إن القيمة الفردية التي يمكن أن تتوسط مجموعة من البيانات الكاملة تسمى الوسط الحسابي ، وإذا كان المتوسط يميل إلى الكذب أو الإشارة إلى مركز التوزيع ، فإنه يطلق عليه مقياس الاتجاه المركزي ، أو في بعض الأحيان يحدد موقع الموضع العام للبيانات ، لذلك يطلق عليه أيضًا مقياس الموقع ؛ فما هو الوسط الحسابي أو المتوسط الحسابي فعليًا؟ .
الوسط الحسابي المتوسط
في اللغة العامية يقصد بالوسط الحسابي (بالإنجليزية: المتوسط) هو رقم يمثل مجموعة من الأرقام، ويستخدم في سياقات مختلفة. غالبا ما يشير المتوسط الحسابي إلى “المتوسط الحسابي”، وهو مجموع الأرقام مقسوما على عددها .
مفهوم متوسط البيانات
قبل الانخراط في حساب المتوسط الحسابي، يجب فهم مفهوم المتوسطات أولاً. ولتحقيق ذلك، يمكننا أخذ مثالًا
إذا كنت تريد شراء حذاء لصديقك ولكنك لا تعرف حجم قدمه، فماذا يمكنك فعله؟ يمكنك تخمين الحجم ومعرفة ما إذا كان تخمينك دقيقًا أم لا، ولكن فرصتك في التخمين الصحيح صغيرة جدًا بسبب وجود العديد من الأحجام المتاحة ونطاقات الأحجام الصحيحة الضيقة .
الآن دعنا نقول أنك تريد شراء أحذية لكل طفل في بلدتك ، يمكنك فقط اختيار حجم واحد ؛ سيكون هناك الآلاف من هؤلاء الأطفال بمجموعة من الأحجام ، فإذا قمت بشراء حذاء مقاس 8 مثلاً، فما هي فرصة أن تناسب هذه الأحذية بعض الأطفال؟ بالتأكيد سيكون هنا فرص عالية جدًا ؛ والسؤال هنا هو: كيف يمكنك معرفة الحجم الذي يناسب أكبر عدد من الطلاب؟
الجواب هو مفهوم المتوسطات ، حيث أنه من بين مجموعة كبيرة من البيانات ، فإن المتوسط هو الرقم الذي يمثل معظم قيم البيانات ، وبالتالي فهو مقياس للاتجاه “المركزي”؛فإذا كنت تعرف متوسط مجموعة البيانات ، ستتمكن من معرفة السلوك أو القيمة التقريبية لمعظم نقاط البيانات ؛ وهذا هو مفهوم المتوسط بكل بساطة .
صيغة الوسط الحسابي
الوسط الحسابي هو الرقم الذي يتم الحصول عليه بقسمة مجموع عناصر المجموعة على عدد العناصر فيها. ويمكن استخدام المصطلح العادي “المتوسط” أو استخدام كلمة “الوسط الحسابي” للإشارة إلى نفس المفهوم، ويمكنك استخدام أي منهما بحسب تفضيلك .
بالنسبة لمجموعة معينة من البيانات المعطاة ، تتوافق كل نقطة بيانات مع ملاحظة ، وفي أي عدد من ملاحظات “ن”، يتم العثور على متوسط القيمة من خلال البحث عن مجموع المشاهدات وقسمتها على عدد المشاهدات ، أي “ن” على سبيل المثال ، دع أ، ب، ج، … تمثل عدد “ن” من الملاحظات ، فإنه يتم الحصول على متوسط (الوسط الحسابي) هذه الملاحظات من خلال الآتي :
يمكن حساب المتوسط بالتالي: (أ + ب + ج + …) / ن ، حيث “ن” هو إجمالي عدد الملاحظات. دعونا نرى الآن مثالًا ثم نطبق هذا المفهوم .
مثال 1 : في الفصل الواحد، هناك 12 طالبا وأحجام أحذيتهم هي 7، 8، 6، 8، 9، 6، 7، 8، 6، 9، 7، 8. أي حذاء يناسب أكبر عدد من الطلاب
(أ) 7(ب) 6 (ج) 8 (د) 9
الحل : يمكن استخدام مفهوم المتوسطات (الوسط الحسابي) للعثور على حجم الحذاء الذي يناسب أكبر عدد من الطلاب، ولذلك يجب جمع الملاحظات أو البيانات وتقسيمها على عدد نقاط البيانات، مثال على ذلك: (7 + 8 + 6 + 8 + 9 + 6 + 7 + 8 + 6 + 9 + 7 + 8) / 12 = 7.41
يبدو أن هذا الرقم أقرب إلى الرقم 7 من الرقم 8، لذا يجب أن يكون الإجابة: [(أ) 7] .
