الأسطوانة: الأسطوانة هي شكل ثلاثي الأبعاد يتكون من قاعدتين، إحداهما علوية والأخرى سفلية، وتتميز القواعد بنفس الشكل الدائري والحجم، ويتم الحصول على الشكل الأسطواني عن طريق لف مستطيل حول أحد جوانبه بشكل كامل. ويتميز الشكل الأسطواني بوجود جانب وحيد منحني وقاعدة مسطحة .
استعمالات الإسطوانة
يمكن استخدام الأسطوانة في العديد من التطبيقات العملية مثل استخدامها كخراطيم ومضخات لضخ المياه في الخارج، مثل تلك المستخدمة في سيارات الإطفاء وغيرها، كما يوجد العديد من الآثار والأبنية التاريخية التي تحتوي على أعمدة منقوشة ومنحوتة على شكل أسطواني، وتستخدم المطابع ماكينات على شكل أسطوانة للورق، وتستخدم الأسطوانة في العديد من الصناعات والتطبيقات العملية التي لا يمكن حصرها .
قانون حساب حجم الأسطوانة
يتم حساب حجم الأسطوانة بضرب مساحة قاعدتها بالارتفاع. ونظرا لأن القاعدة تشكل دائرة، فإن مساحة قاعدة الأسطوانة تكون مساحة الدائرة، والتي يتم تحديدها بالمعادلة:
مساحة الدائرة= π× (نصف القطر)²، وعليه فإنّ حجم الأسطوانة يساوي :
(حجم الأسطوانة = مساحة قاعدة الأسطوانة × ارتفاع الأسطوانة).
مساحة قاعدة الأسطوانة = مساحة الدائرة.
مساحة قاعدة الأسطوانة = π× (نق)².
حجم الأسطوانة = π× نق²×ع، حيث إنّ:
نق: نصف قطر الدائرة أو القطر مقسوم على العدد 2.
ع: ارتفاع الأسطوانة.
أمثلة على حساب حجم الأسطوانة
مثال (1)
يتم تحديد حجم المجسم الأسطواني عن طريق معرفة قطر قاعدته الذي يبلغ 28 مترًا وارتفاعه الذي يبلغ 10 أمتار.
الحل
يتم حساب حجم الأسطوانة بمضاعفة مساحة قاعدتها بارتفاعها.
حجم الأسطوانة = π× نق²×ع.
تعوَّض قيمة الارتفاع ونصف القطر في القانون، (نق = 2/28 = 14).
حجم الأسطوانة= ²14 ×10×π
إذن: حجمُ الأسطوانةِ = π1960 م³، الحجمُ بدلالةِ بايِ، وفي حالِ تعويضِ قيمة بايِ يصبحُ الناتجُ:
حجم الأسطوانة= 6154.4م³.
مثال (2)
احسب حجم الأسطوانة إذا كان نصف قطر قاعدتها يساوي 3.5 متر وارتفاعها يساوي 1.25 متر.
الحل
يتم حساب حجم الأسطوانة بمضاعفة مساحة قاعدتها بارتفاعها.
حجم الأسطوانة = π× نق²×ع.
يتم تعويض قيمة الارتفاع ونصف القطر في القانون.
حجم الأسطوانة= ²3.5 ×1.25×π.
حجم الأسطوانة= 12.25 ×1.25×π
إذن: حجم الأسطوانة = 15.3125π م³، والحجم يتغير بناء على قيمة باي، وفي حالة استبدال قيمة باي، سيتغير الناتج
حجم الأسطوانة= 48.08125 م³.
مثال (3)
يبلغ ارتفاع خزان الماء الأسطواني 24640 متر مكعب، ويبلغ طول قطر قاعدته 14 مترًا.
الحل
يتم حساب حجم الأسطوانة بمضاعفة مساحة قاعدتها بارتفاعها.
حجم الأسطوانة = π× نق²×ع.
يتم تعويض قيمة الحجم ونصف القطر في القانون، (نق=2/14=7).
24640= ²7×π×ع.
24640 = π × 49 × ع، (وبقسمة طرفي المعادلة على π49، باستخدام الآلة الحاسبة).
الارتفاع= 160م تقريباً.
