البرهان باستعمال مبدأ الاستقراء الرياضي

هناك عدد من القواعد الرياضية الهامة التي تستخدم في الحسابات والقوانين المختلفة، وتطبق بعض هذه القواعد في الحياة العملية في العديد من الأمور، بما في ذلك مبادئ الاستقراء الرياضي.

الاستقراء الرياضي

الاستقراء الرياضي هو تقنية إثبات رياضية تستخدم أساسًا لإثبات أن الخاصية P (n) صحيحة لجميع الأعداد الطبيعية n بدءًا من n = 0، 1، 2، 3، وما إلى ذلك. يمكن استخدام الاستعارات بشكل غير رسمي لفهم مفهوم الاستقراء الرياضي، مثل مقارنته بسقوط الدومينو أو تسلق السلم.

يثبت الاستقراء الرياضي أنه يمكننا الصعود إلى أعلى المستويات التي نريدها على السلم، وذلك عن طريق إثبات أنه يمكننا الصعود إلى الدرجة الأساسية، ومن كل درجة يمكننا الصعود إلى المرحلة التالية.

طريقة الاستقراء الرياضي

: “تتطلب طريقة الاستقراء اثنتين من الحالات، الأولى تسمى الحالة الأساسية وقد تثبت مثلا أن عقارا يحمل العدد صفر، أما الحالة الثانية فتعرف بخطوة الاستقراء وتثبت أنه إذا كان لديك عقارا للعدد الطبيعي ن، ثم حفظته للرقم الطبيعي التالي n+1، فإن هذه الخطوتان تنشئان خاصية P(n) لكل رقم طبيعي n=0،1،2،3،… ويمكن أن تبدأ الخطوة الأساسية بأي رقم طبيعي، وغالبا ما تبدأ بالرقم الأول، مما يثبت حقيقة الخاصية لجميع الأعداد الطبيعية التي تزيد عن رقم البداية.

يمكن توسيع هذه الطريقة لإثبات بيانات حول طرق أكثر عمومية جيدة، مثل الأشجار؛ ويعرف هذا التعميم باسم الحث الهيكلي ويستخدم في المنطق الرياضي وعلوم الكمبيوتر، ويترابط الاستفسار الرياضي بهذا المعنى الممتد ارتباطا وثيقا بمفهوم الرجوع، ويعتبر الاستقراء الرياضي في بعض الأشكال أساسا لجميع البراهين الصحيحة لبرامج الكمبيوتر .

– على الرغم من أن اسمها قد يوحي بخلاف ذلك ، فلا ينبغي إساءة فهم الاستقراء الرياضي كشكل من أشكال التفكير الاستقرائي كما هو مستخدم في الفلسفة (انظر أيضًا مشكلة الاستقراء ) ، الحث الرياضي هو قاعدة الاستدلال المستخدمة في البراهين الرسمية ، و الدليل على الحث الرياضي هو في الواقع أمثلة على الاستنتاج المنطقي .

تاريخ الاستقراء الرياضي

في عام 370 قبل الميلاد، درس أفلاطون مثالا مبكرا لدليل الاستقرائي الضمني. يمكن الاطلاع على أقدم آثار الاستقراء الرياضي في إقليدس، وهي دليل على أن العدد الذي تم دراسته لانهائي. قيل أنه إذا تشكلت كومة من 1،000،000 حبة رمل وتمت إزالة حبة واحدة، فإن الحبة الواحدة تشكل حبة رمل. تم تقديم دليل ضمني من خلال التسلسلات الحسابية في الفاخري الذي كتبه الكراجي حوالي عام 1000 ميلادي، واستخدمهلإثبات نظرية الحدين وخصائص مثلث باسكال .

لم يذكر أي من علماء الرياضيات القدامى فرضية الاستقراء بوضوح، وكانت هناك حالة مشابهة أخرى. على سبيل المثال، في كتابه الثنائي Arithmeticorum يبري (1575)، استخدم فرانشيسكو ماوروليكو هذه التقنية لإثبات أن مجموع أول n أعداد صحيحة يساوي n². وأيضا، أعطى باسكال أول صيغة صريحة لمبدأ الاستقراء في كتابه Traité du triangle arithmétique (1665).

استفاد الفرنسي فيرما من مبدأ ذو صلة ، والذي يتضمن دليلا غير مباشر عن طريق النسب اللانهائية. وقد استخدم ينيعقوب برنولي الحث الرياضي ، وأصبح الأمر أكثر شهرة في القرن التاسع عشر مع جورج بول وأوغسطس دي مورجان وتشارلز ساندرز بيرس وغيرهم. وتم التعامل بشكل صارم ومنهجي مع هذا المبدأ فقط في القرن التاسع عشر مع جيوسيبي بيانو وريتشارد ديديكيند .

وصف الاستقراء الرياضي

إن أبسط أشكال الاستقراء الرياضي وأكثرها شيوعا تستنتج أن العبارة التي تحتوي على رقم طبيعي n تنطبق على جميع قيم n، ويتكون الدليل من خطوتين، الأولى في حالة قاعدة الإثبات لأول عدد طبيعي n 0، وفي حالة خطوة الاستقراء التي تثبت أن البيان ينطبق على كل n ≥ n 0، إذا استمر البيان للعدد n، ثم يتم الاحتفاظ به للعدد n + 1. وبعبارة أخرى، يفترض أن البيان ينطبق على بعض الأعداد الطبيعية n التي تكون أكبر من أو تساوي n 0، ويتم إثبات أنه ينطبق أيضا على العدد n +.

يُطلق على الفرضية في الخطوة الاستقرائية التي تحملها البيان بالنسبة لبعض n اسم الفرضية الاستقرائية أو فرضية الاستقراء. ولإثبات الخطوة الاستقرائية، يفترض المرء فرضية الاستقراء ثم يستخدم هذا الافتراض، الذي يتضمن n، لإثبات العبارة لـ n + 1.