يستند حساب التفاضل والتكامل الأساسي على فكرة الحدود والوظائف، وهناك بعض المفاهيم مثل الاستمرارية والأسس التي تعتبر أساس حساب التفاضل والتكامل المتقدم.
يساعد حساب التفاضل على العثور على معدل التغيير في الكمية، بينما يساعد حساب التكامل على العثور على الكمية نفسها عندما يكون معدل التغيير معروفًا.
تعريف التكامل
التكامل هو عملية معاكسة للتفاضل، حيث يستخدم في الرياضيات لايجاد العديد من الكميات المفيدة مثل المساحات والأحجام والإزاحة وما إلى ذلك.
ترتبط التكاملات عادة بالتكاملات المحددة، حيث تستخدم التكاملات غير المحددة للحصول على المشتقات العكسية.
التكامل هو أحد الموضوعات الرئيسية في الرياضيات التي تشمل التفاضل، حيث يقوم بقياس معدل التغير لأي دالة بالنسبة لمتغيراتها، بغض النظر عن التفاضل.
يمكن التعبير عن التكامل لأي دالة، إما عن طريق حساب حد المجموع، أو إذا كان للفاصل [أ، ب] مضاد مشتق F، يمكن حساب التكامل المحدد للدالة عن طريق اختلاف قيمتها عند النقاط أ وب.
مفهوم التكامل
فرضاً ما إذا قدّم لك صديقك عصاً خشبية وطلب منك تكسيرها، هل تستطيع القيام بذلك؟ بالتأكيد، ستكون سهلة عليك تحقيق ذلك.
لكن ماذا سيحدث إذا قدمت لك خمسة إلى ستة أعواد لتكسيرها؟، فلن يكون من السهل تحطيمها.
كلما زاد عدد العصي، زاد صعوبة كسرها، وعملية توحيد الأشياء تكامل لها؛ وبالمثل في الرياضيات، لدينا تكامل وظيفتين.
علم التفاضل والتكامل هو عمليتان عكسيتان، حيث يتم دراسة التفاضل لمعرفة ما إذا كانت الدالة f قابلة للاشتقاق في فترة محددة، مثل ن، وذلك بتحديد مجموعة من قيم الوظائف في تلك الفترة. أما التكامل فيقوم بعكس هذه العملية حيث يتم استنتاج الدالة f من مجموعة الوظائف المشتقة لها.
هل هناك طريقة لمعرفة وظيفة معينة إذا كانت قيم الدالة ضمن فترة زمنية محددة؟
هذه العملية هي عكس عملية الحصول على المشتق، حيث التكاملات هي المشتقات العكسية، وتستخدم التكاملات لجمع الأجزاء لإيجاد الكل. فالتكامل هو البيتزا بأكملها، والشرائح هي الوظائف القابلة للتفاضل التي يمكن دمجها.
إذا كانت f(x) هي أي دالة و f(x) تمثل مشتقتها، يتم تعيين التكامل f`(x) بالنسبة لـ dx عن طريق الآتي:
∫ و ′ (س) دس = و (س) + ج
أصول حساب التفاضل والتكامل
ربما لعب العالم الرياضي الإنجليزي إسحاق بارو (1630-77) دورًا مهمًا في تعريف نيوتن بمفاهيم التفاضل والتكامل.
كان بارو أستاذًا للرياضيات في جامعة كامبريدج من عام 1663 حتى عام 1669، وخلفه نيوتن في منصب الأستاذية، وكان بارو في الأساس مقياسًا جغرافيًا يتبع تقاليد الإغريق القدماء.
ومع ذلك، اهتم في حوالي عام 1664 بمشكلة العثور على المماسات للمنحنيات، وقام بتطوير نهج يتضمن تحريك النقاط والخطوط.
في محاضراته الجامعية في كامبريدج، قدم تعميمه الخاص لإجراءات الظل والمساحة بناءً على قراءته المكثفة لأعمال علماء الرياضيات المعاصرين البارزين مثل ديكارت واليس وفيرمات، وخاصةً عالم الرياضيات الاسكتلندي جيمس غريغوري الذي يُعتبر رائدًا هامًا لنيوتن.
شملت المحاضرات أفكارًا يمكن الاستفادة منها، ولكن ربما لم تتم دراسة هذه الأفكار خارج كامبريدج.
كان من المفترض دائمًا أن يكون نيوتن تلميذًا لبارو، وهو الفلسفي الذي كان يعمل في كامبريدج في وقت محاضرات بارو حول مشاكل المنطقةوالظل، ولكن كانت هذه مسألة تخمين لا يمكن التأكد منها.
بالإضافة إلى ذلك، فإن أول تقدم كبير لنيوتن في تأسيس حساب التفاضل والتكامل يعود إلى 1664-65، وهو الوقت الذي درس فيه بارو المشكلات الأساسية التي تحتوي عليها عملية حساب التفاضل والتكامل.
على الرغم من أن فكرةبارو حول توليد المنحنيات بحركة النقاط كانت مهمة لتأسيس نيوتن لحساب التفاضل، إلا أن نيوتن نفى بشكل عام أي تأثير مباشر من بارو على هذا الحساب.
