يتضمن أي مثلث ثلاث زوايا، حيث يبلغ مجموع زوايا المثلث الشهير 180 درجة، بغض النظر عن نوع المثلث، ويتم تصنيف المثلث حسب قياس زواياه الداخلية، وهناك ثلاثة أنواع من المثلثات وهي: المثلث القائم الزاوية، المثلث المتساوي الساقين، والمثلث المتساوي الأضلاع.
تعريف المثلث
المثلثات هي أشكال ذات ثلاثة أضلاع تتكون من ثلاثة قطع مستقيمة، وتتقاطع أضلاعها في نقاط الزوايا. يتم تحديد نوع المثلث بناءً على طول الضلع وحجم الزاوية، ويوجد ثلاثة أنواع من المثلثات وفقًا لطول الضلعوهي:
- مثلث متساوي الأضلاع.
- مثلث متساوي الساقين.
- مثلث قائم الزاوية.
يسمى المثلث أيضا باسم المثلثات المشهورة بناء على زواياه
- إذا كانت جميع الزوايا أقل من 90 درجة، فإنها تسمى حادة.
- إذا كانت إحدى زواياه 90 درجة يسمى قائما.
- إذا كانت إحدى زوايا المثلث أكبر من 90 درجة، فإن المثلث يسمى منفرجًا
أنواع المثلثات وخصائصها
أنواع المثلثات هي:
- المثلث المتساوي الأضلاع : المثلث المتساوي الأضلاع هو المثلث الذي تتساوى أطوال جميع أضلاعه، وتكون جميع زواياه بقياس 60 درجة.
- المثلث المتساوي الساقين : ويتميَّزُ هذا المثلثُ أنَّ لهُ وجهينِ متساويينِ في الطولِ.
- مثلث سكالين : يختلف طول كل ضلع من أضلاع هذه المثلث عن الآخر، فلكل ضلع طول مختلف.
زوايا المثلثات المشهورة
- مثلث قائم الزاوية : يحتوي هذا المثلث على زاوية واحدة بزاوية 90 درجة، وزاويتين حادتين.
- المثلث الحاد :يتكون هذا المثلث من ثلاث زوايا حادة، والزاوية الحادة هي التي تقل عن 90 درجة.
- المثلث المنفرج : يتكون هذا المثلث من زاويتين حادتين وزاوية مفتوحة أي أكثر من 90 درجة. [2]
خصائص المثلثات
هناك أمور مشتركة بين المثلثات الثلاثة مثل القاعدة والارتفاع والمساحة:
- القاعدة Base : تشير قاعدة المثلث إلى الجانب الذي يكون في الجزء السفلي من أي مثلث، حيث يمكن أن يكون أي جانب من جوانب المثلث هو القاعدة.
- الارتفاع Altitude : يعني ارتفاع المثلث الخط الذي يمر عمودياً على قاعدة المثلث ويمر عبر الزاوية المقابلة للقاعدة، ويحسب طول الارتفاع من القاعدة إلى الزاوية المقابلة، وبما أن هناك ثلاث قواعد محتملة للمثلث، فإن هناك ثلاثة أرتفاعات محتملة له أيضًا.
- المساحة : هو المقدار الذي يمثل مساحة المثلث. [2]
طريقة حساب ارتفاع المثلث
هناك العديد من الطرق لحساب ارتفاع المثلث ومنها:
باستخدام قانون مساحة المثلث
يمكن حساب ارتفاع المثلث إذا كانت مساحته وطول قاعدته معروفين، وذلك باستخدام قانون مساحة المثلث، ويمكن تطبيق هذه الطريقة على جميع أنواع المثلثات:
قانون مساحة المثلث=
½ القاعدة × الارتفاع
مثال:
إذا كانت مساحة المثلث 30 سم مربعٍ وطول قاعدته 3 سم، فإن ارتفاعه يساوي
2×30÷ 3=
60÷3 = 20 سم٢
نظرية فيثاغورس
تعتبر نظرية فيثاغورث واحدة من أقدم النظريات المعروفة في علم الرياضيات وتمت تسميتها بهذا الاسم نسبةً إلى الفيلسوف وعالم الرياضيات اليوناني فيثاغورث، وهي واحدة من أشهر النظريات في علم الرياضيات، وتستخدم في مجموعة كبيرة من المجالات العملية، مثل حساب زوايا المثلثات الشهيرة
البناء، الملاحة، الهندسة وعلوم الرياضيات.
قانون نظرية فيثاغورس
مجموع مربعي طولي ضلعي الزاوية القائمة، وهي الضلع الأقصر في المثلث القائم الزاوية، يساوي مربع طول الوتر الذي هو الضلع الأطول في المثلث.
حساب زوايا المثلثات المشهورة
هناك العديد من الطرق التي يمكن من خلالها قياس زوايا المثلث
إذا علمت قيمة زاويتين في المثلث: يمكن معرفة زاوية المثلث المجهولة عن طريق جمع الزاويتين المعروفتين وطرحهما من 180.