مثال (4)
يتكون الأنبوب البلاستيكي الأسطواني المفرغ من الداخل من مادة بحجم يمكن حسابه، إذا كان ارتفاعه يبلغ 12 سم، وقطر الأسطوانة الخارجي الأكبر يساوي 4 سم، وقطر الأسطوانة الداخلي الأصغر يساوي 3 سم.
الحل
أولا : يتم إيجاد حجم الأسطوانة الخارجية :
يتناسب حجم الأسطوانة الخارجية مع مساحة قاعدتها مضروبة بارتفاعها.
حجم الأسطوانة الخارجية = πײ2×12.
حجم الأسطوانة الخارجية = π×4×12.
حجم الأسطوانة الخارجية=π48سم³.
ثانياً : يتم إيجاد حجم الأسطوانة الداخلية
حجم الأسطوانة الداخلية = مساحة قاعدة الأسطوانة × ارتفاع الأسطوانة.
حجم الأسطوانة الداخلية=π×1.5²×12.
حجم الأسطوانة الداخلية=π×2.25×12.
حجم الأسطوانة الداخلية=π27سم³.
ثالثاً: يتم إيجاد حجم المادة البلاستيكية.
حجم المادة يساوي حجم الأسطوانة الخارجية ناقص حجم الأسطوانة الداخلية.
حجم المادة= π27-π48.
إذن حجم المادة=π21سم³.
مثال5
الموشور الرباعي القائم له قاعدة مربعة الشكل، وطول أحد أضلاعه يساوي 7 أمتار، وهو موضوع داخل أسطوانة دائرية قائمة، وارتفاع الأسطوانة يساوي 15 متر، وحجمها يساوي 900 متر مكعب، ويجب حساب المساحة الفارغة التي تقع بين الأسطوانة والموشور
الحل
أولاً: يتم إيجاد حجم الموشور:
حجم المخروط = 1/3 × مساحة قاعدة × الارتفاع.
حجم الموشور=²7×15.
حجم الموشور=735م³.
ثانياً: يتم إيجاد حجم المنطقة الفارغة.
يتم حساب حجم المنطقة الفارغة بطرح حجم الموشور الداخلي من حجم الأسطوانة.
حجم المنطقة الفارغة= 900-735.
إذن حجم المنطقة الفارغة=165م³.
حجم مخروط مشترك مع الأسطوانة في القاعدة والارتفاع
يمكن ملء أي أسطوانة بمادة معينة ( رمل، ماء، عصير) عن طريق استخدام مخروط مشترك معها بنفس القاعدة والارتفاع، حيث ستمتلئ الأسطوانة بعد ثلاث مرات تماماً من تعبئة المخروط وسكبه في الأسطوانة، وبناء عليه فإن: (حجم الأسطوانة يساوي ثلاثة أمثال حجم المخروط المشترك معها بنفس الارتفاع والقاعدة )
وبناء عليه فإن :
يتم تطبيق قانون حجم المخروط بمقدار 3/1 من حجم الأسطوانة المشتركة معه في نفس الارتفاع والقاعدة.
إذن: حجم المخروط= 3/1 π ×نق²×ع.
أمثلة تبين كيفية حساب حجم المخروط
مثال1
احسب حجم المخروط إذا كان نصف قطر قاعدته يساوي 4 سم وارتفاعه يساوي 10 سم؟
الحل
حجم المخروط= 3/1 π ×نق²×ع.
وبتعويض قيمة الارتفاع، ونصف القطر ينتج أن:
حجم المخروط= 3/1 × (π× 10×(4²
حجم المخروط= 3/1 × π× 10×4×4
حجم المخروط= 3/1 × π× 10×16
حجم المخروط= 3/1 × π× 160
إذن: حجم المخروط = 53.33333333333 × π سم³، (الإجابة في الإشارة إلى π).
مثال2
احسب حجم مخروط، إذا كان نصف قطر قاعدته يساوي 1.5 م وكان ارتفاعه يساوي 3 م؟
الحل
حجم المخروط= 3/1 π ×نق²×ع.
وبتعويض قيمة الارتفاع، ونصف القطر ينتج أن:
حجم المخروط= 3/1 × (π× 3×(1.5²
حجم المخروط= 3/1 × π× 3×1.5×1.5
وباختصار العدد 3، ينتج أن:
إذن: حجم المخروط يساوي π2.25 مكعب، (الإجابة بالتعبير عن π).