تعرف الأعداد الحقيقية بأنها تلك الأعداد التي يمكن كتابتها على شكل كسر أو جذر، بحيث يجب أن يكون العدد الصحيح في الكسر وكذلك المقام، ولكن يجب أن يكون المقام غير صفر. وعادة ما تكون الأعداد المستخدمة في الحياة اليومية أعدادا نسبية، والأعداد غير النسبية هي تلك الأعداد التي لا تحتوي على أعداد صحيحة في الكسر أو المقام، مثل الأعداد التي تحتوي على جذور تربيعية، مثل جذر التربيعي لأي عدد غير كامل مثل الرقم 3، على سبيل المثال.
الاعداد النسبية والغير نسبية
تعرف الأعداد النسبية أو الأعداد الكسرية كما يطلق عليها، بانها عدد نسبي موجب الإشارة لعددين في البسط والمقام متشابهان، وفي حالة عدم تساوي الإشارات في البسط والمقام، فيطلق على الرقم النسبي في هذه الحالة رقم نسبي سلبي، حيث إن الأعداد النسبية فهي تشمل جميع الاعداد الحقيقية المتواجدة على خط الأعداد وحيث إن الأعداد النسبية تضم بين طياتها جميع الأعداد الحقيقية والأعداد الحقيقية تضم كافة الأعداد الصحيحة والتي تضم بدورها جميع الأعداد الطبيعي، كما أن هناك كثيراً ما يعرفوا الأعداد النسبية بأنها تلك الأرقام التي تتبعها علامات عشرية .
عند المقارنة بين الأعداد النسبية والأعداد غير النسبية، نلاحظ أن الأعداد غير النسبية هي الأعداد التي لا يمكن تمثيلها بنسبة محددة، مثل الجذر التربيعي للرقم 2 ورمز الباي للرقم 2، وبالتالي، الأرقام التي لا تحتوي على جذور ولا رموز باي، لا يمكن اعتبارها أعدادا نسبية.
خصائص الأعداد النسبية
- عند ضرب عددين نسبيين، يكون الناتج حاصل ضرب البسط فيما بينه وحاصل ضرب المقام فيما بينهما.
- في حالة قسمة البسط والمقام للعدد النسبي على عدد صحيح غير الصفر، فإن الناتج لا يؤثر على العدد النسبي ولا يغير قيمته بأي شكل من الأشكال. ومن المثال على ذلك، إذا قسمنا العدد النسبي 8/16 على الرقم 4، فإن النتيجة ستكون 2/4 وهو عدد نسبي أيضًا.
- عند جمع أو طرح الأعداد الغير نسبية، لا يمكن أن يكون الناتج عددًا نسبيًا، إلا إذا كان الرقمان متعاكسين في الإشارة ويُلغى كل منهما.
- إذا كان العامل المشترك بين البسط والمقام هو الرقم واحد، فيجب تسميته الصورة القياسية للعدد النسبي.
- عند ضرب البسط والمقام للعدد النسبي غير الصفر، فإن ذلك لا يؤثر على قيمته، ولا يؤثر على العدد النسبي أبدًا. فعلى سبيل المثال، ضرب العدد النسبي 2/4 بالعدد النسبي 4 يساوي العدد النسبي 8/16.
- عند ضرب رقمين نسبيين، يتم الحصول على حاصل ضرب البسط فيما بينهما وحاصل ضرب المقام فيما بينهما.
- في بعض الأحيان، يؤدي ضرب الجذور الغير نسبية في بعضها إلى الحصول على ناتج نسبي في النهاية. على سبيل المثال، عند ضرب الجذر التربيعي للعدد 2 بالجذر التربيعي للعدد 8، يتم الحصول على الناتج 2، بسبب أن ضرب الرقمين يساوي 16، والرقم 2 هونسبي ولا يوجد في ذلك أي مشكلة.
- عند جمع عددين نسبيين لهما نفس المقام، يتم جمع البسطان ويبقى المقام كما هو دون تغيير.
- في جميع الحالات، يتساوى مربع الجذر التربيعي مع عدد نسبي، ويتمثل هذا العدد داخل الجذر.
