امثلة على خاصية التوزيع

ماهي خاصية التوزيع

تعريف خاصية التوزيع يتعلق بمبدأ الضرب المعروف أيضا بقانون التوزيع، وتعد خاصية التوزيع واحدة من الخصائص الأساسية التي يتم استخدامها في الرياضيات. تساعد خاصية التوزيع في تبسيط وتسهيل المسائل الرياضية الصعبة .

يوضح استخدام خاصية التوزيع طريقة حل المعادلات التي تأتي على شكل (أ × ب + ج) عن طريق ضرب العدد الموجود خارج الأقواس بالأعداد التي بداخلها ومن ثم جمع النتائج معًا

أ ( ب + ج ) = أ ب + أ ج

على العكس من الطريقة القديمة، فإن التعبيرات الرياضية التي تحتوي على قوسين تتضمن أيضًا متغيرات، حيث تتغير الكميات في سياق المسألة الرياضية .

انواع خاصية التوزيع بالأمثلة

خاصية التوزيع للضرب على الجمع

يمكن استخدام خاصية التوزيع حيث تكون النتائج متساوية عند استخدام هذه الخاصية أو تتبع ترتيب العمليات، في المثال التالي سنقوم بتقييم المسألة وفقا لترتيب العمليات، وسنبسط المسألة ونضعها بين الأقواس مثلما يلي

٣ ( ٧ + ٤ ) = ٣ ( ١١ ) = ٣٣

أما باستخدام خاصية التوزيع نقوم بالآتي :

• نزرع العدد الخارجي داخل الأقواس عن طريق ضرب العدد الخارجي بالأرقام الداخلية للأقواس .
• بعد عميلة الضرب نقوم بجمع النتيجتين .
• نحص على الحل النهائي .

مثال :

٣ (٧ + ٤) = ٣ (٧) + ٣ (٤) = ٢١ + ١٢ = ٣٣

يمكن استخدام مثال واقعي لتوضيح هذه المسألة، فإذا كان هناك ثلاثة طلاب يملكون سبع حبات من الفراولة وأربعة من التفاح، يمكن بسهولة معرفة عدد القطع التي يملكها كل طالب من الفاكهة .

يمكن ضرب عدد الفواكه بالثلاثة لتقسيمها، على سبيل المثال، يمكن ضرب سبع حبات فراولة بالثلاثة وضرب أربع حبات تفاح بالثلاثة أيضًا .

نريد الحصول على 21 حبة فراولة و 12 حبة تفاح، ليصل المجموع إلى 33 قطعة من الفاكهة .

خاصية التوزيع للضرب على الطرح

سيتم تنفيذ خاصية التوزيع في الطرح بنفس طريقة حل المسألة السابقة، وباستخدام نفس القواعد والخطوات، باستثناء أن العملية ستكون بالطرح بدلاً من الجمع مثلًا:

٥ (٩ _ ٦) = ٥ (٩) _ ٥ (٦) = ٤٥ _ ٣٠ = ١٥

خاصية التوزيع مع المتغيرات

تمكنت خاصية التوزيع من تبسيط المعادلات التي تحتوي على متغيرات غير معروفة، حيث يتم استخدام قانون التوزيع مع المتغيرات مع عزل المتغير المجهول

1. يتم ضرب الرقم الخارجي أولاً في الأرقام داخل القوس .
2. نجمع بين نواتج الضرب .
3. نرتب النواتج على طرفي علامة التساوي .
4. نبسط الرقم ، ويصبح لدينا الناتج .

٤ ( س – ٣ ) = ٢٠
٤ ( س ) – ٤ ( ٣ ) = ٢٠
٤س – ١٢ = ٢٠
٤س – ١٢ + ١٢ = ٢٠ + ١٢
٤س = ٣٢
٤س/٤ = ٣٢/٤
س = ٨

يجب ملاحظة أنه عند عزل المتغيرات، يتم نقل ما تم فعله في إحدى الجوانب إلى الجانبين الآخرين للتخلص من العدد الزائد، وذلك من أجل عزل المتغير، واستخراج قيمته، وفي مثالنا السابق، تم إضافة العدد 12 إلى كلا الجانبين للتخلص من الرقم الزائد وعزل المتغير “س” واستخراج قيمته .

خاصية التوزيع مع الأس

يشير الأس إلى التدوين المختزل الذي يدل على عدد المرات التي يجب فيها ضرب العدد بنفسه، وعند وجود قوسين وأس يجب استخدام خاصية التوزيع لحل المسألة وتبسيطها

للقيام بعملية حسابية، يتم أولا توسيع المسألة وفكّ الأس، ثم يتم ضرب الرقم الأول من المجموعة الأولى بأرقام المجموعة الثانية، ومن ثم يتم ضرب الرقم الثاني من المجموعة الأولى بأرقام المجموعة الثانية .

