الاشتقاقات المختصرة هي أساس علم الرياضيات، وهذا ما سيتم عرضه في ملخص قواعد التمايز، وهي قواعد لحساب المشتقة في الحساب التفاضلي والتكاملي .
قواعد الاشتقاق الأساسي
تشمل بعض قواعد التمايز القاعدة الثابتة وقاعدة القوة وقاعدة متعددة الثوابت وقاعدة المبلغ وقاعدة الاختلاف، وهي مفاجأة للتذكر والاستخدام .
يتم تقديم القواعد الأساسية التي تميز الوظائف في حساب التفاضل والتكامل جنباً إلى جنب مع العديد من الأمثلة.
1- المشتق من وظيفة ثابتة
مشتق f (x) = c حيث c ثابت : f ‘(x) = 0
2- مشتق من وظيفة الطاقة
إشتقاق f (x) = x r حيث r عدد حقيقي ثابت: f ‘(x) = r x r – 1
3- مشتق من وظيفة مضروبة بثابت
مشتق f (x) = c g (x) ، أي : f ‘(x) = c g’ (x)
4- مشتق من مجموع الدوال (حكم المجموع)
يُمْكِنُ الحُصُولُ عَلَى مَشْتَقِّ f(x) = g(x) + h(x) بِالشَّكْلِ التَّالِي: f’(x) = g’(x) + h’(x)
5- مشتق من اختلاف الوظائف
تشتق f(x) = g(x) – h(x)، أي f`(x) = g`(x) – h`(x)
6- مشتق لمنتج وظيفتين (قاعدة المنتج)
يمكن الحصول على مشتق f(x)=g(x)h(x) بتطبيق قاعدة الضرب في الديفرانشل، حيث يساوي f`(x)=g(x)h`(x)+h(x)g`(x)
7- مشتق من حاصل وظيفتين (قاعدة الحاصل)
يتم تشتيت مشتق f(x) = g(x) / h(x) على النحو التالي: f`(x) = (h(x)g`(x) – g(x)h`(x)) / h(x)^2
حساب التفاضل والتكامل
حساب التفاضل والتكامل هي دراسة رياضية للتغيير المستمر ، بنفس الطريقة التي تدرس بها الهندسة الشكل والجبر، وهي الدراسة من تعميمات العمليات الحسابية، وله فرعان رئيسيان ، حساب التفاضل التفاضلي (فيما يتعلق بمعدلات التغيير الآنية ومنحدرات المنحنيات) ، وحساب التفاضل والتكامل المتكامل (فيما يتعلق بتراكم الكميات والمناطق الواقعة تحت منحنى)، ويرتبط هذان الفروع ببعضهما البعض من خلال نظرية حساب التفاضل والتكامل الأساسية، ويستفيد كلا الفرعين من المفاهيم الأساسية لتلاقي التسلسلات اللانهائية والسلسلة اللانهائية إلى حد محدد جيدًا .
وبشكل عام ، يعتبر حساب التفاضل والتكامل الحديث قد تم تطويره في القرن السابع عشر على يد إسحاق نيوتن وغوتفريد فيلهلم ليبنيز. وفي الوقت الحاضر، يتم استخدام حساب التفاضل والتكامل بشكل واسع في العلوم والهندسة والاقتصاد. إن حساب التفاضل والتكامل جزء لا يتجزأ من تعليم الرياضيات الحديثة. ويعد الدراسة في حساب التفاضل والتكامل بوابة للدورات المتقدمة الأخرى في مجال الرياضيات المكرسة لدراسة الدوال والحدود والتي تعرف على نطاق واسع بالتحليل الرياضي. تم تسمية حساب التفاضل والتكامل تاريخيا بـ “حساب التفاضل والتكامل من infinitesimals” أو “حساب المتناهيات الصغيرة.” كما يستخدم مصطلح “حساب التفاضل والتكامل” (calculi) للإشارة أيضا إلى طرق الحساب المحددة أو الترميز، بالإضافة إلى بعض النظريات مثل حساب التفاضل والتكامل Ricci وحساب التباين وحساب لامبدا .
التفاضل والتكامل قديما
تم تطوير حساب التفاضل والتكامل الحديث في أوروبا في القرن السابع عشر عن طريق إسحاق نيوتن وغوتفريد فيلهلم ليبنيز، اللذين قاما بتوسيع الأفكار التي ظهرت في اليونان القديمة والصين والشرق الأوسط. وظهرت هذه الأفكار مرة أخرى في أوروبا في العصور الوسطى والهند. واستخدم أرخميدس طريقة الاستنفاذ لحساب المساحة تحت القطع المكافئ، وقدمت الفترة القديمة بعض الأفكار التي أدت إلى حساب التفاضل والتكامل، ولكن لم تتم معالجة هذه الأفكار بطريقة صارمة ومنهجية. وتركز حسابات الحجم والمنطقة على هدف واحد للحساب التكاملي، ويمكن العثور على بعض الصيغ في بردية موسكو المصرية (الأسرة الثالثة عشرة، عام 1820 قبل الميلاد)، لكنها تعتبر تعليمات بسيطة بدون إشارة إلى الطريقة، كما أن بعضها يفتقر إلى تخصص المكونات .
في عصر الرياضيات اليونانية، استخدم يودوكسوس (حوالي 408-355 قبل الميلاد) طريقة الإنهاك التي تنذر بمفهوم الحد لحساب المناطق والحجوم، وفيما بعد، طور أرخميدس (حوالي 287-212 قبل الميلاد) هذه الفكرة بشكل أكبر واخترع أساليب تجريبية مشابهة لطرق حساب التفاضل والتكامل، وفي وقت لاحق تم اكتشاف طريقة الاستنفاذ بشكل مستقل في الصين من قبل ليو هوي في القرن الثالث الميلادي لحساب منطقة الدائرة، وفي القرن الخامس الميلادي، أسس زو جنجزي، ابن زو تشونغ تشاي، طريقة، والتي سميت فيما بعد بمبدأ كافالييري لإيجاد حجم الكرة .
حساب التفاضل والتكامل في القرون الوسطى
اشتهر الحسن بن الهيثم في الشرق الأوسط، وفي القرن الرابع عشر، قدم علماء الرياضيات الهنود طريقة غير صارمة تشبه التمايز لحساب بعض الوظائف المثلثية. وذكرت مادهافا من سانجاماماغراما ومدرسة الفلك والرياضيات في كيرالا ذلك. وتم تحويل مكونات حساب التفاضل والتكامل إلى أداة حل المشاكل العظيمة التي نواجهها اليوم. ومع ذلك، لم يتمكنوا من جمع عدة أفكار مختلفة في إطار الموضوعين الموحدين للمشتق والمتكامل وتوضيح العلاقة بينهما .