تعريف الاستقراء الرياضي وخطواتة

الاستدلال الرياضي هو طريقة رياضية لإثبات صحة جملة معينة لجميع الأعداد الطبيعية (الأعداد الصحيحة غير السالبة). يتم ذلك عن طريق إثبات صحة العبارة الأولى في سلسلة غير منتهية من العبارات، ثم إثبات أنه إذا كانت أي جملة واحدة في هذه السلسلة صحيحة، فإن الجملة التالية ستكون صحيحة أيضا.

مفهوم الاستقراء الرياضي

طريقة مختلفة لإثبات الافتراضات الرياضية، استنادا إلى مبدأ الاستقراء الرياضي.

مبدأ الاستقراء الرياضي

يُطلق على مجموعة الأعداد الصحيحة اسم الوراثة، وإذا كان أي عدد صحيح x ينتمي إلى هذه المجموعة، فإن العدد الصحيح الذي يليه (أي x + 1) ينتمي أيضًا إلى هذه المجموعة.

مبدأ الاستقراء الرياضي هو: إذا كان العدد الصحيح 0 ينتمي إلى الفئة F وكانت F وراثية، فإن كل عدد صحيح غير سالب ينتمي إلى F، وفي حالة أن العدد الصحيح 1 ينتمي إلى الفئة F و F هو وراثي، فإن كل عدد صحيح موجب ينتمي إلى F. ويمكن ذكر المبدأ في شكل واحد أو في شكل آخر، حيث يمكن إثبات أي شكل من الأشكال كنتيجة للآخر، ولذلك ليس من الضروري التمييز بينهما.

غالبًا ما يتم ذكر المبدأ في شكل مكثف: تسمى خاصية الأعداد الصحيحة بالوراثة، حيث إذا كان لأي عدد صحيح x خاصية معينة، فإن الأعداد التي تأتي بعد x في التسلسل لها نفس الخاصية. وإذا كان العدد الصحيح 1 لديه خاصية معينة وكانت هذه الخاصية وراثية، فإن جميع الأعداد الصحيحة الموجبة لها نفس الخاصية.

البرهان باستعمال مبدأ الاستقراء الرياضي

مثال على تطبيق الاستقراء الرياضي في أبسط الحالات هو الدليل على أن مجموع أول n من الأعداد الصحيحة الموجبة الفردية هو n²  أي أن

(1.) 1 + 3 + 5 +⋯+ (2n − 1) = n²

لكل عدد صحيح موجب n، نفترض أن F تمثل فئة الأعداد الصحيحة التي تحمل المعادلة (1)، فإذا فإن العدد الصحيح 1 ينتمي إلى F، لأن 1 = 1^2، وإذا كان أي عدد صحيح x ينتمي إلى F، فإن (x+1)^2=x^2+2x+1 ينتمي أيضا إلى F

(2.) 1 + 3 + 5 +⋯+ (2x − 1) = x²

العدد الصحيح الفردي التالي بعد 2x – 1 هو 2x + 1، وعند إضافة العدد 2x + 1 إلى كلا طرفي المعادلة (2)، تكون النتيجة كالتالي

(3.) 1 + 3 + 5 +⋯+ (2x + 1) = x² + 2x + 1 = (x + 1)²

تسمى المعادلة (2.) فرضية الاستقراء، وتنص على أن المعادلة (1.) ستكون صحيحة عندما تكون قيمة n تساوي x، بينما تنص المعادلة (3.) على أن المعادلة (1.) ستكون صحيحة عندما تكون قيمة n تساوي x + 1. وبما أن المعادلة (3.) هي نتيجة للمعادلة (2.)، فإنه تم إثبات أنه عندما ينتمي x إلى مجموعة F، فإن الخليفة الخاص به ينتمي أيضا إلى مجموعة F. وبموجب مبدأ الاستقراء الرياضي، فإن جميع الأعداد الصحيحة الإيجابية تنتمي إلى مجموعة F.

لتثبيت أن علاقة ثنائية محددة F تنطبق على جميع الأعداد الصحيحة الموجبة، يكفي أن نثبت أولا أن العلاقة F تنطبق بين العدد 1 و 1؛ ثانيا، عندما تنطبق F بين x و y، فإنها تنطبق أيضا بين x و y + 1؛ وثالثا، عندما تنطبق F بين x وعدد صحيح موجب محدد z (والذي قد يكون ثابتا أو يعتمد على x)، فإنها تنطبق بين x + 1 و 1.  

خطوات الاستنتاج الرياضي

• الخطوة الأولى: (الأساس) أظهر أن P (n₀) صحيحة.
• الخطوة الثانية: فرضية استقرائية: لنفترض أن k عددًا صحيحًا بحيث يكون k ≥ n₀ وأن P(k) صحيح.
• الخطوة الثالثة: (خطوة استقرائية). يتم توضيح صحة P (k + 1).

