ترتيب العمليات الحسابية
عندما نجري عملية حسابية بسيطة تحتوي على رقمين ، وعملية واحدة ، أو علامة واحدة ، فمن السهل معرفة كيفية حساب الإجابة . إما أن تضيف ، أو تطرح ، أو تضرب ، أو تقسم . ولكن ماذا عندما يكون هناك عدة أرقام ، وعمليات مختلفة ؟ ربما تحتاج إلى القسمة والضرب ، أو الإضافة والطرح . ماذا تفعل بعد ذلك ؟ سنجيب على كل هذا في الأسطر التالية ، فقط تابع القراءة .
يعتمد نظام الرياضيات بشكل كبير على المنطق، ويوجد بعض القواعد البسيطة التي يجب اتباعها لتحديد الترتيب الصحيح للعمليات الحسابية، ويعرف هذا بـ “ترتيب العمليات الحسابية .
كيف نستخدم ترتيب العمليات الحسابية (PEMDAS) ؟
دعنا نقول أنه تم إعطاؤك هذا السؤال البسيط : كيف يمكنك حل هذه المسألة: 5 + 3 × 4؟ هل تقوم بالجمع أولاً ومن ثم الضرب، أم تقوم بالضرب أولاً ثم الجمع للحصول على الإجابة؟ دعنا نجرب الحل في كلا الاتجاهين ونرى النتيجة .
سؤال :
5 + 3 × 4
الحل الأول :
(5 + 3) × 4 = 32
الحل الثاني :
5 + (3 × 4) = 17
من بين هذه الحلول، ما هي الصحيحة؟ يعتمد ذلك تماما على كيفية نظر الفرد إلى المشكلة. ومع ذلك، فإن هذا الحرية ستؤدي إلى الانتهاء بإجابات متعددة، ما يعرض المبدأ الأساسي للرياضيات للخطر. ولذلك، توجد قواعد ثابتة في هذا المجال تعود إلى القرن الخامس عشر، وهي معروفة باسم “ترتيب العمليات”، وتتضمن العمليات الحسابية المختلفة مثل الضرب والجمع والطرح والقسمة بالإضافة إلى التربيع والجذر التكعيبي وغير ذلك .
ما هي قاعدة ترتيب العمليات الحسابية ؟
- توجد مجموعة متعددة من القواعد، واحدة من القواعد الأكثر شيوعًا هي القاعدة التي نتحدث عنها اليوم والتي تحدد العمليات التي يجب حلها بأولوية .
- تنص هذه القاعدة على أن الترتيب الصحيح للعمليات الحسابية هو : تتمثل العمليات الحسابية بين القوسين، ثم الأس، ثم الضرب والقسمة، ثم الجمع والطرح .
- يجب على الفرد أن يتذكر أن الأقواس تأتي أولاً قبل الأساس، وبالمثل، الأساس يأتي قبل الضرب والقسمة، وفي النهاية تأتي الجمع والطرح .
- في حال وجود جذور تربيعية، يجب حسابها بعد تبسيط الأقواس وقبل القسمة والضرب والطرح والجمع .
- ينبغي ملاحظة أنه يجب حساب العمليات الأكثر تعقيدًا قبل العمليات الأكثر سهولة وأساسية، حيث إن الجمع والطرح تعتبر من أبسط العمليات .
- غالبًا ما يعتبر الضرب والقسمة أكثر تعقيدًا من الجمع والطرح، ولذلك يتم تنفيذهما قبل الجمع والطرح في ترتيب العمليات .
- تتم عملية الأسس والجذور التربيعية عن طريق الضرب والقسمة المتتالية، ولأن هذه العمليات أكثر تعقيدًا، فإنها تتم قبل الضرب والقسمة .
والآن بعد أن أصبح المفهوم واضحًا، لنلقِ نظرة على السؤال السابق ونرى أي الحلين هو الصحيح؟
بتطبيق قاعدة ترتيب العمليات الحسابية، يكون الحل الثاني هو الحل الصحيح، حيث يتعين عليك تبسيط الضرب أولاً ثم الجمع .
ترتيب العمليات الحسابية الصحيح
يتمثل الترتيب الصحيح للعمليات الحسابية التي تحتوي على أكثر من عملية أو أكثر من علامة في الخطوات التالية:
- الأقواس (نقوم بتبسيط ما بداخلها)
- الأس
- يتم القيام بعمليات الضرب والقسمة (من اليسار إلى اليمين بالإنجليزية أو من اليمين إلى اليسار بالعربية)
- تتم عمليات الجمع والطرح من اليسار إلى اليمين باللغة الإنجليزية أو من اليمين إلى اليسار باللغة العربية
أمثلة على الترتيب الصحيح للعمليات الحسابية
أولًا : في حال توفرت المزيد من العمليات على نفس المستوى، مثل القسمة والضرب .
السؤال الأول :
5 × 4 ÷ 20
الحل : تنص القاعدة على أنه عند وجود عمليات متعددة من نفس الرتبة، يجب على الشخص العمل من اليسار إلى اليمين، وذلك حسب اللغة التي يتم كتابة العملية بها .
