بحث جاهز عن البرهان الجبري

البرهان هو جوهر جميع الأشياء التي تراها في الرياضيات، وبمعنى آخر، هو أساس كل ما تستخدمه وتقبله كحقيقة، مثل نظرية فيثاغورث، وتم إثبات البراهين عليها على مدى آلاف السنين .

نبذة عن الجبر وتاريخه

الجبر هو فرع من فروع الرياضيات، يتعامل مع الرموز وقواعد التلاعب بتلك الرموز. في الجبر الأولي، تمثل هذه الرموز (والتي تكتب اليوم باسم الحروف اللاتينية واليونانية) كميات بدون قيم ثابتة، وهي تعرف باسم المتغيرات، تماما كما تصف الجمل العلاقات بين كلمات معينة. وفي الجبر، تصف المعادلات العلاقات بين تلك المتغيرات .

– كان عمل فرانسوا فييت بشأن الجبر الجديد في نهاية القرن السادس عشر خطوة مهمة نحو الجبر الحديث ، و في عام 1637 ، نشر رينيه ديكارت كتاب La Géométrie ، واخترع الهندسة التحليلية وأدخل الرموز الجبرية الحديثة ، حدث رئيسي آخر في تطوير الجبر كان هو الحل الجبري العام للمعادلات المكعبة و الرباعية ، التي تم تطويرها في منتصف القرن السادس عشر .

تم تطوير فكرة المحدد في القرن السابع عشر بواسطة عالم الرياضيات الياباني سيكي كوا، وبعد عشر سنوات قام غوتفريد لايبنيز بتطويرها بشكل مستقل لحل أنظمة المعادلات الخطية المتزامنة باستخدام المصفوفات، وفي القرن الثامن عشر قام غابرييل كرامر ببعض الأعمال في المصفوفات والمحددات، ودرس جوزيف لويس لاغرانج التباديل في كتابه Réflexions sur la résolution algébrique des équations الذي وضعه عام 1770 لحلول المعادلات الجبرية، وكان باولو روفيني أول شخص قام بتطوير نظرية مجموعات التقليب، كما كان ذلك في سياق حل المعادلات الجبرية .

نبذة عن البرهان الجبري

فكرة البرهان هي تقديم بيان عام. على سبيل المثال، لا تريد أن تقول فقط أن الزوايا في بعض المثلثات تزيد عن 180. بل تريد أن تقول أن الزوايا في جميع المثلثات تزيد عن 180. والبرهان هو إثبات لضرورة معرفتك بهذا الأمر، ويعد الهيكل العام للإثبات هو البدء ببيان واحد، واتخاذ سلسلة من الخطوات المنطقية والرياضية، وينتهي بالاستنتاج المرغوب. وبالطبع، ليس كل ما نريد إثباته قابل للإثبات بشكل صحيح .

أمثلة على البرهان الجبري

المثال الأول 

يدعي هيرنان أنه `إذا قمت بتعداد رقم وأضفت إليه 1، سيكون الناتج عددًا أوليًا`، ولإثبات ذلك سنبدأ بالأرقام الأصغر:

1^2 + 1 = 1 + 1 = 2، وهو عدد أولي .
2 + 1 = 1 + 1 = 2، وهو عدد أولي .
2^2 + 1 = 4 + 1 = 5 ، وهو رقم أولي .
2 + 1 = 4 + 1 = 5 ، وهو عدد أولي .

في هذه المرحلة، قد يبدو بيانه صحيحًا، ولكن يمكن أن نجرب الرقم المربع التالي للتأكد من ذلك:

3^2 + 1 = 9 + 1 = 10، وهو ليس عددًا أوليًا .
2 + 1 = 9 + 1 = 10 ، وهي ليست أولية .

هذا مثال يعارض بيانها، ولذلك ثبت أنه خطأ .

المثال الثاني 

ثبت أن العبارة (n + 2) ^ 2- (n-2) ^ 2 قابلة للقسمة على 8 لأي عدد صحيح موجب n .
لحساب العبارة (n+2)² – (n-2)² بطريقة قابلة للقسمة على 8، نحتاج إلى توضيح أن العبارة يمكن كتابتها على النحو التالي: (n+2)² = n² + 2n + 2n + 4 = n² + 4n + 4، و(n-2)² = n² – 2n – 2n + 4 = n² – 4n + 4. ثم يمكن توسيع العبارة بشكل مختلف، حيث يتوسع الجزء الأول إلى (n+2)² = n² + 2n + 2n + 4 = n² + 4n + 4، والجزء الثاني يتوسع إلى (n-2)² = n² – 2n – 2n + 4 = n² – 4n + 4 .

– يحتوي التعبير في السؤال على الشريحة الثانية التي يتم طرحها من الأولى ، لذلك ، سنفعل هذا الطرح مع التوسع بين قوسين : (ن + 2) ^ 2- (ن 2) ^ 2 = (ن ^ 2 + 4N + 4) – (ن ^ 2-4n + 4) (ن + 2) 2 – (ن 2) 2 = (ن 2 + 4N + 4) – (ن 2 -4n + 4) يمكننا أن نرى أن ن ^ 2n2 سيتم إلغاء البنود ، و كذلك 4s .

لذلك، كل ما تبقى لدينا هو (ن ^ 2 + 4N + 4) – (ن ^ 2 – 4n + 4) = 4N – (-4N) = 8N (ن 2 + 4N + 4) – (ن 2 – 4n + 4) = 4N – (-4N) = 8N، لذا، التعبير بأكمله يتبسط إلى 8n8n. الآن، إذا كان nn عددا صحيحا، يجب أن تكون 8n8n قابلة للقسمة على 8 (إذا قسمناها على 8، سنحصل على الإجابة nn). بما أن 8n8n مكافئ للتعبير الذي بدأناه، يجب أن تكون الحالة (n + 2) ^ 2 – (n – 2) ^ 2 (n + 2)
يمكن قسمة عبارة (ن 2) 2 على 8 لأي عدد صحيح موجب nn، مما يجعل العبارة صالحة عالميًا، وبالتالي، تم إكمال الدليل .

أنواع البراهين الرياضية

 البرهان الجبري 

هو الذي يختص بحل المعادلات والمتباينات .

 البرهان الهندسي 

يتعلق هذا بالمستقيمات والقطع المستقيمة والتوازي والزوايا .

 البرهان الإحداثي

يختص بالمستوى و قوانين الهندسة التحليلية .