قانون المتسلسلة الهندسية المنتهية

المتسلسلة الهندسية المنتهية

نحتاج إلى فهم المعنى الكامل للمتسلسلة وما هي المتسلسلة الهندسية والفرق بينها وبين المتسلسلة الحسابية، بالإضافة إلى خصائص المتسلسلة الهندسية وأشكالها وتطبيقاتها العملية.

ما هو تعريف المتسلسلة

المتتالية هي مجموعة من العناصر المرتبة بشكل مسلسل ومحدد. هذا الترتيب منظم وليس عشوائيا، حيث تربط بين العناصر في المتتالية حدودا تسمى حدود المتتالية. وتوجد علاقة رياضية تربط بين هذه الحدود، وبعد تطبيق هذه العلاقة، يتم إنتاج كل حد من حدود المتتالية. ويشار إلى المتتالية بصيغة الحد العام للمتتالية باستخدام حرف لاتيني كبير، بينما تسمى حدود المتتالية باستخدام الصيغة “ai” أو “an”، حيث يشير الحرف الفرعي إلى رقم الحد. يمكن أن تكون المتتاليات محدودة وذلك يعني أنها تحتوي على عدد محدد من الحدود، أو يمكن أن تكون غير منتهية الحدود. تعرف المتتالية ببساطة على أنها تابع لمجموعة الأعداد الطبيعية N أو أي مجموعة جزئية غير منتهية منها بنمط { ….n0، n0+1، n0+2}، حيث n0 هو عدد طبيعي محدد يختلف من متتالية إلى أخرى، ومجموعة الأعداد الحقيقية {R} هي المجموعة التي تحتوي على عناصر المتتالية.

تعريف المتسلسلة الهندسية

سلسلة الأعداد الهندسية في الرياضيات هي سلسلة تتوالى بها الحدود بنسبة ثابتة، وبشكل أكثر وضوحا، فإن سلسلة الأعداد الهندسية هي قائمة مرتبة من الأرقام تكون فيها كل حد هو ناتج ضرب الحد السابق في عامل مشترك ثابت وغير صفري، وهذا العامل المشترك يسمى النسبة المشتركة. على سبيل المثال: سلسلة الأعداد الهندسية تكون هندسية لأنه يمكن الحصول على كل حد تتابعي عن طريق ضرب الحد السابق في 1/2. إن سلسلة الأعداد الهندسية هي واحدة من أبسط أمثلة السلاسل اللانهائية التي لديها مجموعات محدودة، وأهم ما يجب معرفته عن السلاسل الهندسية هو أنها لعبت دورا حاسما في تطور حساب التفاضل والتكامل في مراحله المبكرة، وحتى الآن لها دور أساسي وحيوي في دراسة تقارب السلاسل. تستخدم السلاسل الهندسية في الرياضيات، ولمن يعتقد أن السلاسل مجرد أرقام يجب أن يدرك أن لها دورا أساسيا في تطور مجالات مختلفة من العلوم، حيث تتمتع بتطبيقات مهمة في علوم الحاسوب، والفيزياء، والهندسة، وعلم الأحياء، والاقتصاد، والإحصاء المالي، ونظرية الطوابير، والتمويل.

الأختلافات الأساسية بين المتسلسلة الهندسية والمتسلسلة الحسابية

• تتميز المتتالية الهندسية عن المتتالية الحسابية بأن كل عنصر فيها يتم الحصول عليه بضرب أو قسمة العنصر الذي يسبقه بعدد ثابت، بينما تتميز المتتالية الحسابية بأن كل عنصر فيها يتم الحصول عليه بجمع أو طرح عدد ثابت إلى العنصر الذي يسبقه.
•  يتم التغير بين الحدود في المتتالية الهندسية بشكل أسي وفي المتتالية الحسابية بشكل خطي .
• في المتتالية الهندسية، لا يوجد اتجاه محدد لتغيير حدود المتتالية، بل تتغير الحدود بشكل متبادل بين التزايد والتناقص.
• توضح الرسوم البيانية بشكل كبير المتتاليات الهندسية والحسابية .

تطبيقات الحياة الواقعية للمتسلسلة الهندسية والحسابية

على مر الآف السنين، تطورت الأساطير حول المشاكل الرياضية المتضمنة للتسلسلات والسلاسل، وواحدة من أشهر الأساطير حول التسلسلات تتعلق بابتكار لعبة الشطرنج. ووفقا للأسطورة، استدعى ملك هندي المخترع واقترح عليه أن يختار جائزة لابتكار لعبة ممتعة وحكيمة. فاستغرب الملك من الطلب المتواضع الذي طلبه المخترع، فأعطاه حبة قمح للخلية الأولى من الشطرنج، وحبتين للخلية الثانية، وأربع حبات للخلية الثالثة، وضعف العدد في الخلية السابقة للخلية الرابعة، وهكذا. ونتيجة لذلك، ستكون الحبوب الإجمالية في كل 64 خلية من رقعة الشطرنج ضخمة إلى حد يجعل الملك يضطر إلى زراعتها في كل مكان على سطح الأرض بما في ذلك المحيطات والجبال والصحاري، وحتى بعد ذلك لن يكون لديه ما يكفي

