تمارين محلولة عن الاحتمالات

قوانين الاحتمالات

يتم استخدام الإحصاء لدراسة الاحتمالات من خلال العينات والمؤشرات، وهناك أمثلة على الاحتمال المشروط الذي يستخدم فيه الإحصاء الوصفي والاستنتاجي، ويجب أن يكون الأمر مشروطا لأن حجم العينة يتأثر بالدقة والثقة ودرجة التعميم وغيرها من عوامل قوانين الاحتمالات في الرياضيات متعددة .

 العينة المنتظمة العشوائية :

هي العينة التي يتم استخدام معادلة N/n=K

فقي عينات المجتمعات لتنظيم الاحتمالات يتم استخدام المفردات كالآتي :

K =الزيادة المنتظمة .

N: حجم المجتمع .

n: حجم العينة .

– “يتم تطبيق قياس نسبة الاحتمالات على المجتمعات عن طريق العينة العشوائية المنتظمة

تم البحث في إمكانية تحديد الدوال بطرق فعالة في الاحتمال المشروط  .

اسئلة على الاحتمالات مع الحل

السؤال الاول عن دحرجة قالب:

يتم دحرجة قالب

الاحتمال المطلوب : الحصول على رقم زوجي.

الحل :

يجب كتابة مساحة العينة A قبل القيام بالتجربة.
A = {1،2،3،4،5،6}
لنفترض أن F يمثل الحدث `تم الحصول على عدد زوجي` ، فلنكتب ذلك.
هـ = {2،4،6}
قم باستخدام  صيغة الاحتمال الكلاسيكي.
نسبة الفوسفور (F) = n (F) / n (A) = 3/6 = 1/2

السؤال الثاني قذف العملتين :

الحالة :قذف عملتين .

الاحتمال المطلوب :الحصول على رأسين.

ملاحظة:

لكل عملة نتيجتان محتملتان: وجهة (رؤوس) وجهة (ذيول).
الحل

مساحة العينة يرمز لهاA

A = {(D، L)، (D، D)، (L، D)، (L، L)}
لنجعل `E` الحدث `تم الحصول على رأسين`.
نستخدم صيغة الاحتمال الكلاسيكي.
نسبة الفوسفور (E) = n (E) / n (A) = 1/4

السؤال الثالث نسبة الاحتمالات في رمي النرد:

رمي نردين، حساب احتمالية أن يكون المجموع

الاحتمال المطلوب :

أ) يساوي 1
ب) يساوي 4
ج) أقل من 13

يظهر أدناه عينة الفضاء Hلعدد نردتان :

{(1،1) ، (1،2) ، (1،3) ، (1،4) ، (1،5) ، (1،6) =H
(2،1)، (2،2)، (2،3)، (2،4)، (2،5)، (2،6)
(3،1)، (3،2)، (3،3)، (3،4)، (3،5)، (3،6)
(4،1)، (4،2)، (4،3)، (4،4)، (4،5)، (4،6)
وهكذا الى آخره

السؤال الرابع  عن العملات المعدنية :

عند دحرجة القالب ويلقى بالعملة المعدنية ،

الاحتمال المطلوب:

أن يظهر النرد برقم فردي وظهور العملة المعدنية بوجه
الحل

إذا كان D يمثل الرأس و L يمثل الذيل في العملة.

توصف تجربة الفضاء المتعلقة بالسؤال الخامس كالتالي

{(1، L)، (2، L)، (3، L)، (4، L)، (5، L)، (6، L)}

ما ينبغي أن يحدث هو ظهور العملة المعدنية رأسا

لنكن E حدثًا يعبر عن ظهور العملة المعدنية بوجهها.

يمكن وصف الحدث E بهذه الطريقة
E = {(1، D)، (3، D)، (5، D)}
يتم إعطاء الاحتمال P (E) بواسطة

الفوسفور (E) = n (E) / n (S) = 3/12 = 1/4

السؤال الخامس عن أوراق اللعب :

عند سحب الورق بطريقة عشوائية، من الممكن الحصول على ملكة بأحتمالية معينة

الحل :

تم عرض مساحة العينة S كما شرح سابقًا .
لتكن Q حدثَ `الحصول على الملكة`.

تشير نتيجة فحص مساحة العينة إلى وجود 4 “كوينز”، حيث n(E) = 4 و n(S) = 52.

وبالتالي، فإن احتمالية حدوث الحدث E معطاة بواسطة
الفوسفور (هـ) = 4/52 = 1/13

السؤال السادس عن فصائل الدم :

تتوزع فصائل الدم المكونة من 200 شخص على النحو التالي: يبلغعدد فصائل الدم A 50، وفصائل الدم B 65، وفصائل الدم O 70، وفصيلة الدم AB 15.

إذا تم اختيار شخص عشوائي من هذه المجموعة، فما هو احتمال أن يكون لديه فصيلة دم O؟
الاجابة بطريقة جدول الترددات:

يتم إنشاء جدول الترددات لفصائل الدم على النحو التالي
جدول ترددات المجموعة :

A 50
B 65
O 70
AB 15

تستخدم الصيغة التجريبية للاحتمال
P (E) = تردد الدم O / مجموع الترددات
= 70/200 = 0.35 .

اسئلة احتمالية عن المنتجات

الاحتمالات على شراء منتجات :عند القيام بشراء منتج معين .

ينص الدليل على أن عمر T للمنتج هو المدة (بالسنوات) التي يعمل فيها المنتج بشكل صحيح حتى ينتهي .

الاحتمالية :
P (T≥t) = e − t5 ، لجميع t≥0.

وجد مثالا لذلك :
احتمال استمرار المنتج لأكثر من سنتين، أو يساويها، هو P(T≥2) = e25 = 0.6703.

