قوانين الاحتمالات في الرياضيات

ما هو الاحتمال في الرياضيات

الاحتمال هو مقياس لاحتمالية حدوث حدث ما، ولكن من الناحية الرياضية. يتم تعريف الاحتمال كعدد مرات التي يمكن أن يحدث فيها حدث معين، مقسوما على إجمالي عدد الأحداث الممكنة. على سبيل المثال، إذا كان هناك كيس يحتوي على ثلاث كرات، كرة رخامية زرقاء وكرتان رخامية خضراء، فإن احتمال الحصول على الكرة الزرقاء هو ١/٣.

رغم وجود نتيجة واحدة محتملة عند اختيار القطعة الرخامية الزرقاء، إلا أن هناك ثلاثة نتائج محتملة أخرى للتجربة التي حدثت، وهي الحصول على قطعة رخامية خضراء أو زرقاء أو خضراء، وعند استخدام نفس العملية الرياضية، فإن احتمالية الحصول على قطعة رخامية خضراء تصل إلى 2/3. وكانت هذه أمثلة على الاحتمال المشروط، وإذا أردت فهم مفهوم الاحتمال المشروط، ينبغي عليك قراءة بحث كامل عنه.

ماهي قوانين الاحتمالات في الرياضيات

قانون احتمال الأعداد الكبيرة

يمكن استكشاف الاحتمال غير المعروف لحدث ما عن طريق التجربة. بواسطة استخدام مثال سابق، فلنفترض أن شخصا ما لا يعرف احتمال رسم رخامة معينة، ولكنه يعلم أن هناك ثلاث كرات في الكيس. سيقوم بإجراء تجربة ويرسم كرة واحدة رخامية خضراء. ثم سيقوم بتجربة أخرى ويرسم قطعة رخامية خضراء. في هذه المرحلة، قد يستنتج أن الكيس يحتوي على كرات من الرخام الأخضر فقط. ولكن بالعودة إلى التجربتين، لا يمكننا الاعتماد على توقعات هذا الشخص. فمن الممكن أن يحتوي الكيس على كرة واحدة من الرخام الأخضر فقط، أو من الممكن أيضا أن يكون هناك في الكيس كرتان إضافيان باللون الأحمر، ومن الممكن أن يكون الشخص قد اختار الرخام الأخضر متتاليا. إذا قمنا بإجراء هذه التجربة 100 مرة، فمن المحتمل أن نكتشف أنه اختار الرخام الأخضر في حوالي 66% من الوقت. تعكس هذه التجربة الاحتمال بشكل صحيح وأكثر دقة من التجربة الأولى. وباختصار، ينص قانون الأعداد الكبيرة على أنه كلما زاد عدد المحاولات، زادت دقة نتيجة الحدث التي تعكس الاحتمال الفعلي.

قانون احتمال الطرح

يمكن أن يتراوح عدد الاحتمالات بين احتمال واحد وصفر، وذلك يعني أنه قد لا توجد أي نتائج محتملة لحدوث هذا الحدث. في المثال الذي ذُكر في الأعلى، فإن احتمال رسم كرة حمراء هو صفر، وهذا يعني أن احتمالية اختيار رخام أخضر أو رخام أزرق هي واحد.

لا توجد أي نتائج محتملة أخرى في الكيس، الذي يحتوي على قطع رخامية زرقاء واثنتين خضراء. احتمال أخذ قطعة رخامية خضراء هو 2/3، وهذا الرقم مقبول لأن النتيجة 2/3 أكبر من الصفر وأصغر من الواحد في نطاق القيم الاحتمالية. بعد معرفة ذلك، يمكن تطبيق قانون الطرح. ينص قانون الطرح على أنه إذا كنت تعرف احتمالية حدوث حدث ما، فيمكنك توقع عدم حدوثه بشكل كبير. عندما علمت أن احتمال رسم كرة رخامية خضراء هو 2/3، يمكن طرح هذه القيمة من 1 وتحديد احتمال عدم رسم أي كرة خضراء بشكل صحيح 1/.

