الفرق بين القاسم المشترك الاكبر والمضاعف المشترك الاصغر

الأعداد الطبيعية التي يمكن ثسمتها على عدد آخر دون باقي هي القاسم المشترك الأكبر والمضاعف المشترك الأصغر، ويتم استخدام القاسم المشترك الأكبر لإيجاد الرقم المشترك بين تلك الأعداد الطبيعية .

إيجاد القاسم المشترك الأكبر 

– لإيجاد القاسم المشترك الأكبر يجب إتباع بعض الخطوات و التي هي على النحو الآتي : تحليل كل العددين إلى عوامله الأولية ، ثم تميز العوامل المشتركة بين العددين ، ثم ضرب العوامل المشتركة بين العددين فتحصل على العامل المشترك الأكبر ، و قد تجد له أسماء متنوعة في الكتب ومنها العامل المشترك الأعلى (ع.م.أ) ، أو القاسم المشترك الأعلى ( ق . م . أ .) ، العامل المشترك الأعظم ( ع . م . أ . ) ، كل هذه الأسماء و غيرها لها نفس المعنى .

أمثلة على القاسم المشترك الأكبر 

المثال الأول

العامل المشترك الأكبر للعددين 20 و30 هو
ما هي عوامل العدد 20 الأولية؟
عوامل العدد 20 = 2 • 2 • 5 .
ما هي عوامل العدد 30 الأولية ؟
عوامل العدد 30 = 2 • 5 • 3
ما هي القيم المشتركة بين الأعداد 20 و 30؟ .
العوامل المشتركة بين 20 و30 هي 2 و5 .
قم على ضرب العوامل المشتركه ؟
عامل العدد الأكبر المشترك لعددي 20 و 30 هو 10

المثال الثاني

العامل المشترك الأكبر للعددين 12 و 15 هو 3
12 = 3 • 2 • 2
15 = 3 • 5
لاحظ أن هناك ثلاثة عوامل مشتركة فقط
لذلك العامل المشترك الاكبر هو 3

المثال الثالث

أكبر عامل مشترك بين العددين 40 و 50
40 = 5 • 2 • 2 • 2
50 = 5 • 2 • 5
نلاحظ ان العوامل المشتركه هي 5، 2
نقوم الان على ضربهما لايجاد
العامل المشترك الاكبر
يكون الناتج 10

إيجاد المضاعف المشترك الأصغر

– المقصود بمضاعفة الأعداد هو إضافة نفس العدد عليها ، فمثلًا نقول مضاعفات العدد 2. : 2، 4 ، 6 ،ّ 8 ، …. ، و مضاعفات العدد 3 : 3، 6 ، 9 ، 12 ، … و هكذا ، و هو أصغر عدد صحيح موجب مضاعف لكلا هذين العددين ، و هذا يعني أنه من الممكن قسمة المضاعف المشترك الأصغر على العددين بدون باقي قسمة ، و يرمز له بالرمز م.م.أ

أمثلة على المضاعف المشترك الأصغر 

المثال الأول

ما هو أصغر مضاعف مشترك بين ٢٠ و ١٥؟
– الطريقة الأولى : نسعى لإيجاد المضاعفات لكل من الرقمين
20 : 20 ، 40 ، 60 ، 80 ، 100 ، …
15 : ١٥، ٣٠، ٤٥، ٦٠، ٧٥، ٩٠، ١٠٥، .

عند الكتابة، نلاحظ أنه تم الوصول إلى أول مضاعف مشترك بين الرقمين وهو العدد 60، ولذلك فإن المضاعف المشترك بينهما هو 60 .

– الطريقة الثانية : يمكن تحليل الرقمين إلى عوامل، مثل العوامل المشتركة الأكبر، حيث يمكن تحليل الرقم 20 إلى العوامل 2 × 2 × 5
15 = 3 • 5
نلاحظ أن هناك خمسة عوامل مشتركة فقط
نقوم بكتابة العوامل المتبقية في العددين 2، 2، 3
نحن نضربهما معًا الآن لنحصل على الناتج 60

المثال الثاني

– أوجد م . م . أ للعددين 24 ، 60 .
الحل:
24 = 2 × 2 × 2 × 3
60 = 2 × 2 × 3 × 5
المضاعف المشترك الأصغر هو 120 ويساوي 2 × 2 × 2 × 3 × 5 .

المثال الثالث

– أوجد م . م . أ . للعددين 10 ، 21
الحل:
10 = 2 × 5
21 = 3 × 7
إذن م.م.أ. = 2 × 5 × 3 × 7 = 210 .

المثال الرابع

أوجد الم.م.أ. للأعداد 35 و45
الحل: بتحليل الأعداد إلى عواملها الأولية .
35 = 5 × 7
45 = 3 × 3 × 5
لذا، M.M.A. = 5 × 3 × 3 × 7

المثال الخامس 

شارك محمد وليث في سباق جري رياضي، وعلم أن محمد احتاج 6 دقائق لإنهاء الدورة والوصول إلى نقطة البداية، بينما احتاج ليث 8 دقائق لإنهاء الدورة، فبعد كم من الوقت سينتهي كلٌ منهما من الدورة معًا في نفس الوقت؟ .

– أولاً : مضاعفات العدد 6 هي: 6، 12، 18، 24، 30، 36، 42، 48… ومضاعفات العدد 8 هي: 8، 16، 24، 32، 40، 48

– ثانياً : – نبحث عن المضاعفات المشتركة بين العددين 24 و 48
– ثالثا : نأخذ أصغر عامل مشترك لهذه الأعداد وهو 24، لذا سيكون انتهاء الدورة الكاملة للأرقام معًا لأول مرة عند الدقيقة 24 وهذا هو العامل المشترك الأصغر .

التفريق بين القاسم المشترك و المضعف المشترك

إذا كان العامل المشترك الأكبر لرقمين هو ناتج ضرب عواملهما المشتركة والتي تحمل الأس الأصغر، فإن المضاعف المشترك الأصغر لهما يتمثل في حاصل ضرب عواملهما المشتركة وغير المشتركة، والتي تحمل الأس الأكبر .

ﻣﺜﺎﻝ أول

ما هو الرقم الذي يأتي بعد الرقمين 6 و 3 في السلسلة؟

الحل : نقوم بالتحقق من العوامل الأولية لكل من الأعداد 6 و 3

العوامل الأولية للعدد 6 = 2 × 3

عوامل الأولية للعدد 3 = 3 × 1
نقوم بالبحث عن العنصر الأصلي المفقود في المجموعة وهو 3، وبالتالي يكون مجموع الأرقام الثلاثة المتسلسلة هو 3 .