الأسطوانة هي إحدى المجسمات الأساسية في الهندسة وهي عبارة عن أي جسم يتكون سطحه من جميع النقاط التي تبعد مسافة معينة عن قطعة مستقيمة معطاة وهي محور الأسطوانة، ويسمى الحيزين المغلقين بمستويين متوازيين يتعامدان مع المحور أسطوانة، أو يمكن أن نعرفها بأنها أي جسم مستطيل ينتج عن دورانه حول أحد أضلاعه دورة كاملة وهنا محور الدوران هو محور الأسطوانة، أما الضلع المقابل له يسمى مولد أو راسم الأسطوانة، أما الدائرتين اللتين تحدان المجسم من الجهتين فهي قاعدة أو دليل، أما القطعة المستقيمة التي تتعامد مع القاعدتين تسمى ارتفاع الأسطوانة، وإذا تعامد الارتفاع مع محيط قاعدتي الأسطوانة تسمى الأسطوانة القائمة، غير ذلك تسمى أسطوانة مائلة، وعند ذكر أسطوانة دون تمييز فإن المقصود هو الأسطوانة القائمة غالبا، سمية الأسطوانة باسمها لأن بها مولدا أو ما يسمى مولد الدوران مثل ذلك الموجود في المنشور .
كيفية حساب المساحة الجانبية للاسطوانة .
هناك قانون لحساب مساحة السطح الجانبي للاسطوانة، ولكن دعنا نتعرف أولًا على معنى المساحة الجانبية للاسطوانة .
عند تمديد الاسطوانة، فإنها ستنقسم إلى ثلاثة أجزاء: السطح العلوي على شكل دائرة، والقاعدة على شكل دائرة، وكلاهما هما قاعدتي الاسطوانة ومتساويتين، أما الجزء الثالث فهو عبارة عن مستطيل .
تُعرف مساحة الأسطوانة الجانبية بمساحة المستطيل، والمعروف أنَّ مساحة المستطيل = الطول × العرض .
في هذا السياق، يتم حساب مساحة الجانب الخاصة بالأسطوانة باستخدام قانون يستند إلى طول محيط الدائرة التي تشكل القاعدة وعرض الأسطوانة، ويتم تمثيل هذا القانون على النحو التالي:
يتساوى المساحة الجانبية للاسطوانة بحاصل ضرب محيط القاعدة في الارتفاع .
يتساوى محيط القاعدة للمستطيل مع طوله، ويتساوى ارتفاعه مع عرضه. ويمكن تعبير هذه القواعد بطريقة أخرى، حيث يمكن وصف محيط القاعدة بأنه عبارة عن دائرة، وبالتالي يمكن كتابة القواعد بالشكل التالي:
مثال ( 1 ) : – اوجد المساحة الجانبية لاسطوانة محيط قاعدتها 90 سم و ارتفاعها 6 سم .
الحل .
يتساوى المساحة الجانبية للاسطوانة بحاصل ضرب محيط القاعدة في الارتفاع .
مساحة الوجه الجانبي للاسطوانة = 90 × 6 = 549 سم مربع .
مثال ( 2 ) : – اوجد المساحة الجانبية لاسطوانة طول نصف قطر قاعدتها 7 سم و ارتفاعها 10 سم .
الحل .
مساحة الجانب الاسطواني = 2 * ط * نق * ارتفاعه .
مساحة الجانب الخارجي للاسطوانة = 2 × 22÷7 × 7 × 10 = 440 سمم2 .
مثال ( 3 ) : – اوجد المساحة الجانبية لاسطوانة قطر قاعدتها 40 سم و ارتفاعها 100 سم .
الحل .
نق = 402 = 20 سم .
مساحة الجانب الاسطواني = 2 * ط * نق * ارتفاعه .
يتم حساب المساحة الجانبية للاسطوانة بالتالي: 2 × 3.14 × 20 × 100 = 12560 سم مربع .
كيفية حساب المساحة الكلية للاسطوانة .
المساحة الكلية للاسطوانة يمكن حسابها من خلال القانون التالي : –
إجمالي مساحة الأسطوانة = مساحة الجانب + مجموع مساحتي القاعدتين .
المساحة الكلية للأسطوانة = (2 * ط * نق * ارتفاع) + (2 * نق^2 * ط) .
مثال ( 4 ) : – اوجد المساحة الكلية لاسطوانة طول نصف قطرها 7 سم و ارتفاعها 10 سم .
الحل .
المساحة الكلية للأسطوانة = (2 * ط * نق * ارتفاع) + (2 * نق^2 * ط) .
مساحة الأسطوانة بالكامل = (2 × 22÷7 × 7 × 10) + (2 × 49 × 22÷7)
= 440 + 308 = 748 سم2 .
حل آخر .
مساحة القاعدة = نق2 × ط = 49 × 227 = 154 سم مربع .
إجمالي مساحة القاعدتين = 154 + 154 = 308 سم2 .
مساحة الجانب الاسطواني = 2 * ط * نق * ارتفاعه .
مساحة الجانب الخارجي للاسطوانة = 2 × 22÷7 × 7 × 10 = 440 سمم2
المساحة الإجمالية للاسطوانة تساوي مجموع المساحة الجانبية ومساحتي القاعدتين .
المساحة الإجمالية للاسطوانة = 440 + 308 = 748 سم مربع .
مثال ( 5 ) : – اسطوانة تبلغ مساحتها الجانبية 880 سم2 و ارتفاعها 7 سم فكم يبلغ طول نصف قطرها و مساحتها الكلية .
الحل .
نصف القطر = المساحة الجانبية / (2 × ط × الارتفاع) .
طول نصف القطر = 880 (2 * 227 * 7) = 2 سم .
مساحة القاعدة = 4 * 3.14 = 13.6 سم2 .
مجموع مساحتي القاعدتين = 27.2 سم2 .
المساحة الإجمالية = 880 + 27.2 = 907.2 سم مربع .