قانون المتسلسلة الهندسية اللانهائية

ماهي المتسلسلة الهندسية

المتسلسلة الهندسية هي مجموعة لا نهائية من الأشكال، وعادة ما تبدأ السلسلة بالرقم (1)، ويوجد دائمًا فجوة بين أي مجموع جزئي.

قانون المتسلسلة الهندسية المنتهية

يمكن كتابة قاعدة المتسلسلة الهندسية المنتهية بالشكل التالي: المتسلسلة التي حدها الأول هو `أ`، وتتكون من جمع أ+أر+أر^٢+أر^٣+…+أر^(ن-١). `أ` هو الحد الأول وهو أساس قاعدة المتسلسلة الهندسية المنتهية، أي العدد الذي يتم ضربه في الحد للحصول على الحد التالي في المتسلسلة. ومع ذلك، لا يمكن أن يكون `ر` يساوي واحد.

ماهي المتسلسلة الهندسية اللانهائية

هذه السلسلة هي مجموع متتابع لأعداد هندسية لا نهائية، ولا يوجد لهذه السلسلة مصطلح نهائي، حيث أن الشكل العام للسلسلة الهندسية اللا نهائية يحتوي على عقدة غير معروفة، ويمكننا حساب مجموع السلاسل الهندسية المنتهية واللا نهائية، ولكن في حالة المتتابعات الهندسية اللا نهائية عندما يكون معدل النسب أكبر من واحد، فإن الحدود في المتتابعة ستصبح أكبر وأكبر، وعند جمع الأعداد الكبيرة، لن يكون هناك إجابة نهائية، والإجابة الوحيدة الممكنة هي اللا نهائية، لذلك لا تتعامل مع معدل النسب المشترك الذي يزيد عن واحد في المتتابعات الهندسية اللا نهائية، وتسمى المتتابعة اللا نهائية التي تحتوي على مجموع متتابعة متقاربة وعقدة غير معروفة “الخط العام، ويمكن استخدام تدوينة سيجما لتمثيل المتتابعة اللا نهائية.

مثال على المتسلسلة الهندسية اللانهائية : ما هو مجموع المتسلسلة التالية: 1 + 1/3 + 1/9 + … إلى ما لا نهاية؟ الحل: المتسلسلة الهندسية اللانهائية لها حد يساوي 1 وأساس يساوي 1/3. بما أن 1/3 أقل من 1، فإن مجموع المتسلسلة يكون c = a / (1 – r) = 1 / (1 – 1/3) = 1 / (2/3) = 3/2 

المتتاليات والمتسلسلات الهندسية

المتتاليات الهندسية

المتتالية الهندسية هي قائمة مرتبة من الأرقام يتم فيها إيجاد كل حد بعد الأول بضرب الرقم السابق في ثابت يسمى، النسبة المشتركة.أو هى: قائمة مرتبة من الأرقام يتم فيها إيجاد كل حد بعد الأول بضرب الرقم السابق في رقم ثابت غير صفري يسمى النسبة المشتركة، يُعرف أيضًا بالتقدم الهندسي  هو تقدم هندسي بنسبة مشتركة.

سلوك المتواليات الهندسية

عندما نرغب في التحقق مما إذا كان التسلسل هو هندسي، يمكننا ببساطة التحقق مما إذا كانت القيم المتتالية في التسلسل لها نفس النسبة، وقد تكون النسبة الشائعة لسلسلة هندسية سالبة، مما ينتج عنه تسلسل متناوب. في التسلسل المتناوب، تتنقل الأرقام ذهابا وإيابا بين القيم الموجبة والسالبة، وسلوك التسلسل الهندسي يعتمد على قيمة النسبة المشتركة. ستتعاقب الشروط بين القيم الموجبة والسالبة في تسلسل هندسي مع النسبة المشتركة، أو قد يظهر النمو الهائل أو التدهور، في حالة التقدم اللوجستي أو الانخفاض، وفقا لاختلاف مشترك في حساب التقدم. استند TR Malthus إلى هذه النتيجة كأساس رياضي لمبدأ سكانه، حيث لاحظنا أن نوع التقدم مرتبط بذلك.

تؤدي كل مصطلح من التقدم الحسابي إلى تقدم هندسي، بينما يؤدي أخذ لوغاريتم كل مصطلح في تسلسل هندسي مع نسبة مشتركة موجبة إلى حدوث تقدم حسابي، باستخدام النسبة المشتركة والحد الأول من التسلسل الهندسي لجمع الحدود المتتالية، يمكننا تجميعها، وبالتالي تشكل المصطلحات المتتالية الهندسية تقدما هندسيا، مما يعني أن نسبة الحدود المتتالية في السلسلة ثابتة وتعتمد سلوك المصطلحات على النسبة المشتركة.

التعاقب الهندسي

 هي سلسلة مكونة من أرقام، يتم فيها إيجاد كل حد بعد الأول عن طريق ضرب الرقم السابق بعدد ثابت غير صفري يسمى النسبة المشتركة. السلاسل الهندسية هي أمثلة على السلاسل اللانهائية ذات المجاميع المحدودة. على الرغم من عدم توفر هذه الخاصية في كل السلاسل الهندسية من الناحية التاريخية، إلا أنها لعبت دورا هاما في التطور المبكر لحساب التفاضل والتكامل. ولا تزال تلعب دورا محوريا في دراسة تقارب السلاسل. تستخدم السلاسل الهندسية في الرياضيات، ولها تطبيقات مهمة في الفيزياء والهندسة وعلم الأحياء والاقتصاد وعلوم الكمبيوتر ونظرية الطابور والتمويل. تشكل المتسلسلة الهندسية تقدما هندسيا، مما يعني أن نسبة الحدود المتتالية في السلسلة ثابتة.

