بحث عن الاتصال والنهايات

في مجال الرياضيات، يستخدم التكامل لحساب الأعداد التي تصف الإزاحة والمساحة والحجم ومفاهيم أخرى تنشأ عن تجميع بيانات غير محدودة، ويشكل التكامل واحدًا من العمليتين الرئيسيتين في حساب التفاضل والتكامل، ويعد بمثابة العملية العكسية لعملية التفاضل .

مفهوم الاتصال ونهاية الاقتران

عندما تكون القيمة (س) قريبة من (جـ) ولكنها لا تساويها، فإن قيمة الاقتران (ك) تكون قريبة من القيمة المتوسطة بينهما، ويعني مفهوم (س ¬ جـ) أن قيمة (س) تكون أقل بقليل أو أكبر بقليل من (جـ)، ولا تساويها تمامًا، وبذلك تكون (س) مجاورة الناقصة للعدد (جـ) .

ما هي النهايات

يعد مفهوم النهايات جزءا من مبادئ التفاضل، وهو يهتم بدراسة الإشتقاقات من خلال دراسة مفاهيم أساسية عن الكميات المتناهية الصغر. وقد تم بناء مفهوم التفاضل على أساس النهايات لدراسة اشتقاق الدالة. وبالتالي، يرتبط مفهوم النهايات ارتباطا وثيقا بمفهوم الإشتقاق، والعكس صحيح، فمفهوم الإشتقاق يرتبط ارتباطا وثيقا بالتغييرات التي تحدث في الدالة.

التفاضل والتكامل

يستخدم حساب التفاضل والتكامل في الحسابات بنفس الطريقة التي يدرس بها الشكل والجبر في الهندسة، وهو دراسة رياضية للتغيير المستمر. إن الهندسة تدرس الشكل والجبر كتعميمات للعمليات الحسابية، ويتكون حساب التفاضل والتكامل من فرعين رئيسيين. الأول هو الحساب التفاضلي والتكاملي المتصل بمعدلات التغيير الفوري ومنحنيات الانحدار، والثاني هو الحساب التفاضلي والتكاملي المتكامل المتعلق بتراكم الكميات والمساحات تحت المنحنيات وبينها. ويرتبط هذين الفرعين ببعضهما بواسطة النظرية الأساسية لحساب التفاضل والتكامل، ويستفيد كلا الفرعين من المفاهيم الأساسية لتقارب التسلسلات اللا نهائية والسلاسل اللا نهائية بشكل جيد ومحدد.

تم تطوير حساب التفاضل والتكامل الحديث بشكل مستقل في أواخر القرن السابع عشر من قبل إسحاق نيوتن وجوتفريد فيلهلم ليبنيز. واليوم، يستخدم حساب التفاضل والتكامل على نطاق واسع في العلوم والهندسة والاقتصاد. إن حساب التفاضل والتكامل هو جزء من تعليم الرياضيات الحديثة، ودورة في حساب التفاضل والتكامل تعد بوابة لدورات أخرى أكثر تقدما في الرياضيات المكرسة لدراسة الوظائف والحدود، وتعرف على نطاق واسع باسم التحليل الرياضي .

كان حساب التفاضل والتكامل يسمى تاريخيًا بـ “حساب التفاضل والتكامل اللانهائي”، ويُستخدم المصطلح “حساب التفاضل والتكامل” (حساب الجمع) لتسمية طرق محددة للحساب والتدوين وبعض النظريات، مثل حساب التفاضل والتكامل المقترح وحساب الاختلافات وغيرها .

تاريخ التفاضل والتكامل

تم تطوير حساب التفاضل والتكامل الحديث في أوروبا في القرن السابع عشر عن طريق إسحاق نيوتن وجوتفريد فيلهلم ليبنيز، وكان ذلك بشكل مستقل عن بعضهما البعض. ومع ذلك، فإن بعض العناصر منه كانت موجودة في اليونان القديمة وفي الصين والشرق الأوسط، ثم ظهرت مرة أخرى في أوروبا في العصور الوسطى وفي الهند.

حساب التفاضل والتكامل قديما

قدمت الفترة القديمة بعض الأفكار التي أدت إلى حساب التفاضل والتكامل المتكامل ، ولكن لا يبدو أنها طورت هذه الأفكار بطريقة صارمة ومنهجية، ويمكن الاطلاع على حسابات الحجم والمساحة ، أحد أهداف حساب التفاضل والتكامل المتكامل ، في ورق البردي المصري بموسكو (الأسرة الثالثة عشر ، 1820 ق.م.) ، ولكن الصيغ هي تعليمات بسيطة ، دون أي إشارة إلى الطريقة ، وبعضها يفتقر إلى تخصص المكونا .

منذ عصر الرياضيات اليونانية، استخدم Eudoxus طريقة الاستنفاد التي تنبئ بمفهوم الحد لحساب المناطق والمجلدات. وطور أرخميدس هذه الفكرة بشكل أكبر، حيث اخترع الاستدلال الذي يشبه طرق حساب التفاضل والتكامل لا يتجزأ. وفيما بعد، تم اكتشاف طريقة الإرهاق بشكل مستقل في الصين من قبل ليو هوي في القرن الثالث الميلادي للعثور على مساحة دائرة. وفي القرن الخامس الميلادي، أسس زو جنجزي، ابن زو تشونغتشي، طريقة والتي ستطلق عليها فيما بعد مبدأ كافاليري للعثور على حجم الكرة.

التفاضل والتكامل في القرون الوسطى

في الشرق الأوسط، ابتكر حسن بن الهيثم حوالي عام 965 – 1040 م صيغة لمجموع القوى الرابعة، واستخدم النتائج لتنفيذ ما يعرف الآن باسم تكامل هذه الوظيفة، حيث سمحت له الصيغ الخاصة بمبالغ المربعات المتكاملة والقوى الرابعة بحساب حجم الأشكال المكافئة.

في القرن الرابع عشر، عرض علماء الرياضيات الهنود طريقة غير صارمة تشبه التمايز، والتي تنطبق على بعض الدوال المثلثية. صرح مادهافا من Sangamagrama ومدرسة ولاية كيرالا لعلم الفلك والرياضيات، وأصبح حساب التفاضل والتكامل ومكوناته النظرية الكاملة المعروفة جيدا في العالم الغربي بسلسلة تايلور أو سلسلة تقريبية لانهائية. ومع ذلك، لم يتمكنوا من جمع العديد من الأفكار المختلفة في إطار الموضوعين الموحدين للمشتق والمتكامل، وإظهار العلاقة بين الاثنين، وتحويل حساب التفاضل والتكامل إلى أداة عظيمة لحل المشكلات التي نواجهها اليوم .