شرح درس مقاييس التشتت

يشير التشتت إلى تباعد قيم مجموعة من المفردات عن بعضها البعض أو عن قيمة معينة ثابتة، مثل الوسط الحسابي، وتهدف دراسة التشتت إلى تقييم مدى تجانس قيم المفردات في المجموعة، ويساعد التشتت في مقارنة قيم مجموعتين أو أكثر من البيانات حول ظاهرة معينة.

من أهم مقاييس التشتت

تشمل القياسات الإحصائية التالية: المدى، الانحراف الربيعي، الانحراف المتوسط، التباين، والانحراف المعياري.

وسوف نتناول بعض منها بالتوضيح:

1 – المدى Rang

المدى المطلق هو أحد أنواع مقاييس التشتت البسيطة والأقل دقة، حيث يستخدم لوصف المجموعة ومقارنتها بين المجموعات الإحصائية، ويستخدم عادة في العينات الصغيرة. يتم حسابه كفرق بين أكبر قيمة وأصغر قيمة في البيانات غير المرتبة، أما في البيانات المرتبة فإنه يحسب كفرق بين الحد الأعلى للفئة العليا والحد الأدنى للفئة الدنيا.
يتم حسابه في حالة البيانات غير المجمعة = القراءة الأعلى – القراءة الأدنى.
Rang = Max – Min
يتم قياسه عندما تكون البيانات مُجمَّعة بأكثر من طريقة، ومن بين تلك الطرق: مركز الفئة الأولى ومركز الفئة الأخيرة.

مزايا وعيوب المدى

مزاياه
يعد مقياس التشتت بسيطًا وسهل الحساب ويستخدم في مراقبة الجودة ولكنه غير صالح للاستخدام في التوزيعات التكرارية المفتوحة. وهو معتاد في الدراسات الجغرافية لتوضيح التوزيعات مثل دراسة الطقس والمناخ.

عيوبه
تعطي فكرة خاطئة إذا كانت القيم تحتوي على تشتت قيمي عند طرفيها لأنها تتأثر بالقيم الصغرى والكبرى فقط دون الاهتمام بالقيم الأخرى، وبالتالي تتأثر بالقيم الشاذة ولا تأخذ بعين الاعتبار جميع القيم.

2 – الانحراف الربيعي الفصلي (Q)

يعتمد المدى على قيمتين متطرفتين هما أصغر قراءة وأكبر قراءة، فإذا كان هناك قيم شاذة، ترتب على استخدامه كمقياس للتشتت نتائج غير دقيقة، من أجل ذلك لجأ الإحصائيون إلى استخدام مقياس للتشتت يعتمد على نصف عدد القيم الوسطى، ويهمل نصف عدد القيم المتطرفة، ولذا لا يتأثر هذا المقياس بوجود قيم شاذة، ويسمى هذا المقياس بالانحراف الربيعي (Q)، ويحسب الانحراف الربيعي بتطبيق المعادلة التالية:

يُعرف الانحراف الربيع بنصف المدى الربيعي، حيث يمثل Q1 وQ3 الربيع الأول والثالث، وهو مصطلح يستخدم في الإحصاء للدلالة على تباين البيانات وتوزيعها حول المتوسط.

مزاياه

يفضل استخدامه كمقياس للتشتت في حالة وجود قيم شاذة، كما أنه بسيط وسهل في الحساب.

عيوبه

أنه لا يأخذ كل القيم في الاعتبار.

الانحراف المتوسط Mean Deviation (MD)

يعتبر معامل التباين هو متوسط اختلاف قيم المجموعة عن متوسطها الحسابي، ويتجاهل الإشارة، ويعد مؤشرًا دقيقًا وواضحًا أكثر من المدى والانحراف المعياري، حيث يأخذ بعين الاعتبار كل قيمة من قيم المجموعة .
عندما يوجد مجموعة من القراءات، يتم حساب الانحراف المتوسط باستخدام هذه المعادلة، والتي تستخدم في حالة البيانات غير المجموعة بشكل جيد:
حيث X هي القيمة الفردية، و N هو عدد القيم، و ∑ هي الإجمالي، وẊ هو المتوسط الحسابي للقيم، ويتم حسابها باستخدام هذه الصيغة .

و في حالة البيانات المبوبة يتم حسابه بالطريقة التالية:

حيثما f تمثل تكرار الفئة، و X هو مركز الفئة، و Ẋ هو المتوسط الحسابي.

مزاياه

أنه يأخذ كل القيم في الاعتبار.

عيوبه

يتأثر بالقيم الغير متوافقة و يصعب التعامل معه رياضياً.

4 – الانحراف المعياري Standard Deviation

يعد الانحراف القياسي هو أحد أهم مؤشرات التشتت والتركيز، وهو المقياس الأكثر استخداماً وانتشاراً، حيث تم اختراع مفهوم الانحراف المعياري للتغلب على الإشارات السالبة وتحديد حجم التباينات، وتم استخدام الطريقة الحالية لحساب الانحراف المعياري عن طريق تربيع التباينات .

يعرف بأنه الجذر التربيعي لمتوسط مربعات انحرافات قيم المتغير العشوائي عن متوسطها الحسابي. يتميز الانحراف المعياري بأنه دائما قيمته موجبة ويتم حسابه باستخدام جميع البيانات المتاحة. إنه سهل الفهم والحساب ويخضع للعمليات الجبرية (الحسابية).

إذا الانحراف المعياري هو الجذر التربيعي الموجب للتباين  أي أن:

إذا تم تصنيف بيانات الظاهرة في جدول التكرار، يمكن حساب الانحراف المعياري باستخدام المعادلة التالية:

يُعبر عن التباين S2 بالمقدار الذي تحت الجذر، حيث f هو تكرار الفئة، وX هو مركز الفئة، وẊ هو الوسط الحسابي، وN هو مجموع التكرارات.

مزاياه

يُعد مقياس التشتت هذا الأكثر استخدامًا، ويُمكِّن من التعامل معه رياضيًا، ويأخذ في الاعتبار جميع القيم .

عيوبه

أنه يتأثر بالقيم الشاذة.