافر ثلاثة شروط في التعبير الجبري ليطلق عليه الحد الوحيد

• العملية لا تشملالجمع أو الطرح (تتضمن فقط الضرب).
• لا يحتوي على متغير في المقام.
• في وحدات الحد، يجب أن تكون جميع القوى والأسس في البسط أعداد صحيحة غير سالبة، أما في المقام فيمكن أن يحتوي المتغير على أس سالب.

مثال على وحيدات الحد:

45 ، 9س، 2ص² ، 6ن²م، -5، س ص م.

هل التعبيرات التالية وحيدات حد:

10: نعم وحيدة حد.

ف+ 24: ليست وحدها لأنها تشمل عملية جمع.

-س + 5: لا، ليست وحيدة لأنها تحتوي على عملية الجمع.

23 أ ب ج د²: نعم وحيدة حد.

س ص ع² / 2 : نعم، هو متغير واحد لأن المقام لا يحتوي على متغيرات.

م ف / ن : لا، ليست (الحد) وحيدةً؛ لأن المقام يحتوي على متغير.

-15 ج²= نعم وحيدة حد والسبب أن عالم الناقص هي علامة سالب العدد 15 وليست علامة طرح.

 ما هي درجة وحيد الحد

ربما لاحظت في المجموعات السابقة أن بعض وحيدات الحد  لها أس (قوة) مثل 6ن^2م

– في الوحدات الفردية، يمكن جمع أسس المتغيرات معًا لتحديد درجة الدالة الواحدة.

ضع في الاعتبار أن الأس الخاص بالرقم الثابت هو صفر ،

يكون المضاعف الذي لا يحتوي على أي أس مدرج دائمًا بقيمة 1.

على سبيل المثال:

5أ ب³ س⁴ : التعبير السابق هو وحيد حد.

ويمكن حساب درجة هذا التعبير كالتالي:

5 = صفر.

أ = 1 (لأنها أس 1).

ب= 3 (لأن لها الأس 3).

س =4 (لأن لها الأس 4).

إذا كانت الدرجة الإجمالية للوحيدة السابقة = 0 + 1 + 3 + 4 = 8.

مثال:

أوجد درجة التعبيرات الجبرية التالية:

5 س⁴ = 4.

3 ص س ² = 3.

3 م د = 2.

ضرب وحيدات الحدود

يوجد العديد من الحالات التي يمكن استخدام فيها الضرب لتبسيط العبارات الجبرية التي تحتوي على حد واحد.

تكون العبارات الجبرية مبسطة إذا توافرت فيها الشروط التالية:

• يتم تمثيل كل متغير في العبارة بصورة أساسية مرة واحدة فقط.
• لا تحتوي العبارة على قوة القوة.
• يجب أن تكون جميع الكسور في العبارة في صورتها الأبسط.

الحالة الأولى لضرب وحيدات الحد

إذا كان لدينا معادلة تحتوي على متغيرين مع الأساس نفسه ولكن متغيرين في الأس، فإننا نجمع الأس ونترك الأساس بدون تغيير.

مثال

ب³ * ب⁵= ب^{3= 5} = ب⁸

ج⁴ * ج⁶ = ج ^{4 = 6} = ج ¹⁰

مثال:

بسط العبارات الجبرية التالية:

 (6 ن³ ) * ( 2 ن7 ).

الإجابة:

لتبسيط التعبير السابق، يتم جمع الأعداد الثابتة معًا في قوس خاص بها، والمتغيرات في قوس خاص بها.

= (6 * 2) ( ن³ * ن⁷ ).

= 12 * ن ^{3 + 7}.

= 12 ن^10.

(3 ب هـ ³ ) ( ب³ هـ⁴)^.

الإجابة

في التعبير السابق يوجد أكثر من متغير، لذلك يتم جمع كل متغير بين قوسين.

= (3) (ب ^{1 + 3}) (هـ ^{3 + 4} ).

= 3 ب⁴ + هـ⁷ .

بسط التعبير التالي:

(3 ص ⁴) ( 7 ص ⁵ )

الإجابة:

= (3 * 7 ) (ص ^{4 + 5} ).

= 21 ص ⁹

بسط التعبير التالي:

(-4 ر س ² ن³ ) (-6 ر⁵ س² ن).

الإجابة:

= (-4 * -6) (ر ^{1 + 5}) ( س ^{2 + 2}) (ن^{3 + 1}) .

= 24 ر⁶ س⁴ ن⁴

الحالة الثانية من قاعدة ضرب وحدات الحد (قوة القوة) .

لحساب القوة الناتجة، يجب ضرب الأسين ببعضه للحصول على قوة واحدة.

مثال :

(أ^م) ^ن = أ ^{م * ن.}

(ن³) ⁵= ن¹⁵

مثال: بسط العبارة التالية:

( (3 ²)²)⁴

الإجابة:

= 3 ^{2 * 2* 4}

= 3 ¹⁶

الحالة الثالثة من ضرب وحيدات الحد هي إيجاد قوة حاصل الضرب:

لحساب القوة المركبة في التعبير الذي يحتوي على متغيرات وثوابت، نقوم بتوزيع الأس على كافة الثوابت والمتغيرات في التعبير.

على سبيل المثال:

( أ ب )^ن  نقوم بتوزيع ن على أ ثم ب فتكون الإجابة = أ^ن  ب^ن.

مثال :

(-2 س ص³ )^5.

الإجابة

= (-)⁵ 2 ⁵ (س)⁵ (ص³)⁵.

= -32 س⁵ ص¹⁵

ملاحظة: يجب وضع السالب في قوس ورفعه إلى الأس في قوى زوجية، لأن السالب إذا رُفع إلى الأس الفردي فسيبقى سالبًا، بينما إذا رُفع إلى الأس الزوجي سيصبح موجبًا

مثال 

بسط التعبيرات التالية:

( م ن⁴)⁶ = م⁶ ن²⁴.

(-2 م ²ج³هـ²)⁴= 16 م⁸ ج¹² هـ⁸

مثال

إذا كانت م دائرة نصف قطرها =2 س ص2، فعبر عن مساحة الدائرة على هيئة وحيد حد.

مساحة الدائرة = ط نق².

مساحة الدائرة= ط ( 2 س ص²)²

= 4 ط س²ص⁴

إذا كان طول ضلع المربع = 3 م ن²، فعبر عن مساحة المربع باستخدام وحيدة حد.

الإجابة

مساحة المربع = (طول الضلع )².

مساحة المربع = (3 س ص²)²

مساحة المربع =  3 ² س² ص⁴ = 9 س²ص⁴

عبر عن مساحة المثلث الذي يبلغ ارتفاعه 4 أ وطول قاعدته 5 أ ب² على هيئة وحيد حد.

الإجابة

مساحة المثلث = نصف طول القاعدة * الارتفاع.

1/2 * (5 أ ب²) (4 أ).

= 20/2 * أ ^{1+ 1}ب².

= 10 أ ² ب²

مثال

بسط العبارة التالية:

(3 م ن⁴) ²( (-2 ن)²)³

= 3²  م² ن⁸(- ^{2 2}2  ن2)³

= 9 م² ن⁸ (  4³ن⁶).

= 576 م² ن⁸ * ن⁶

= 576 م² ن¹⁴

مثال

بسط العبارة التالية: ( 1/2 س²ص²)³( ( – 4 ص)²) ^2.

الإجابة= (  1/2)³ (س²)³(ص²)³ (-² 4² ب²)²

= 1/8 * 256  س⁶ ص⁶ ص⁴

= 32 س⁶ص¹⁰