هل فكرت يوما كيف يمكن لعلماء الآثار في الأفلام، مثل إنديانا جون، تحديد عمر القطع الأثرية المختلفة؟ يمكن تحديد عمر القطع الأثرية في الحياة الواقعية من خلال كمية النظير المشع للكربون 14 الموجود في القطعة الأثرية. يتميز الكربون 14 بنصف عمر طويل جدا، حيث ينقص كميته بنسبة النصف كل ماضي نصف العمر البالغ 5730 عاما تقريبا. وبالتالي، تشكل هذه الكميات المتتالية من الكربون 14 شروط تناقص هندسي بنسبة مشتركة تبلغ ½.

تعد المتسلسلة الهندسية وخصائصها مفيدة، وبشكل خاص قانون المتسلسلة الهندسية اللانهائية والنهائية في النماذج العلمية والرياضية لعمليات العالم الحقيقي، ويمكن استخدام تسلسلات محددة في دراسة المجموعات السكانية التي تنمو بمعدل ثابت خلال فترات زمنية معينة أو استثمارات تكتسب فائدة، وتتيح الصيغ العامة والمتكررة التنبؤ بالقيم الدقيقة في المستقبل استنادا إلى نقطة البداية والعامل المشترك.

المتسلسلات المنتهية واللانهائية

يمكن أن تقوم المتواليات والسلاسل المقابلة على عدد ثابت من المصطلحات أو رقم لا نهائي. ويمكن أن يكون للتسلسل المحدود رقم بداية وفرق أو عامل وعدد ثابت من المصطلحات. على سبيل المثال، أول متتالية حسابية تحتوي على ثمانية حدود ستكون 1، 3، 5، 7، 9، 11، 13، 15. السلسلة الهندسية الأولى ستحتوي على ستة حدود وستكون 2، 4، 8، 16، 32، 64 والسلسلة المقابلة لها ستكون 64. والمتتالية الهندسية الثابتة ليس لها عدد محدد من المصطلحات، ويمكن أن تنمو حدودها إلى ما لا نهاية أو تنخفض إلى الصفر أو تقترب من قيمة ثابتة، ويمكن أن تكون للسلسلة المقابلة نتيجة غير محدودة أو صفرية أو ثابتة أيضا.

خصائص التسلسل الهندسي

• تتمتع التسلسلات الهندسية بخصائص خاصة تتعلق بالمتوسط الهندسي، والذي يتم حسابه عن طريق جذر التربيعي لضرب العددين معًا. فمثلاً، يكون المتوسط الهندسي للأعداد 5 و20 هو 10، لأن ضربهما يساوي 100 وجذر عدد 100 هو 10.
• في المتتاليات الهندسية، يتم تحديد كل حد كمتوسط هندسي للمصطلح الذي يسبقه والمصطلح الذي يليه، وعلى سبيل المثال، في التسلسل (3، 6، 12 …)، يكون المتوسط الهندسي لـ (3 و12) هو 6، والمتوسط الهندسي لـ (6 و24) هو 12، والمتوسط الهندسي لـ (12 و48) هو 24 .
• تعتمد الخصائص الأخرى للتسلسلات الهندسية على العامل المشترك. إذا كان العامل المشترك (ص) أكبر من 1، فإن التسلسلات الهندسية لا نهائية وإيجابية. إذا كان (ص) بين 0 و 1، فإن التسلسل يقترب من الصفر. إذا كان (ص) بين صفر و -1، فإن التسلسل يقترب من الصفر، ولكن بشروط بالتناوب بين القيم الإيجابية والسلبية. إذا كان (ص) أقل من -1، فإن الشروط تتجه نحو اللانهاية بالتناوب بين القيم الإيجابية والسلبية.

قانون المتسلسة الهندسية المنتهية

يمكن كتابة المتسلسلة الهندسية التي عدد حدودها (n) بتدرج هندسي كالتالي: مجموع المتتابعة الهندسية

ج_ن = أ + أر + أر² + أر³ + … + أر^(ن-1)

يتم تحديد الحد الأول بواسطة (أ)، و (ر) هو الأساس في المتتابعة الهندسية، وهو العدد الذي تتضاعف به الحد السابق للحصول على الحد التالي، ولكن (ر) لا يمكن أن يساوي الواحد.

الصيغة العودية، التي تحدد المصطلح فيما يتعلق بالمصطلح السابق، هى : أ_ن = أ ر {-١}

كيف أستدل علي المتسلسلة الهندسية

بشكل عام، إذا كنت تريد التأكد من إذا كان التسلسل هندسياً أم لا يمكن بسهولة التأكيد من خلال النظر للمدخلات النتتالية إذا كانت  لها نفس النسبة، يمكن أن يكون النسبة الغالبة في سلسة هندسية سالباً، وهذا يؤدي إلي  تسلسل متناوب، و هذا التسلسل المتناوب سيكون أرقاماً تنتقل ذهاباً وإياباً بين إشارات سالبة و إشارات موجبة.