بحث عن المتجهات في المستوى الاحداثي

في الرياضيات والفيزياء والهندسة، الناقل الإقليدي (الذي يسمى أحيانا متجه هندسي أو متجه مكاني أو ناقل بسيط) هو كائن هندسي له حجم أو طول واتجاه، ويمكن إضافة ناقلات مختلفة معا، وعادة ما يتم تمثيل الناقل الإقليدي بخط ذو اتجاه محدد أو بشكل رسم بياني كسهم يربط بين نقطتين A و B، ويشار إليه بواسطة AB .

تعريف المتجه

المتجه هو المفهوم الذي يستخدم لنقل النقطة A إلى النقطة B، وقد تم استخدام هذا المصطلح لأول مرة من قبل علماء فلك في القرن الثامن عشر أثناء دراسة ثورة كوكبية حول الشمس. يعتبر حجم المتجه هو المسافة بين النقطتين ويشير الاتجاه إلى الاتجاه الذي يتم فيه الانتقال من A إلى B. تحتوي العمليات الجبرية الأساسية مثل الجمع والطرح والضرب والقسمة على نظائر قريبة من المفاهيم والعمليات التي تلتزم بالقوانين الجبرية المألوفة للتبادلية والتجانس والتوزيع. تؤهل هذه العمليات والقوانين المرتبطة بها النواقل الإقليدية كمثال للمفهوم الأكثر عمومية للناقلات، والذي يحدد ببساطة عناصر المساحة التي تحتوي على ناقل .

تلعب النواقل دورًا مهمًا في الفيزياء: حيث يمكن وصف سرعة الجسم المتحرك وتسارعه ، ويمكن وصف جميع القوى المؤثرة عليه بالنواقل، والعديد من الكميات الفيزيائية الأخرى يمكن اعتبارها مفيدة كناقلات، وعلى الرغم من أن معظمها لا يمثل المسافات (باستثناء ، على سبيل المثال ، الموقع أو الإزاحة) ، إلا أن حجمها واتجاهها يمكن تمثيلهما من خلال طول واتجاه السهم، ويعتمد التمثيل الرياضي للناقل الفيزيائي على نظام الإحداثيات المستخدم لوصفه، وتتضمن الأجسام الأخرى المشابهة للنواقل التي تصف الكميات الفيزيائية وتتحول بطريقة مماثلة تحت تغيرات نظام الإحداثيات pseudovctors و tensors .

معلومات عن المتجهات الرياضية

المتجه في الرياضيات هو سهم يشير من نقطة إلى أخرى، ويتكون من ثلاثة عناصر: المقدار الذي يمثل طول المتجه ككمية قياسية، والاتجاه الذي يتم تحديده في فضاء ثلاثي الأبعاد باستخدام زوايا اويلر، ونقطة البدء التي يبدأ منها المتجه. ويعتبر المتجه غير مرتبط بنظام الإحداثيات، وأحد أشهر أمثلة المتجهات هي القوى الفيزيائية والتي لها مقدار واتجاه ونقطة التأثير، وعند تحديد متجه ما، يتم البدء دائما من نقطة البدء .

أولا، نقوم بكتابة عدد وحدات الحركة أفقيا، سواء يمينا أو يسارا، شرقا أو غربا. ثم، نكتب عدد وحدات الحركة رأسيا، سواء إلى الأعلى أو الأسفل، أو شمالا أو جنوبا. عندما نتحرك من نقطة البداية أفقيا يمينا أو شرقا، يكون العدد إيجابيا. وعندما نتحرك من البداية أفقيا لكن يسارا أو غربا، يكون العدد سالبا. وبالمثل، عندما نتحرك من نقطة البداية عموديا سواء إلى الأعلى أو إلى الشمال، يكون العدد إيجابيا. وعندما نتحرك من نقطة البداية بصورة عمودية سواء إلى الأسفل أو جنوبا، يكون العدد سالبا .

يحتوي المتجه على كمية معينة من الحجم والاتجاه والتسارع والسرعة والقوة والنزوح، ويعتبر كل هذا أمثلة على كميات المتجهات. وتحتوي الكمية العددية على حجم واحد فقط (لذلك ليس الاتجاه مهما)، وتشمل مثالا على ذلك السرعة والوقت والمسافة. ويجب دائما تمييز الحروف المستخدمة لتمثيل المتجهات بخط غامق، على سبيل المثال، يمكن تمثيل سرعة الكائن بـ v لأن هذه الكمية متجهية، ويجب استخدام حروف صغيرة لتمثيل المتجهات .

متجه الوحدة هو متجه ذو حجم واحد، وهناك ثلاثة متجهات وحدة هامة يتم استخدامها بشكل شائع، وتكون هذه المتجهات في اتجاه محاور x و y و z. المتجه الوحدة في اتجاه المحور السيني يمثل بـ i، المتجه الوحدة في اتجاه المحور y يمثل بـ j، والمتجه الوحدة في اتجاه المحور z يمثل بـ k. يمكن كتابة المتجهات بهذا الشكل لتسهيل العمل مع النواقل. إذا تمت إضافة متجهين معا، يمكن الحصول على النتيجة بجمع المتجهات من نهاية واحدة إلى نهاية أخرى. إذا تم إعطاء المتجهات في شكل متجه الوحدة، يمكنك ببساطة جمع قيم i و j و k معا. يمكن حساب حجم الناقلات باستخدام نظرية فيثاغورس، حيث حجم ai + bj = √(a2 + b2). أما بالنسبة لحل المتجهات، فهو يعني حساب حجمها في اتجاه محدد .

تاريخ المتجهات

تطور فكرة المتجه تدريجيا على مدى أكثر من 200 عام، وقدم حوالي 10 أشخاص مساهمات كبيرة في تطويرها، حيث قام Giusto Bellavitis بتجريد الفكرة الأساسية في عام 1835 عندما أسس مفهوم “equipollence”، وتم تقديم مصطلح المتجه من قبل ويليام روان هاميلتون كجزء من quaternion، ويتكون المتجه من مجموعة q = s + v من عدد حقيقي يسمى scalar وناقل ثلاثي الأبعاد، واعتبر هاملتون أن المتجه v هو الجزء التخيلي من quaternion، وقام علماء الرياضيات الآخرون بتطوير أنظمة مشابهة للمتجه في منتصف القرن التاسع عشر، بما في ذلك أوغستين كوشي، هيرمان جراسمان، أغسطس موبيوس، كونت دي سان-فينانت، وماثيو أوبراين .

وكان عمل Grassmann في عام 1840 (نظرية الانحراف) أول نظام تحليلي مكاني شبيه بنظام اليوم، ولديه أفكار تقابل المنتج المتقاطع ، والمنتج القياسي ، وتمايز المتجهات، وقام بيتر غوثري تيت بمعايير quaternion بعد هاملتون، وفي عام 1878 تم نشر عناصر ديناميكية بواسطة وليام كينجدون كليفورد، حيث قام كليفورد بتبسيط دراسة quaternion عن طريق عزل منتج النقطة والمنتج المتقاطع من متجهين، ويقدم النصف الأول من تحليل غيبس لتحليل المتجهات ، الذي نشر في عام 1881 ، ما هو في الأساس النظام الحديث لتحليل المتجهات، وفي عام 1901 ، قام إدوين بيدويل ويلسون بنشر تحليل المتجهات ، الذي تم تعديله من محاضرات جيب ، التي نفت أي ذكر للتأخر في تطوير متجهات حساب التفاضل والتكامل .