الكرة او الفلكة (Sphere ) في الهندسة الثلاثية عبارة عن سطح هندسي ثنائي تام التناظر يحدث نتيجة لدوران دائرة حول احد اقطارها , اما في الهندسة الاقليدية ثلاثية الابعاد فإن الكرة هى المحل الهندسي لمجموعة من النقاط التي تبعد بعد ثابت او البعد نفسه عن نقطة معينة في الفضاء هذا البعد يسمى نصف قطر و لا يمكن باي حال من الاحوال ان يكون الرقم سالب فهو موجب دائمًا و يمكن ان يأتي في شكل كسر بمختلف انواعه اذا ليس شرطًا ان يكون رقم صحيح , اما النقطة فتسمي مركز الكرة .
خواص الكرة .
الكرة تعد واحدة من الأشكال الشائعة في حياتنا مثل كرة القدم، كرة السلة، كرة التنس، ونموذج الكرة الأرضية .
هناك نقطة داخلية في الكرة تُسمى مركز الكرة .
تكون جميع النقاط على سطح الكرة على بعد متساوٍ عن مركز الكرة .
يتساوى البعد بين أي نقطة على سطح الكرة ومركز الكرة بنصف قطر الكرة .
تعد القطر الذي يمر بمركز الكرة القطعة المستقيمة الممتدة بين نقطتين متقابلتين على سطح الكرة، ويمثل مركز الكرة منتصف هذه القطعة .
حساب مساحة سطح الكرة .
يتم حساب مساحة سطح الكرة من خلال القانون التالي : –
مساحة سطح الكرة = 4 ط نق2 .
يعبر القانون عن أن مساحة الكرة تساوي أربع مرات مساحة الدائرة ، وأن طول نصف قطر الكرة يساوي طول نصف قطر الدائرة .
مثلا ( 1 ) : – احسب مساحة سطح كرة إذا كان نصف قطرها 5 سم .
الحل .
مساحة سطح الكرة = 4 ط نق2
مساحة سطح الكرة = 4 × 3.14 × (5)2 = (4 × 25) × 3.14 = 100 × 3.14 = 314 سم² .
مثال ( 2 ) : – احسب مساحة سطح كرة إذا كان قطرها يبلغ 14 سم .
الحل .
نصف قطر الكرة يساوي 7 سم (بعد قسمة 14 على 2) .
مساحة سطح الكرة = 4 ط نق 2
مساحة سطح الكرة = 4 × 22/7 × (7)2 = 4 × 22/7 × 49 = 88 × 7 = 616 سم² .
مثال ( 3 ) : – كرة تبلغ مساحة سطحها 1256 سم2 , اوجد طول نصف قطرها .
الحل .
مساحة سطح الكرة = 4ط نق2 .
1256 = 4 × 3.14 نق2 .
نق2 = 1256 / (4 × 3.14) = 100 .
نق = الجذر التربيعي لـ 100 = 10 سم .
حجم الكرة .
يتم حساب حجم الكرة من خلال القانون التالي : –
حجم الكرة = 4/3 ط نق3 .
مثال ( 4 ) : – احسب حجم كرة ، نصف قطرها 3 سم .
الحل .
حجم الكرة = 4/3 ط نق3
حجم الكرة يساوي 4/3 × 3.14 × ( 3 )3 = 43 × 28.26 = 113 سم3 .
مثال ( 5 ) : – إذا كان لدينا كرة طول قطرها يساوي 12 سم، وكان المطلوب إيجاد مساحة سطحها وإيجاد الحجم .
الحل .
طول نصف قطر الكرة = 12/2 = 6 سم .
مساحة سطح الكرة = 4 ط نق2 .
مساحة سطح الكرة = 4 × 3.14 × (6)2 = (4 × 36) × 3.14 = 144 × 3.14 = 452.16 سم2 .
حجم الكرة = 4/3 ط نق3 .
حجم الكرة = 4/3 × 3.14 × (6)³ = 4/3 × 3.14 × 216 = 904.32 سم³ .
مثال ( 6 ) : – كرة يبلغ حجمها 43123 سم3 اوجد طول نصف قطرها .
الحل .
حجم الكرة = 4/3 ط نق3 .
43123 = 43 X 227 X نق3 .
نق 3 = 4312 × (3/4) × (7/22) = (4312 × 3 × 7) ÷ (3 × 4 × 22) = 343 .
نق = الجذر التكعيبي للرقم 343 = 7 سم .
إذا طلب منك حساب مساحة أو حجم كرة دون أن تعطى طول نصف فطرها، يظهر هنا المشكلة في الحياة الواقعية. يمكنك أن تأخذ الكرة وتحضر سلسلة أو حبلا ذو طول يسمح بأن يلتف بالكامل حول الكرة، ثم تلفه حول الكرة حتى تلتقي حوافها، وبعد ذلك تقوم بفرد الحبل أو السلسلة، وباستخدام المسطرة تقوم بقياس طوله. وبهذه الطريقة تحصل على محيط الكرة، ومن خلال قسمة هذا المحيط على 2π تحصل على نصف القطر. ومع ذلك، لا تكتمل العملية بهذه البساطة، حيث لا يكتفي بعملية قياس واحدة، بل يتم قياس محيط الدائرة بالطريقة السابقة ثلاث مرات، ثم يتم استخراج الوسيط لعمليات القياس وقسمته على 2π، وبذلك تحصل على القيمة المقدرة لنصف القطر .
ان الكرة مع باقي المجسمات الثلاثية الابعاد و الثنائية الابعاد تدخل في العديد من التطبيقات المهمة و خاصة التطبيقات الهندسية و يعتبر اقرب الاشكال الهندسية لها هو الشكل الثنائي الابعاد و الذي يسمى الدائرة و الذي يمكن حساب قيمتين له المحيط و المساحة او ما يقع داخل الدائرة كحال باقي الاشكال الثنائية البعد .