شراء المنتج واستخدامه لمدة عامين دون مشاكل .

ما هي احتمالية فقدان الصلاحية في السنة الثالثة؟

فرضًا أن A هو الحدث الذي ينتهي فيه منتج مشترى في السنة الثالثة، وأن B هو الحدث الذي لا ينتهي فيه المنتج المشترى في العامين الأولين، والاهتمام هنا بـ P (A | B).

الفوسفور (ب) = الفوسفور (T≥2)
= ه − 25.

نحن ايضا لدينا
الفوسفور (أ) = الفوسفور (2≤T≤3)
= P (T≥2) −P (T≥3)
= e − 25 − e 35.

أخيرًا، نظرًا لأن A⊂B، فإن A∩B = A. لذلك،

الفوسفور (أ | ب) = الفوسفور (أ∩ب) + الفوسفور (ب)
= P (A) P (B)
ويتم العمل على المعطيات السابقة .

نتيجة انك لاحظت رأس واحدة فقط  ،الخطوة الثانية :احتمالية ملاحظة رأسين على الأقل تحسب بتحديد حدث A1 كتلاحظ رأسًا واحدًا على الأقل، وحدث A2 كتلاحظ رأسين على الأقل.

ثم
A1 = S− {TTT} ، و P (A1) = 78 ؛
A2 = {HHT و HTH و THH و HHH} و P (A2) = 48.
وهنا تتضح الاحتمالية كالآتي :

فوسفور (A2 | A1) = الفوسفور (A2 ∩ A1) × ف (A1)
= P (A2) P (A1)
= 48.87 = 47.

تمرين احتمالات المساحات

لنفترض أن C1 و C2 و … و CM هي جزء من مساحة العينة S، وأن A و B هما حدثان.

افترض أننا نعرف ذلك

A و B مستقلتان بشكل مشروط بالنظر إلى Ci، لجميع i ∈ {١،٢،…،١٠}
B مستقل عن جميع Ci.
إثبات أن A و B مستقلان.
بما أن Ci جزء من مساحة العينة، يمكننا تطبيق قانون الاحتمال الكلي لـ A∩B

قيمة الاشتراك بين (A∩B) = ∑Mi = 1P (A∩B | Ci) الاشتراك (Ci)
= ∑Mi = 1P (A | Ci) P (B | Ci) P (Ci) (حيث أن A و B مستقلتان في ظل الشروط)
= ∑Mi = 1P (A | Ci) P (B) P (Ci) (حيث أن B مستقلة عن جميع Ci)
= P (B) ∑Mi = 1P (A | Ci) P (Ci)
= P(B) P(A) (مبدأ الاحتمال الكلي).

قانون الاحتمال وتطبيقه على الامطار

إذا استمر الطقس الممطر لمدة ثلاثة أيام، فسوف تشهد حركة مرور كثيفة واحتمالية وصولها إلى 12 .

إذا كانت المنطقة غير ممطرة، فمن المحتمل أن تشهد حركة المرور ازدحامًا بنسبة 14٪ .

تأخر الوصول إلى العمل حتى الساعة 12 بسبب المطر والازدحام المروري الشديد.

يتم تقليل الاحتمالية إلى 18 إذا لم يكن الجو ممطرًا وإذا لم يكن هناك حركة مرور كثيفة في المنطقة .

عند اختيار يوم عشوائي (يوم ممطر دون حركة مرور، يوم ممطر بحركة مرور)، فإن احتمالية التأخير هي 0.25 .

الاسئلة المحتملة ؟

هل من الممكن أن لا تسقط الأمطار ولا يكون هناك ازدحام مروري وتأخير؟
احتمالية التأخر ؟

نظرًا لتأخري في الوصول إلى العمل، ما هي العوائق المحتملة؟

فلنفترض أن R هو الحدث المتعلق بهطول الأمطار، وأن T هو الحدث المتعلق بكثافة حركة المرور، وأن L هو الحدث المتعلق بالتأخر في العمل .

وبناءً على أدوات المشكلة، لدينا احتمالات شرطية، وبالتالي نحتاج إلى رسم مخطط شجري متوافق معين لحساب جميع الاحتمالات .

يتم حساب كل نتيجة عن طريق ضرب مساحة العينة بالاحتمالات للوصول إلى النتيجة المطلوبة

يمكن استخدام مخطط شجري يتبع القواعد للوصول إلى احتمال عدم هطول المطر وحركة المرور الكثيفة دون تأخير .

الفوسفور (Rc∩T∩Lc) يعادل الفوسفور (Rc) ضرب الفوسفور (T | Rc) ضرب الفوسفور (Lc | Rc∩T)
= 23-14⋅34
= 18.

هناك احتمالات أخرى قبل ذلك وما علينا سوى جمع النتائج المتوافقة مع الأخرى .

مثال على استخدام قانون الاحتمال الكلي

الفوسفور (L) = الفوسفور (R ، T ، L) + الفوسفور (R ، Tc ، L) + P (Rc ، T ، L) + P (Rc ، Tc ، L)
= 112 + 124 + 124 + 116
= 1148.

يمكننا حساب P (R | L) بتطبيق الصيغة P (R | L) = P (R∩L) / P (L)، وبمعرفة P (L) = 1148، يمكننا حساب P (R∩L) بجمع احتماليات النتائج التي تنتمي إلى R∩L.

الفوسفور (R∩L) = الفوسفور (R ، T ، L) + P (R ، Tc ، L)
= 112 + 124
= 18.

وهكذا نحصل عليها

فوسفور (R | L) = P (R∩L) × فوسفور (L)
= 18.4811
= 611.