قانون احتمال الضرب

إذا أردت أن تجد احتمال حدوث حدثين في تجارب متتالية ، فتستطيع استخدام قانون الضرب سيسهل عليك الأمر. على سبيل المثال ، بدلا من الكيس الذي كان في المثال السابق ويحتوي على ثلاث قطع من الرخام ، فلنقل أن هناك كيسا يحتوي على خمس قطع رخامية. يحتوي الكيس على قطعة واحدة فقط من الرخام الأزرق ، وقطعتين من الرخام الأخضر ، وقطعتين أخريين من الرخام الأصفر. إذا أردت معرفة احتمال سحب كرة رخامية باللون الأزرق وكرة رخامية باللون الأخضر في أي ترتيب (إعادة الكرة الأولى أو أي كرة إلى الكيس) ، يمكنك البحث عن احتمال سحب كرة رخامية باللون الأزرق وكرة رخامية باللون الأخضر. احتمال سحب كرة باللون الأزرق من الكيس الذي يحتوي على خمس كرات هو 1/5. احتمال سحب القطعة الرخامية باللون الأخضر من القطع المتبقية هو 2/4 أو 1/2. عندما تطبق قانون الضرب بشكل صحيح ، هناك احتمالان ، 1/5 و 1/2 ، بدلا من احتمال 1/10. وهذا يعكس احتمال وقوع الحدثين معا .

قانون احتمال الإضافة

بعدما تعلمت تطبيق قانون الضرب يمكنك الآن تخمين احتمال وقوع حدث واحد فقط. قانون الإضافة ينص على أن احتمال وقوع حدث واحد فقط من مجموع حدثين يساوي مجموع كل الاحتمالات حدوث كل حدث على حدة، بعد طرح احتمال حدوث كليهما. في الكيس الذي يحتوي على خمس قطع من الرخام، لنفترض أنك تريد معرفة احتمالية رسم قطع رخام باللون الأزرق أو قطع رخام باللون الأخضر. قم بإضافة احتمال رسم كرة من البلور الأزرق (١/٥) إلى احتمال رسم كرة من الرخام باللون الأخضر (٢/٥). المجموع سيكون ٣/٥. في نفس المثال السابق الذي استخدمناه في قانون الضرب، تذكر أننا وجدنا أن احتمال رسم كل قطعة رخامية باللون الأزرق والأخضر كان ١/١٠. قم بطرح هذه النتائج من مجموع ٣/٥ أو (٦/١٠ لتسهيل عملية الطرح) ستحصل على احتمال نهائي بقيمة ١/.

 قانون حساب احتمالات النرد

إذا كنت تتساءل عن فرص نجاحك في لعبة أو تحدي ما، أو إذا كنت تستعد لمهمة أو امتحان مهم بناء على الاحتمالات، فيجب عليك فهم عملية حساب الاحتمالات التي ستسهل عليك المهمة وتمثل خطوة جيدة يمكنك الانطلاق منها. هذه العملية لا تشرح فقط أساسيات حساب الاحتمالات، بل توضح لك أيضا أنها لها علاقة مباشرة بألعاب الكرابس وألعاب الطاولة. هذا يسهل عليك فهم احتمالات النرد، ويمكنك أيضا تعلم وفهم الأساسيات من الحسابات المعقدة في بضع خطوات فقط.

حساب الاحتمالات باستخدام الصيغ البسيطة

يتم حساب الاحتمال عند رمي النرد (سداسي الأوجه) بإضافة عدد النتائج التي تريدها إلى عدد النتائج الممكن حدوثها، وبالتالي إذا كنت تريد الحصول على الرقم 6، فسوف يكون الاحتمال = 1/6 = 0.167، أو يمكننا القول بصيغة أخرى إن لديك فرصة بنسبة 16.7%
يتم حساب الاحتمالات المستقلة باستخدام ؛
احتمالية حدوث كلتا النتيجتين تساوي احتمالية حدوث النتيجة الأولى مع احتمالية حدوث النتيجة الثانية.
لذلك، إذا كنت ترغب في الحصول على الرقم ٦ عند دحرجة النرد مرتين، فإن الاحتمال سيكون ١/٦ * ١/٦ = ١/٣٦ = ٠.٠٢٧٨، أو بالنسبة المئوية ٧.٦٨٪.

أساسيات الاحتمالات

هذا هو أبسط حالة عندما تريد تعلم حساب احتمالية النرد، وهي فرصة سريعة للحصول على رقم معين من خلال رمي النرد مرة واحدة فقط. القاعدة الأساسية هنا هي أنه يمكنك حساب الاحتمالية عن طريق النظر في النتائج الممكنة ومقارنتها مع النتيجة التي تريد الحصول عليها. بالنسبة لنرد الستة أوجه، كل مرة يتم رمي النرد فيها هناك ست نتائج محتملة أيضا، ولكن هناك نتيجة واحدة تهمك وتريد الحصول عليها. للتمكن من حساب الاحتماليات، يجب عليك التدرب على تمارين محلولة حول الاحتماليات .