أعلن نيوتن فيما بعد أن حادثة سقوط التفاحة، التي يقال إنها سببت فكرة الجاذبية، وقعت في منزله في لينكولنشاير.
درس نيوتن كتاب ديكارت بشكل خاص، والذي أثر بشدة على عمله في الهندسة التحليلية والجبر، وعلى حساب التفاضل والتكامل .
في شتاء عامي 1664 و1665، بعد قراءة الدكتور واليس لكتاب Arithmetica Infinitorum ومحاولة استنتاج تقدمه في تربيع الدائرة، تم اكتشاف سلسلة لا نهائية أخرى لتربيع الدائرة، ثم تم اكتشاف سلسلة أخرى لتربيع القطع الزائد. ويتمثل تربيع الدائرة في إيجاد مساحة الدائرة أو بالمعنى الفعلي، حساب التكامل .
أنواع التكامل
هناك نوعان من أشكال التكاملات، وهما:
- التكاملات غير المحدودة
تعدُّ وظيفة التكاملات المفتوحة جزءًا لا يتجزأ من وظيفة التكاملات في حالة عدم وجود حدود معينة، أي أن الفترة غير محدودة في هذه العملية، ويتميز هذا النوع من التكاملات بوجود ثابت في العملية، بالمقارنة مع التكاملات المحدودة.
- التكاملات المحدودة
عند تكامل دالة ذات حدود تكامل، يوجد قيمتان كحدود لفترة التكامل، ويكون الأول هو الحد الأدنى والثاني هو الحد الأعلى، ولا يتضمن أي ثابت للتكامل، وهو مختلف عن التكامل غير المحدود.
تطبيقات التفاضل والتكامل
حساب التفاضل والتكامل هو نموذج رياضي يستخدم لتحليل النظم والعمل على إيجاد الحل الأمثل للتنبؤ بالمستقبل. في الحياة الواقعية، تلعب مفاهيم حساب التفاضل والتكامل دورًا رئيسيًا في العديد من جوانب الحياة مثل:
- حل منطقة الأشكال المعقدة.
- سلامة المركبات.
- تقييم بيانات المسح لتخطيط الأعمال.
- سجلات الدفع ببطاقات الائتمان.
- معرفة كيفية تأثير الظروف المتغيرة للنظام.
حساب التفاضل والتكامل هي لغة المستخدمين في مختلف المجالات مثل الأطباء والاقتصاديين وعلماء الأحياء والمهندسين المعماريين والخبراء الطبيين والإحصائيين، وغالبًا ما يستخدمون هذه اللغة في أعمالهم.
يستخدم المهندسون المعماريون والمهندسون مفاهيم حساب التفاضل والتكامل، على سبيل المثال، لتحديد حجم وشكل المنحنيات في تصميم الجسور والطرق والأنفاق وما إلى ذلك.
تم تصميم بعض المفاهيم بشكل جميل باستخدام حساب التفاضل والتكامل، مثل معدلات الولادة والوفاة والانحلال الإشعاعي ومعدلات التفاعل والحرارة والضوء والحركة والكهرباء وغيرها.
ثابت التكامل
بالنسبة لمشتق معين، قد يكون هناك العديد من التكاملات المختلفة باستخدام مجموعة من الأرقام الحقيقية. وتمثل هذه المجموعة الأعداد الحقيقية بواسطة ثابت التكامل.
نظرًا لأن مشتق الثابت يساوي صفر، يمكن إضافة أي ثابت إلى التكامل غير المحدد (أي المشتق العكسي)، وسيظل متوافقًا مع نفس التكامل.
يمكن استخدام المشتق العكسي كوسيلة أخرى لتوضيح هذا المفهوم، حيث يمثل المشتق العكسي العكس الغير فريد للمشتق، ولذلك غالبًا ما يتم كتابة التكاملات غير المحدودة في النموذج
- intf (x) dx = F (x) + C
حيث C ثابت يعرف بثابت التكامل.
التفاضل والتكامل
يتعامل حساب التفاضل والتكامل، وهو فرع من فروع الرياضيات، مع دراسة معدل التغيير، وتم تطويره بواسطة نيوتن ولايبنيز.
يستخدم حساب التفاضل والتكامل بشكل عام في النماذج الرياضية للحصول على الحلول المثلى، ويساعدنا على فهم التغييرات بين القيم المرتبطة بالوظيفة.
تركّزت الرياضيات في التفاضل والتكامل على بعض الموضوعات المهمة مثل التفاضل والتكامل والحدود والوظائف وما إلى ذلك.
يصنف مجال التفاضل والتكامل في الرياضيات على نطاق واسع إلى قسمين مختلفين، مثل:
- حساب التفاضل .
- حساب التكامل .
يقوم كل من حساب التفاضل والتكامل التفاضلي بتحليل تأثير التغير الطفيف في المتغير المستقل على الدالة؛ مما يؤدي إلى النتيجة صفر.
يعتبر حساب التفاضل والتكامل التفاضلي الأساس في فرع الرياضيات المعروف باسم “التحليل”، ولعبت رياضيات التفاضل والتكامل دورًا حيويًا في الفيزياء الحديثة وكذلك في العلوم والتكنولوجيا.