ثم يتم جمع النتائج وتبسيطها إذا لزم الأمر، وبعد ذلك نحصل على النتيجة

(٥س + ٢)² = (٥س + ٢)(٥س + ٢)
= ٢٥س٢+ ١٠س + ١٠س + ٤
= ٢٥س٢ + ٢٠س + ٤

خاصية التوزيع مع الكسور

حل المعادلات الرياضية التي تحتوي على كسور يعتبر أكثر تعقيدًا من الحلول الأخرى، ويعتبر التوزيع خاصية بسيطة من الطرق المستخدمة لحل مسائل الكسور:

1. يمكن تحويل الأعداد الكسرية إلى أعداد صحيحة باستخدام خاصية التوزيع .
2.  نحصل علي المضاعف المشتركة الأصغر للكسور .
3. يتم ضرب حدود المعادلة في العامل المشترك الأصغر .
4. نقوم بإضافة أرقام متشابهة على جانبي علامة الاستواء لفصل المتغيرات .
5. نقوم بجمع النواتج .
6. نبسط ، ونحصل على النتيجة .

س – ٤ = س/٤ + ١/٨
٨ ( س – ٤ ) = ٨ ( س/٤ + ١/٨ )
٨س – ٣٢ = ٨س/٤ +٨/٨
٨س – ٣٢ = ٢س +١
8س – 32 + 32 – 2س = 2س + 1 + 32 – 2س
٨س – ٢س = ١ + ٣٢
٦س = ٣٣
س = ٣٣/٦ = ١١/٢

هل تنطبق خاصية التوزيع للقسمة

توزيع الخاصية لا ينطبق على القسمة كما ينطبق على عمليات الضرب ومن الممكن استخدام فكرة التوزيع في القسمة لتسهيل مسائل الرياضيات الخاصة بالقسمة .

يتم تسهيل حل مسائل القسمة عن طريق تقسيم البسط إلى أجزاء أصغر، وذلك كما في المثال التالي بدلاً من محاولة حل 125 ÷ 5 .

يمكنك تبسيط البسط وتحويل هذه المسألة الواحدة إلى ثلاث مسائل قسمة أصغر وأسهل، وذلك باستخدام قانون التوزيع، وهذا سيجعل حل المسألة أسهل بكثير، كما هو موضح .

505 + 505 + 505

امثلة على خواص التوزيع

• مثال١ :

باستخدام خاصية التوزيع وجدول الضرب بالكامل، تم العثور على حل المعادلة التالية:

٩ ( س – ٥ ) ٨١

الحل :

نقوم بضرب العدد الخارج من الأقواس بالأرقام الداخلية، ثم نرتب هذه الأرقام على جانبي علامة الاستواء للحصول على نتيجة المعادلة .

٩ ( س ) – ٩ ( س ) =٨١
٩س – ٤٥ = ٨١
٩س – ٤٥ + ٤٥ = ٨١ + ٤٥
٩س = ١٢٦
س = ١٢٦/٩
س = ١٤

• مثال٢ :

يجب حل المعادلة التالية باستخدام خاصية التوزيع: (7س + 4)²

يتم توسيع المعادلة أولاً للحصول على جميع النتائج، ثم يتم إضافة الأرقام والنتائج المتشابهة .

( ٤ + ٧س )٢
(4+7س)² = (4+7س) (4+7س)
(4+7س) (7س+4) = 49س² + 28س + 28س + 16
٤٩س٢ + ٥٦س + ١٦

• مثال٣

يتم إيجاد حل المعادلة التالية باستخدام خصائص الضرب وخاصية التوزيع

– ٥ = س/٥ + ١/١٠

في عملية حسابية تبدأ بتحديد الكسر، يتم الحصول على العامل المشترك الأصغر للأعداد ٥ و١٠، وهو العدد ١٠، ثم يتم ضرب العامل المشترك الأصغر في كلا الجانبين من علامة اليساوي، ثم يتم التبسيط، وفي النهاية يتم فصل المصطلحات التي لها ثوابت وتلك التي لها متغيرات .

س – ٥ = س/٥ + ١/١٠
١٠ ( س – ٥ ) = ١٠ ( س/٥ + ١/١٠ )
١٠س – ٥٠ = ٢س + ١
١٠س – ٢س = ١ + ٥٠
٨س = ٥٠
س = ٥١/٨