المثلث متساوي الأضلاع: تتساوى جميع زوايا المثلث المتساوي الأضلاع، حيثريج معنى أن قياس كل زاوية يساوي 60 درجة، بالإضافة إلى أن المثلث المتساوي الأضلاع يكون أيضًا متساوي الزوايا.
إذا علمت قيمة زاوية واحدة: إذا كانت قيمة زاوية واحدة معروفة، فهناك احتمالان: إما أن يكون المثلث متساوي الأضلاع، أو أنه مثلث قائم الزاوية،
في حالة المثلث القائم، إحدى زواياه تكون قائمة أي بزاوية 90 درجة، وبذلك نقوم بجمع الزاوية المعروفة مع 90 ويتم طرح الناتج من 180 للحصول على الزاوية المجهولة.
في حالة المثلث المتساوي الساقين، تكون زوايا القاعدة متساوية، وبالتالي فإن مجموع زوايا المثلث المتساوي الساقين يساوي
2س+ص= 180
الزوايا الخارجة عن المثلث
يمكن الحصول على الزوايا الخارجية للمثلث برسم شعاع أو خط مستقيم يمتد من أحد الأضلاع، وبذلك يتم تحديد الزاوية الخارجية التي تتكون بين هذا الامتداد والضلع المجاور لها.
حساب المثلثات
الهندسة المثلثية (الترايجونومتري) هي فرع من فروع الرياضيات، يدرس العلاقة بين أضلاع المثلثات وزواياها المشهورة، ويمكن تطبيقها على جميع الأشكال الهندسية، حيث يمكن تقسيم أي شكل مستقيم إلى مجموعة من المثلثات وتطبيق قوانينها.
ويهتم علم حساب المثلثات بكل ما يخص المثلثات مثل: يقوم بحساب قياسات الزوايا والأضلاع الغير معروفة، ويهتم أيضًا بالعلوم والهندسة والألعاب الإلكترونية.
علم حساب المثلثات و المثلث قائم الزاوية
يُعَدُّ المثلث القائم الزاوية واحدًا من أهم أنواع المثلثات في علم حساب المثلثات، وتُرمز للزاوية القائمة التي يبلغ قياسها 90 درجة بمربع صغير على الزاوية، في حين يُرمز إحدى الزوايتين الأخيرتين بالرمز `س`، وتصنف الأضلاع الثلاثة للمثلث على النحو التالي:
- الضلع المجاور: الضلع المجاور أو القريب من الزاوية س.
- الضلع المقابل: وهو الضلع الذي يقابل الزاوية س.
- الوتر: هو الضلع الاطول في المثلث.
المتطابقات المثلثية الأساسية
من أهم النسب المثلثية للمثلث القائم الزاوية في حساب المثلثات:
- الجيب أو (جا) sine:
جا = الضلع المقابل للزاوية س÷ وتر المثلث.
- جيب التمام (جتا) cosine:
جتا س= (الضلع المجاور للزاوية س) ÷ (وتر المثلث).
- الظل (ظا) tangent:
ظا = الضلع المقابل للزاوية س ÷ الضلع المجاور للزاوية
جا س÷ جتا س
كيف يتم قياس زوايا المثلثات المشهورة
يمكن قياس زوايا المثلثات الشهيرة باستخدام المنقلة أو مكتشف الزوايا الرقمي، كما يمكن استخدام مكتشف الزوايا لقياس الأخشاب المقطوعة أو كمقياس شطب لنقل الزوايا عند الحاجة إلى قطع المزيد من القطع الخشبية.
ليست هذه الأداة مناسبة كأداة رسم تقنية، حيث إن المحور لن يجلس مسطحًا على الورق كما هو الحال في المنقلة. كما أنها آلة مصنوعة من الفولاذ المقاوم للصدأ وقد تكون آلة حادة غير مناسبة للاستخدام من قبل الأطفال
حساب زوايا المثلثات المشهورة
يعد حساب زوايا المثلثات من الطرق الرياضية الأسهل، ويوجد العديد من الطرق المختلفة لحساب زوايا المثلثات. ومن أهم هذه الطرق نظرية فيثاغورث الشهيرة في علم الرياضيات، حيث يكون مجموع قياسات زوايا المثلث 180 درجة، ويمكن تحديد المثلث بناء على أطوال أضلاعه أو قيمة الزوايا الداخلية.
حجم المثلث
نظرًا لأن المثلث هو هيكل ثنائي الأبعاد، فمن المستحيل حساب حجمه، إذ أن المثلث مسطح وليس له حجم.
معرفة جوانب المثلث إذا كنت أعرف جميع الزوايا
إذا كنت تعرف جانبًا واحدًا على الأقل من المثلث، فسوف لن تستطيع تحديد طول أضلاعه، ولا يوجد مثلث فريد له كل الزوايا متساوية، ولكن المثلثات التي لها زوايا متساوية هي المتشابهة، ولكن نسب الأضلاع للمثلثين المتشابهين هي نفسها.