الأعداد الغير حقيقية هي تلك الأعداد التي يصعب تواجدها في الواقع، وتشار إليها في كثير من الأحيان بالأعداد التخيلية، ولكن الأعداد الغير حقيقية ليست وهمية كما يعتقد البعض، بل لها وجود ولكن مشكلتها تكمن في صعوبة احصائها، وتشمل هذه الأعداد
اللانهاية: يشير مصطلح “الأعداد اللانهائية” إلى الأرقام التي يصعب الوصول إليها، والتي تسبقها عدد لا نهائي من الأرقام، وهناك عدد كبير جدًا من الأرقام بين كل رقم وآخر، والتي يمكن التعرف عليها من خلال خط الأعداد، حيث يوجد مجموعة من النقاط بين كل رقم وآخر.
الأعداد المتسامية: وهي مجموعة من الأرقام مثل الرقم باي والنايبيري، وهي لغات الرياضيات، كما إنهم أعداد غير نسبية، وقليل ما تستخدم في علم الرياضة ولكن لها وجود ولها سلسة رياضية خاصة بها، كل تلك الأرقام لا تعتبر أرقام حقيقية، حيث يصعب وجود جذر لها، ويصعب استخدامها في العمليات الحسابية، مما يجعل البعض يظنها أعداد خيالية،
الأعداد الحقيقية
تعرف الاعداد الحقيقة، بأنها مجموعة الأعداد التي يمكن العثور عليها من خلال خط الأعداد، وتشمل بين طياتها الأعداد النسبية والأعداد الغير نسبية، والأعداد السالبة والأعداد الموجبة أيضاً، وحتى الرقم صفر يعتبر ضمن مجموعة الحقيقة أيضاً، ولا سيما أن الأعداد الحقيقة هي كل الأعداد المستخدمة في الحياة اليومية العادية، أما عن الأعداد الغير حقيقية فهي تلك الأرقام مثل الما لا نهاية، والجذور التربيعية للعدد -1، ويمكن أن نقول أن الأعداد الحقيقية هي كل الأعداد التي يكون مربعها عدد حقيقي وموجب، وهناك مجموعة من الخصائص التي تختص بها الأعداد الحقيقية والتي تتمثل في:
- الهوية هي خاصية تظهر عندما يتم جمع الرقم صفر مع أي رقم حقيقي، حيث يحتفظ الرقم الحقيقي بقيمته ويبقى الناتج العددي كما هو.
- إذا تم ضرب العدد الحقيقي في معكوسه ككسر بسيط، فسيكون الناتج دائمًا واحدًا.
- التبديل: تشير خاصية التبديل إلى أن نتيجة جمع أو ضرب رقمين حقيقيين يجب أن تكون نفس الناتج، بمعنى آخر، جمع 8+3 يعطي نفس النتيجة الناتجة عن جمع 3+8، ولا يوجد أي مشكلة في تبديل الأرقام لأن النتيجة واحدة.
- في حالة جمع العدد الحقيقي مع معكوسه، يكون الناتج دائمًا صفر في الأعداد الحقيقية، أي إذاجمعت الرقم الموجب مع مقابله السالب، فإن الناتج سيكون دائمًا صفر.
- في حالة جمع أو ضرب أي عددين حقيقيين، يكون الناتج عددًا حقيقيًا.
- تحتوي الأعداد الحقيقية على خاصية التجميع، حيث لا يتغير الناتج عند ضرب ثلاثة أرقام حقيقية عند القيام بعملية التجميع للأرقام بطريقة مختلفة.
هل الصفر عدد نسبي
غالبا ما يشكل الناس تساؤلات حول العدد صفر، معتقدين أنه لا قيمة له وغير مؤثر، ولكن في الواقع، الصفر هو جزء من مجموعة الأعداد الحقيقية التي توجد على خط الأعداد، وله قيمة هامة عند ضربه بأرقام أخرى. إنه واحد من أهم الأرقام في الرياضيات، حيث يؤثر على النتائج ويزيد الأرقام بالآلاف والملايين. في الحقيقة، الصفر يعتبر عددا نسبيا، بسبب وجود مقام له، وهذا المقام هو العدد واحد.