بحث عن الجذور والاصفار

عندما نحل المعادلات متعددة الحدود بدرجات أكبر من الصفر، فإنه قد يكون لها جذر حقيقي واحد على الأقل أو جذر وهمي واحد على الأقل. وفي الرياضيات، تنص النظرية الأساسية للجبر على أنه يوجد جذر معقد واحد على الأقل لكل معادلة غير ثابتة متعددة الحدود ذات معاملات معقدة، وعدد الجذور المعقدة تكون متساوية تماما مع درجة المعادلة المذكورة إذا تم حساب كل جذر حتى تعدده. وإذا كانت a + bi تساوي صفرا (الجذر)، فإن a-bi هي أيضا صفر .

كم عدد الجذور

تسمى الجذور التي تحتوي على عدة حدود “أصفارها”، لأن الجذور هي القيم التي تجعل الدالة تساوي الصفر. وعند البحث عن الجذور، يمكن استخدام تقنيات متعددة، والعوملة هي الطريقة الشائعة لذلك. على الرغم من أن الرسوم البيانية يمكن أن تكون مفيدة أيضا. ويشير مصطلح “أعلى الأس” إلى أعلى درجة للجذور المتعددة. وهذا الأس يشير إلى عدد الجذور التي تحتوي على عدة حدود. فإذا كان أعلى الأس للجذور المتعددة يساوي 2، فسيكون لها جذران، وإذا كان أعلى الأس يساوي 3، فسيكون لها ثلاثة جذور وهكذا .

تحذير للجذور والاصفار

يوجد العديد من الجذور التي يمكن أن تكون حقيقية أو وهمية، فالجذور `الحقيقية` هي أعضاء في مجموعة الأعداد الحقيقية المعروفة، وفي هذه المرحلة من حياتك المهنية في الرياضيات، كل الأرقام التي تعتاد عليها هي جذور حقيقية، ولكن اتقان الأرقام الخيالية هو موضوع مختلف تماما، لذا تذكر الآن ثلاثة أشياء:

تظهر جذور “وهمية” عندما يكون لديك الجذر التربيعي لرقم سالب، على سبيل المثال (-9) .

2- تأتي الجذور الوهمية دائمًا في أزواج .

يمكن أن يكون الجذور كثير الحدود حقيقية أو وهمية، لذلك إذا كان لديك كثير الحدود من الدرجة الخامسة فقد يكون له خمس جذور حقيقية، وقد يكون له ثلاثة جذور حقيقية وجذرتين وهميتين وهكذا .

البحث عن الجذور بالعامل

مثال رقم 1 :

أكثر طريقة متنوعة للعثور على الجذور هي أخذ جميع الحدود المتعددة في الاعتبار قدر الإمكان، ثم تحديد أي مصطلح يساوي الصفر، وهذا الأمر هو الأكثر منطقية بعد اتباع بعض الأمثلة، فكر في الحدود التالية x2 – 4_x _

يُظهِر الاختبار المختصر أنه بإمكانك استخراج قيمة x من كل من حدود الحدود المتعددة، مما يمنحك العبارة (س-4)، ويُضبط كل مصطلح في العبارة على الصفر، وهذا يعني حل معادلتين:

1- الصفر هو القيمة التي يتم تعيين المصطلح الأول عليها كـ X=0 .
يمثل المصطلح الثاني على الصفر X = 4 – 0 .

لديك بالفعل الحل للمعادلة التي في الولاية الأولى، حيث إذا كانت قيمة “x” تساوي صفر، فإن التعبير بأكمله سيساوي الصفر، لذلك فإن “x = 0” هي واحدة من الجذور أو الأصفار المتعددة للمعادلة. والآن، بالنظر إلى المصطلح الثاني وحل “x”، فإذا قمت بإضافة العدد 4 إلى كلا الجانبين، سيتم تبسيط المعادلة إلى “س – 4 + 4 = 0 + 4″، والتي تعني أنه إذا كانت قيمة “x” تساوي 4، فإن العامل الثاني سيساوي الصفر، مما يعني أن المعادلة لها جذرين متعددين للحدود. ونظرا لأن المعادلة المتعددة للحدود الأصلية كانت من الدرجة الثانية (وكان أعلى معامل فيها هو الأس الثاني)، فإنك تعلم أن هناك جذرين محتملين للمعادلة. ولقد وجدتهما بالفعل، لذلك كل ما عليك فعله هو كتابة الإجابة وهي “س = 0، س = 4 .

بحث عن الجذور عن طريق الرسوم البيانية

يمكنك أيضا العثور على جذور أو تقديرها على الأقل من خلال الرسوم البيانية، وذلك بأن يمثل كل جذر بقعة حيث يعبر الرسم البياني للدالة المحور س. لذا، إذا قمت برسم الخط ورسم إحداثيات x حيث يعبر الخط محور x، فيمكنك إدراج قيم x المقدرة لتلك النقاط في المعادلة الخاصة بك والتحقق لمعرفة ما إذا كنت قد قمت بتصحيحها. وفي النظر إلى المثال الأول الذي عملت ل x2 متعدد الحدود – 4_x_، إذا قمت بسحبه بعناية فسترى أن الخط يعبر محور x عند x = 0 و x = 4. وإذا قمت بإدخال كل من هذه القيم في المعادلة الأصلية، فستحصل على:

نتيجة المعادلة 1-02-4(0)=0 ، فإن X = 0 صحيحة أو جذر متعدد الحدود .
بما أن 2- 42 – 4 (4) = 0، فإن X = 4، مما يعني أنها صفر أو جذر صالح للحد الأقصى، وبما أنه متعدد الحدود من الدرجة الثانية، فمن الممكن التوقف عن البحث عن جذور .

مكعبات وجذور مكعب

قبل البدء في حساب جذور المكعب، من المفيد تذكر ما يحدث عند تكديس الرقم، فإذا تم تكعيب أي رقم، يتم ضرب هذا الرقم في نفسه ثلاث مرات، وحتى عند تكعيب الرقم 4 (الذي يكتب أيضا باسم 43)، يتعين ضرب 4 × 4 × 4 أي ما يعادل 64، وعند تكعيب الرقم 5 (الذي يكتب أيضا بالرمز 53)، يتعين ضرب 5 × 5 × 5 أي ما يعادل 125، وهكذا. وجذر المكعب هو ببساطة العملية العكسية، إذ تتبع الخطوات العكسية للعملية التي تم فيها تكعيب الرقم لاكتشاف الرقم الأصلي. وبالتالي، يتم ضرب الرقم الذي يمثل جذر المكعب في نفسه ثلاث مرات للحصول على الرقم الأصلي. ومن ثم، فإن جذر المكعب للرقم 125 يساوي 5، لأن 53 = 125. ويمكن حساب جذر المكعب يدويا في حالة عدم حفظ القواعد، ومع ذلك، فإن حسابه باستخدام الآلة الحاسبة لا يتطلب أكثر من بضع ضربات على الأزرار .