يجب ملاحظة أن المتوسط هو مقياس الاتجاه المركزي، ولا يمكن ضمان أن المتوسط سيمثل دائمًا القيمة القصوى لعدد نقاط البيانات .
قواعد الوسط الحسابي
يمكننا العثور على متوسطات مجموعات البيانات المختلفة، وللتغلب على هذا الأمر، يمكن لبعض مجموعات البيانات تشكيل تسلسل A.P أو تسلسل تقدم حسابي. بالنسبة لهذه المجموعات من البيانات، يمكن استخدام القواعد التالية، ولكن دعونا نرى هذه القواعد بتوضيحها من خلال مثال .
مثال 2 : إذا كانت مجموعة البيانات: 4، 7، 10، 13، 16، فما هو المتوسط الحسابي لهذه البيانات؟
الحل : يتمثل المسلسل في A.P مع وجود فرق شائع = 3؛ والطريقة للعثور على متوسط A.P هي إذا كان A.P يحتوي على عدد من المصطلحات، فإن المتوسط = (مجموع المصطلحين الأوسط) / 2 = (مجموع الفصل الأول والأخير) / 2
على سبيل المثال ، إذا كانت السلسلة : إذا كانت الأعداد 4 و 7 و 10 و 13، فإن المتوسط الحسابي = (7 + 10) / 2 = (4 + 13) / 2
أما بالنسبة للتسلسل : تحتوي المتتابعة الحسابية (A.P) التي تتألف من الأعداد 4، 7، 10، 13، 16 على عدد فردي من المصطلحات، وبالتالي فإن المتوسط الحسابي لهذه البيانات يساوي الحد الأوسط لتلك الأعداد، ويبلغ المتوسط في هذه السلسلة 10. يمكن التحقق من ذلك بالعثور على المتوسط الفعلي الذي يساوي (4 + 7 + 10 + 13 + 16) / 5 = 50/5 = 10 .
هذه هي القواعد المتعلقة بـ A.P، وفي بعض الأحيان، يتم إعطاء المتوسط ويُطلب منك العثور على عدد بيانات النقاط، على سبيل المثال
مثال 3 : في القرية تبين أن متوسط ارتفاع الذكور هو 5.8 أقدام؛ فإذا تم وضع ذكور القرية فوق بعضهم البعض بحيث لا يوجد تداخل، فسوف يصل ارتفاعها إلى 11600 قدم، فكم عدد الذكور في القرية في هذه الحالة؟
الحل : هذا مثال يوضح وجود الوسط الحسابي ويتطلب منا إيجاد عدد نقاط البيانات؛ حيث نعلم من صيغة الوسط الحسابي أنه يساوي (مجموع البيانات) / (عدد البيانات)
أو بعبارة أخرى يمكننا كتابته على الشكل:
5.8 = 11600 / ن؛ حيث `ن` هو عدد الذكور في القرية. بتبسيط المعادلة، نحصل على 11600 / 5.8 = ن، وبالتالي ن = 2000. وبناء على ذلك، يكون عدد الذكور في القرية مساويا لـ 2000 ذكر .
خصائص الوسط الحسابي
يمكن تلخيص خصائص الوسط الحسابي في النقاط التالية :
- يتم حساب الوسط الحسابي باستخدام جميع قيم البيانات .
- يختلف المتوسط عن الوسيط أو المنوال عند أخذ عينات من نفس السكان وحساب جميع المقاييس الثلاثة لهذه العينات .
- يُستخدم المتوسط في حساب الإحصائيات الأخرى مثل التشتت .
- يختلف المتوسط لمجموعة البيانات عن المجموعة الأصلية من القيم ولا يضمن أن يكون موجودًا فيها .
- لا يمكن حساب المتوسط للبيانات في توزيع تكراري له فئة مفتوحة .
- يتأثر المتوسط بالقيم المتطرفة العالية أو المنخفضة للغاية، والتي تسمى القيم المتطرفة، وقد لا يكون المتوسط مناسبًا للاستخدام في هذه الحالات .
- الوسط الحسابي لا يناسب التوزيعات غير المتكافئة للغاية .
القيم التمثيلية للبيانات
نرى استخدام القيمة التمثيلية بانتظام في حياتنا اليومية ، فعندما تسأل عن المسافة المقطوعة في السيارة ، فإنك تطلب القيمة التمثيلية للمسافة المقطوعة إلى كمية الوقود المستهلكة ؛ هذا لا يعني أن درجة الحرارة في شيملا في القيمة التمثيلية باستمرار ولكن بشكل عام أنها تساوي متوسط القيمة .
يمثل المتوسط قيمة مركزية أو نموذجية في مجموعة من البيانات، ويتم حسابه بجمع القيم ثم تقسيمها على عددها، وهذا هو الوسط الحسابي، ويمكن حسابه بأساليب مختلفة وله خصائص مختلفة أيضًا .