في استقراء الرياضيات، يمكننا إثبات بيان المعادلة عند وجود عدد غير محدود من الأعداد الطبيعية، ولكن ليس من الضروري إثبات ذلكلكل رقم منفصل.

نحن نستخدم الخطوتين الأساسية والاستقرائية لإثبات البيان بالكامل في جميع الحالات. من الناحية العملية، لا يمكن إثبات بيان أو صيغة رياضية أو معادلة لجميع الأعداد الطبيعية، ولكن يمكننا تعميم العبارة عن طريق إثباتها بطريقة الاستقراء.

إذا كانت العبارة صحيحة بالنسبة لـ P(k)، فسيكون ذلك صحيحًا بالنسبة لـ P(k+1)، وبالتالي، إذا كانت العبارة صحيحة بالنسبة لـ P(1)، يمكن إثباتها بالمثل لـ P(2) ، و P(3) ، و P(4) ، وهكذا حتى n أعداد طبيعية.

الإثبات عن طريق الاستقراء الرياضي

في الإثبات عن طريق الاستقراء الرياضي، يكون المبدأ الأول هو إذا تم إثبات الخطوة الأساسية والخطوة الاستقرائية، فإن P (n) صحيحة لجميع الأعداد الطبيعية، في الخطوة الاستقرائية، نحتاج إلى افتراض أن P (k) صحيحة ويسمى هذا الافتراض باسم فرضية الاستقراء، باستخدام هذا الافتراض، نثبت صحة، P (k + 1) أثناء إثبات الحالة الأساسية، يمكننا أخذ P (0) أو P (1).

يستخدم التفكير الاستنتاجي لإثبات الأفكار، وليس الاستدلال الاستقرائي، ومثال على ذلك هو أن كل الأشجار لها أوراق، والنخيل شجرة، لذلك يجب أن يحتوي النخيل على أوراق.

عندما يكون الإثبات عن طريق الاستقراء الرياضي لمجموعة من مجموعة الاستقراء المعدود صحيحًا لجميع الأرقام، يُطلق عليه اسم الحث الضعيف، يستخدم هذا عادة للأعداد الطبيعية إنه أبسط شكل من أشكال الاستقراء الرياضي حيث يتم استخدام الخطوة الأساسية والخطوة الاستقرائية لإثبات المجموعة.

افتراض الحث العكسي

يتم إجراء إثبات خطوة سلبية من الخطوة الاستقرائية، إذا افترضنا أن P (k + 1) صحيحة مثل فرضية الاستقراء فإننا نثبت أن P (k) صحيحة، هذه الخطوات عكسية إلى الاستقراء الضعيف وهذا ينطبق أيضًا على المجموعات المعدودة، من هذا يمكن إثبات أن المجموعة صحيحة لجميع الأرقام ≤ n وبالتالي ينتهي البرهان لـ 0 أو 1 وهي الخطوة الأساسية للاستقراء الضعيف.

الحث القوي يشبه الحث الضعيف. لكن بالنسبة للحث القوي في الخطوة الاستقرائية، نفترض أن كل P (1) ، P (2) ، P (3) … … P (k)  صحيحة لإثبات أن P (k + 1) صحيحة، عندما يفشل الحث الضعيف في إثبات بيان لجميع الحالات، فإننا نستخدم الاستقراء القوي، إذا كانت العبارة صحيحة للاستقراء الضعيف، فمن الواضح أنها صحيحة للحث الضعيف أيضًا.

التبرير الاستقرائي

التبرير الاستقرائي والتخمين هو عملية الاستنتاج بناء على ملاحظات، ولا يمكن اعتباره طريقة إثبات صالحة، فقط لأن الشخص يلاحظ نمطا في بعض الحالات لا يعني أن هذا النمط صحيح في جميع الحالات.

يستخدم التبرير الاستقرائي في الهندسة بطريقة مماثلة، قد يلاحظ المرء أنه في عدد قليل من المستطيلات، تكون الأقطار متطابقة، يمكن للمراقب استقراء السبب في أن الأقطار متطابقة في جميع المستطيلات، على الرغم من أننا نعلم أن هذه الحقيقة صحيحة بشكل عام، إلا أن المراقب لم يثبتها من خلال ملاحظاته المحدودة.

ومع ذلك، يمكن للفرضية أن تثبت صحتها باستخدام وسائل أخرى والتوصل إلى نظرية مؤكدة، وهذا ما يُعرف بالبيان المثبت، وفي هذه الحالة وفي العديد من الحالات الأخرى، قد يؤدي التبرير الاستقرائي إلى الشك أو إلى اعتبار الفرضية صحيحة.