إذًا الجواب على الحل هو :
(20 ÷ 4) × 5 = 25
ليس :
20 ÷ (4×5) = 1
السؤال الثاني :
5 + 5^2
الحل : لحل المسألة السابقة، ينبغي على الطلاب بداية تبسيط الأس ثم إجراء الجمع .
5 + 25 = 30
السؤال الثالث :
5 +2^(4 + 1)
الحل : في هذه المعادلة، يجب على المرء أولًا تبسيط الأقواس قبل محاولة حل الأس، ثم القيام بالإضافة فقط .
5 + (4 + 1)^ 2 = 5 + (5)^2 = 5 +25 = 30
السؤال الرابع :
5 + [–1 (–4 – 1)]^2
الحل : قد يحدث أخطاء عند تبسيط الأقواس من اليسار إلى اليمين، لذلك من الأفضل حلها من الداخل إلى الخارج، وذلك بحل الأقواس المنحنية أولاً، ثم الأقواس المربعة، ثم بقية التعبير فقط .
5 + [–1 (–4 – 1)] 2 = 5 + [–1 (–5)]^2
= 5 + [5]^2
= 5 + 25
= 30
تستخدم الأقواس المربعة فقط لتسهيل فهم رمز التجميع المستخدم، وتستخدمعادةً الأقواس المعقوفة والأقواس المتعرجة عند وجود عدة أقواس متداخلة .
السؤال الخامس :
5-4 [5-3 (8-4)] ÷ 2
الحل : لتبسيط التعبير المذكور أعلاه، يتعين علينا حل المعادلة من الداخل إلى الخارج وذلك باتباع الترتيب التالي: الأقواس المنحنية، ثم الأقواس المربعة، ثم القسمة، ثم الطرح. ويتعين علينا دائمًا البدء بتبسيط الأقواس ثم القيام بالتقسيم والجمع أو الطرح .
5-4 [5-3 (8-4)] ÷ 2
= 5-4 [5-3 (4)] ÷ 2
= 5-4 [5-12] ÷ 2
= 5-4 [-7] ÷ 2
= 5 + 28 ÷ 2
= 5 + 14
= 19
عند النظر عن كثب إلى نهاية الحل، يأتي القسمة قبل الجمع، وبالتالي يتم تبسيط العبارة إلى 5 + 14 بدلاً من 33 ÷ 2 .
إذا كنت غير متأكد من الترتيب الصحيح للعمليات الحسابية في التسلسل الهرمي، من الأفضل حل السؤال باستخدام آلة حاسبة ورؤية الإجابة، حيث يتم برمجة معظر الآلات الحاسبة مع ترتيب العمليات الحسابية الصحيح في التسلسل الهرمي، شريطة أن تكون الآلة حاسبة متطورة وليست بسيطة .
مصطلح ترتيب العمليات الحسابية بالإنجليزية
قد تجد أي من الاختصارين BODMAS أو PEMDAS يشير إلى الآلية التي نتحدث عنها عند ترتيب العمليات الحسابية ، والفرق الوحيد بين اللفظين هو ، أن BODMAS يستخدمه متحدثو الإنجليزية البريطانية ، بينما PEMDAS يستخدمه متحدثو الإنجليزية الأمريكية ، وكليهما اختصار لأول حرف من كل من العمليات الحسابية .
- Brackets الأقواس
- Orders Indices الأوامر أو الإشارات
- Division or Multiplication القسمة والضرب
- Addition or Subtraction الجمع والطرح
أهمية عملية ترتيب العمليات الحسابية
- من دون هذا الترتيب، لن يتم توفير إرشادات محددة للحصول على إجابة صحيحة واحدة فقط .
- على سبيل المثال البسيط، يمكن للشخص حساب ناتج العملية 2 * 4 + 7، عن طريق تنفيذ الضرب أولاً ثم الإضافة، حيث يمكنه الحصول على الناتج 15 .
- يمكن لشخص آخر إجراء الجمع أولاً ، ثم الضرب، والحصول على ناتج 22 .
- كان يتطلب وجود قاعدةٍ متفقٍ عليها لتحديد الطريقة الصحيحة لإجراء العمليات الحسابية، حتى تم حسم الأمر بأن ناتج 15 هو الصحيح .
- يمكن استخدام ترتيب العمليات لتبسيط جميع الإشارات، بما في ذلك تلك التي تأتي بين الأقواس .
- يمكن استخدام ترتيب العمليات لتبسيط المعادلات التي تحتوي على الأسس والجذور التربيعية .
- يوفر لنا ترتيب العمليات تسلسلًا ثابتًا يمكن استخدامه في الحساب .
- بدون ترتيب العمليات ، سيتم الوصول إلى إجابات مختلفة لنفس المعادلة الحسابية .
- تستخدم بعض الآلات الحاسبة القديمة ترتيب العمليات بطريقة مختلفة، لذلك يجب على المستخدم أن يكون على دراية بهذا الترتيب لإدخال الأرقام بطريقة صحيحة .
في النهاية، لا تنسى أن الرياضيات ممتعة، ولكن معظمنا ندرس الرياضيات المملة في الكتب المدرسية، بينما يمكن أن يكون الموضوع أكثر إثارة للاهتمام إذا تم تعلمه من خلال الأمثلة والألغاز والألعاب، لأن عالم الأرقام والحسابات والصيغ مفيد في جوانب الحياة كافة .