نسبة المشتركة

نظرًا لأن هذه النسبة مشتركة بين جميع أزواج المصطلحات المتتالية، فإنها تسمى النسبة المشتركة التي يتم الإشارة إليها بواسطة الحرف r، بينما إذا كانت النسبة بين المصطلحات المتتالية غير ثابتة، فإن التسلسل ليس هندسيًا.

يتم تعريف النسبة المشتركة للتتابع الهندسي بالصيغة r = a n + 1 / a n

مصطلح عام

التسلسل الهندسي هو دالة أسية بدلاً من الدالة y = ax، حيث يتم تمثيلها بواسطة a_n = cr^n، وحرف r هو النسبة المشتركة، وحرف c هو ثابت، ولكنه ليس الحد الأول للتسلسل الهندسي.

فهو يعتبر مصطلح تعاودي، حيث يتم العثور على كل مصطلح بضرب المصطلح السابق في النسبة المشتركة، أ ك + 1 = أ ك * ص، وذلك يُماثل المتتالية الحسابية، باستثناء أن كل حد مضروب في عامل إضافي لـلحرف  r والأس على r سيكون أقل من عدد الحد بمقدار واحد، لم يتم ضرب الحد الأول في r مطلقًا (الأس على r هو 0) حيث يتم ضرب الحد الثاني في r مرة واحدة تم ضرب الحد الثالث في r مرتين وهكذا..

صيغة الحد العام للتتابع الهندسي هي a n = a 1 r n-1.

مجموع جزئي

باعتبار أن السلسلة هي مجموع المتسلسلة التي نرغب في إيجاد قيمة لها: نث مبلغ جزئي أو مجموع شروط ن الأولى من التسلسل الآن، إذا حاولنا معرفة مصدر أجزاء مختلفة من هذه الصيغة، يمكننا تخمين صيغة لنث المبلغ الجزئي. 2 في البسط هو الحد الأول أ 1 . 243 في البسط هي ضعف نسبة نث المدى – ما يجعلها ن + 1 المدى، مضروبة في 1 ص * ن . نظرا لأن كلا الحدين في البسط يحتويان على 1 ، فيمكن أخذ ذلك في الاعتبار. 1 في المقام هو دائما 1 والمقام 3 هو النسبة r. هذا يجعل مجموع الحد الأول n S n = a 1 (1-r n ) / (1-r).

يوجد افتراض ضمني يمنع r من الاقتراب من القيمة 1، ولكن نظرًا لأنه افتراض ضمني، فلا يلزم ذكره.

صيغة مبلغ جزئي من سلسلة هندسية هي S ن = (1 – ص ن) / (1 – ص) من 1 إلى ن.

مجموع لانهائي

هناك نوع آخر من التسلسلات الهندسية، وهي التسلسل الهندسي اللانهائي، الذي هو مجموع تسلسل هندسي لا نهائي.

عندما تكون النسبة أكبر من 1، ستصبح الحدود في المتسلسلة أكبر وأكبر ، وإذا أضفت أعدادًا أكبر وأكبر إلى الأبد ، فستحصل على ما لا نهاية للإجابة. لذلك لا نتعامل مع سلسلة هندسية لا نهائية عندما يكون حجم النسبة أكبر من واحد لا يمكن أن يساوي مقدار النسبة واحدًا لأن هذه السلسلة لن تكون هندسية وأن صيغة الجمع ستقسم على صفر.

الحالة الوحيدة المتبقية، إذن هى عندما يكون حجم النسبة أقل من واحد، ضع في اعتبارك أن r = 1/2. قد يكون التسلسل 1 ، 1/2 ، 1/4 ، 1/8 ، 1/16 ، 1/32 ، 1/64 ، 1/128 ، 1/256 ، 1/512 ، 1/1024 ، 1/2048 ، 1/4096 ، 1/8192 ، 1/16384 ، 1/32768 ، 1/65536 ،… مع استمرار التسلسل ، تصبح المصطلحات أصغر وأصغر ، تقترب من الصفر.

من الأنواع المختلفة للمتسلسلات التوالفية وأعداد فيبوناتشي، المتسلسلات الحسابية التي تعتمد على حدود والمتسلسلات الهندسية التي تتألف من قائمة من الأرقام ويتم إيجاد كل حد بعد الأول بضرب العدد السابق بثابت.

سبب تسمية المتتاليات الحسابية بالحساب

تم العثور على تسلسلات هندسية على الألواح البابلية التي يعود تاريخها إلى 2100 قبل الميلاد حيث تم العثور على التسلسلات الحسابية لأول مرة في بردية أحمس التي يرجع تاريخها إلى عام 1550 قبل الميلاد ومع ذلك يبدو أن أسماء هذه المفاهيم قد استغرقت وقتًا أطول بكثير في بعض الحالات التي لم يكن بها معيار لكيفية الإشارة إليها حتى مصطلح التقدم لم يكن بالضرورة معيارًا.

يمكننا القول إن كل مصطلح في التسلسل الهندسي (الحسابي) يمثّل المتوسط الهندسي (الحسابي) للعناصر التي تسبقه وتليه، وتأتي أسماء هذه الوسائل بسبب الأساس المنطقي الذي يقوم عليها.