النسبة والتناسب هما علاقات رياضية بين متغيرات أو أكثر، ويتم قياس النسبة والتناسب في وحدات الطول أو الوقت أو السرعة أو الزمن أو غيرها من المقاييس الأخرى، وسوف نناقش هذه العلاقات بالتفصيل أكثر.
النسبة
النسبة هي العلاقة الرياضية التي تربط بين متغيرين أو كمية محددة تحمل كل منهما مقياسًا معينًا.
وتكتب النسبة بهذا الصورة (1:تسمى النسبة 1:2 بـ `حدي النسبة`، وتكون النسبة دائمًا على شكل كسر، ويتم تحويل الكسر دائمًا إلى رقم صحيح.
خصائص النسبة
عند ضرب حدي النسبة في نفس العدد، بشرط أن يكون الناتج غير يساوي الصفر، فإن قيمة النسبة لا تتغير.
مثال: 2:5 = 2*3: 5*3 = 5*16.
عند قسمة الحدود النسبية على العدد نفسه، شريطة ألا يكون العدد صفرًا، فإن قيمة النسبة لا تتغير.
مثال: النّسبة 3:9 = 3÷3 : 9÷3 = 1:3
عند إضافة نسبة الطرح إلى العدد الأساسي، تتغير النسبة. فمثلاً، إذا كانت النسبة (3:5) وأضيف إليها العدد (2)، فستصبح النسبة (5:7).
وكذلك الأمر بالنسبة للطرح لو طرحنا الرقم 2 م (3:5) سوف تصبح النسبة (1:3).
أمثلة على النسبة
مثال(1): إذا كانت النسبة بين س وص تساوي 3:8 وكانت قيمة س تساوي 9، فما هي قيمة ص؟
الحل: 9:ص=3:8.
يتم ضرب حدود النسبة الثانية في الرقم 3 حتى تتساوى الحدود في النسبتين، وبالتالي تصبح المعادلة: 9:ص = 9:24، وبالتالي فإن قيمة ص تساوي 24.
مثال(2): إذا كانت النسبة 3:7 هي نسبة عمر زينة إلى عمر سديل، وكان عمر زينة تسع سنوات، فما هو عمر سديل؟
الحل: نسبة 3:7 تساوي عمر زينة لعمر سديل. نضرب الحد الأول من النسبة (3) بالعدد ثلاثة حتى يصبح متساوياً مع الحد الأول من النسبة الثانية (9)، فيصبح النسبة 9:21 = 9:عمر سديل، وبذلك يكون عمر سديل يبلغ 21 سنة.
التناسب وأنواعه
تتناسب الكميتان مع بعضهما إذا كانت كل كمية منهما تتغير بنسبة ثابتة بالنسبة للتغير في الكمية الأخرى، ومن أنواع النسب ما يلي:
التناسب الطردي
هو التناسب المباشر بين الكميتين، وخاصة إذا كانت زيادة الكمية في إحداهما بنفس القيمة أو بنسبة ثابتة مرتبطة بزيادة الكمية الأخرى.
يتمثل التناسب بين كمية استهلاك المياه وعدد السكان في أن زيادة عدد السكان يؤدي إلى زيادة الكمية الإجمالية للمياه المستهلكة.
مثال آخر: مثال: إذا كانت أجرة العامل بمقدار 5 دنانير لكل ساعة عمل، فما هي العلاقة بين أجرة العامل وعدد ساعات العمل؟
الحل: ساعة عمل = 5 دنانير.
ساعتان عمل =10 دنانير.
3 ساعات عمل = 15 ديناراً.
4 ساعات عمل تعادل 20 دينارًا، … الخ.
ملاحظة: تزداد العلاقة تبعا لزيادة ساعات العمل ويرتفع أجر العامل.
التناسب العكسي
العلاقة بين الكميتين تتناسب عكسيًا، ويعني ذلك إذا زادت كمية أحدهما بمقدار ثابت أو نسبة ثابتة، فإن ذلك يؤدي إلى انخفاض كمية الآخر.
مثال: يتناسب شدة التيار بشكل عكسي مع قيمة المقاومة في الدوائر الكهربائية، وبمعنى آخر، كلما زادت شدة التيار الكهربائي، قلت قيمة المقاومة والعكس صحيح.
مثال: إذا قام 4 عمال ببناء حاجز، استغرق بناؤهم 3 ساعات، أجب عما يأتي: ما هي العلاقة بين عدد العمال والزمن المطلوب لإكمال العمل؟
الحل: العلاقة عكسية، حيث يقل الوقت اللازم لإنهاء العمل كلما زاد عدد العمال، لأن زيادتهم يؤدي إلى إنجاز العمل بشكل أسرع وبأقل وقت.
ما هو ثابت النسبة؟
الحل: 3 = 4 ÷ م، (حيث m ثابت النسبة).
وبضرب طرفي المعادلة بالعدد 4، تصبح: 3×4 = 4 ×(4 ÷م). م= 12.
إذا كان عدد العمال 6، فكم يلزم من الوقت لإنهاء العمل؟
الحل: ثابت التناسب = عدد العمال ÷ الوقت المستغرق لإنهاء العمل.
6 ÷ 12 = 2، لذلك يتوجب علينا الحاجة إلى ساعتين فقط لإنجاز العمل إذا كان عدد العمال 6.