ما هو المضاعف المشترك الاكبر

القاسم المشترك الأكبر

القاسم المشترك الأكبر هو العدد الأكبر الذي يمكن لكل من الأعداد المذكورة أن تقسم عليه بدون باقي، ويُختصر في اللغة العربية باسم (ق.م.أ)

مثال: أوجد القاسم المشترك الأكبر للعددين (12،16)

الحل:نحلل كلا الأعداد إلى عواملهما الأولية ونكتبهما على شكل جداء، ويكون القاسم المشترك الأكبر هو العوامل المشتركة فقط وبأقل عدد من المرات، فالقاسم المشترك الأكبر للأعداد (12، 16) هو 4.

ما هو المضاعف المشترك الأصغر

في نظرية الحساب الحسابي المضاعف المشترك الأصغر لعددين صحيحين (أ ، ب)، هو أصغر عدد صحيح إيجابي يمكن قسمته على هاتين الأعداد بدون وجود باقي للقسمة ، ويطلق عليه في اللغة الإنجليزية least common multiple ويختصر باللغة العربية (م.م.أ) وباللغة الإنجليزية (lcm) ، وهناك فرق بين القاسم المشترك الأكبر والمضاعف المشترك الأصغر

وهنا نجد أن مضاعف أي رقم هو حاصل ضرب الرقم وعدد صحيح ، مثلاً الرقم 10 هو مضاعف للعدد 5 لأن 2*5=10 ، ولأن العدد 10 يقبل القسمة على هذين الرقمين بدون وجود باقي للقسمة ، و هو أصغر عدد صحيح موجب يقبل القسمة على 5 و 2 ، وفقاً لمبدأ المضاعف نستنتج أن الرقم 10 هو أيضاً مضاعف مشترك أصغر .

المضاعف المشترك الأصغر مع الكسور

عند جمع أو طرح أو مقارنة الكسور البسيطة، يستخدم المضاعف المشترك الأصغر للمقام (الذي يُسمى في الغالب أصغر مضاعف مشترك للمقام)، لأنه يمكن استخدامه لتمثيل كل كسر بواسطة هذا المقام .

مثال:

يتم استخدام المقام 42 لأنه هو المضاعف المشترك الأصغر بين العددين 6 و 21.

طريقة حساب المضاعف المشترك الأصغر

الطريقة الأولى

عندما يوجد عددين ونريد إيجاد المضاعف المشترك الأصغر لهما، نبدأ بالرقم الأول ونكتب مضاعفاته حتى العدد مئة مثلاً، ثم نأخذ الرقم الثاني ونكتب أيضًا مضاعفاته، ثم نأخذ المضاعفات المشتركة التي تم إنتاجها لهذين الرقمين، ونختار أصغر واحد منها باستثناء الصفر .

مثال:  أوجد المضاعف المشترك الأصغر للأعداد (6،7،21)

•  نوجد مضاعفات العدد 6 :  6،12، 18، 24، 30، 36،42،48، 54،60 .
• نوجد مضاعفات العدد 7 : 7، 14، 21، 28، 35، 42، 56،63.
• نوجد مضاعفات العدد 21: 21, 42, 63.
• عند استخدام المضاعفات المشتركة، نلاحظ أن العدد المشترك بين مضاعفات الأعداد التي ذكرناها هو العدد 42، وهو المضاعف المشترك الأصغر لهذه الأعداد.

الطريقة الثانية

نفكك العددين إلى عواملهما الأولية ونكتبهما بشكل قوى جداء، ثم نحسب العوامل المشتركة والغير مشتركة بأكبر أس ونتعرف على المضاعف المشترك الأصغر. بعد ذلك نقوم بضرب العوامل الناتجة معًا .

مثال: للعثور على أصغر مضاعف مشترك للأعداد (12، 30) دون استخدام الأس

• أولا، يتم تحديد العوامل الأولية لكل عدد معطى. فمثلا، العوامل الأولية للعدد 12 هي 2 × 2 × 3، والعوامل الأولية للعدد 30 هي 2 × 3 × 5.
• ثانيا، نقوم بإعداد قائمة تحتوي على جميع الأعداد الأولية التي تم العثور عليها، وذلك بعدد المرات التي تحدث فيها أو بتكرارها كقوة 2 × 2 × 3 × 5 = 60
• ثالثا، بعد ضرب الأعداد التي نتجت معنا بقائمة الأعداد الأولية، نحصل على الرقم 60 وهو أصغر مضاعف مشترك للأعداد (12، 30) .

مثال: أوجد المضاعف المشترك للأرقام(12،18،30) باستخدام الأس:

•  يتم العثور على جميع العوامل الأولية لكل رقم معطى وتدوينها في شكل أسي

العوامل الأولية للرقم   12 = 2 × 2 × 3 = 2² × 3¹

العوامل الأولية للرقم   18 = 2 × 3 × 3 = 2¹ × 3² 

العوامل الأولية للرقم   30 = 2 × 3 × 5 = 2¹ × 3¹ × 5¹

•  يتم كتابة جميع الأعداد الأولية التي تم العثور عليها باستخدام الأس الأكبر الموجود بين الأرقام.
• لإيجاد أصغر مشترك مشترك بين الأسس والعوامل الأولية يتم ضرب العوامل الأولية معًا.

إيجاد المضاعف المشترك الأصغر باستخدام طريقة السلم

• تُطلق على هذه الطريقة اسم طريقة السلم أو طريقة الكيك، وتُستخدم القسمة لإيجاد المضاعف المشترك الأصغر لمجموعة من الأرقام. يستخدم الناس طريقة السلم لأنها أسرع وأسهل طريقة للعثور على المضاعف المشترك الأصغر، حيث تعتمد على تقسيم بسيط.
• وهذه الطريقة لها مسميات عدة طريقة الكيك ، طريقة السلم ، طريقة الصندوق أو تسمى طريقة مربع العامل وطريقة الشبكة  وكلها تهدف إلى العثور على المضاعف المشترك الأصغر، و قد تبدو الصناديق والشبكات مختلفة بعض الشيء ، لكنها تستخدم جميعًها القسمة على الأعداد الأولية لإيجاد  المضاعف المشترك الأصغر.
• مثال أوجد المضاعف المشترك الأصغر (10، 12، 15، 75):                                                        نضع الأرقام في صف أو طبقة، مثل 10 و 12 و 15 و 75، ثم نقسم أرقام الطبقة على رقم أولي قابل للقسمة بالتساوي إلى رقمين أو أكثر في الطبقة، وننزل النتيجة إلى الطبقة التالية .

في حالة عدم قابلية أي رقم في الطبقة للقسمة بالتساوي، يجب حذف هذا الرقم.

استمر في قسمة طبقات الأعداد على الأعداد الأولية، وعندما لا يكون هناك المزيد من الأعداد الأولية التي يمكن قسمتها بالتساوي على رقمين أو أكثر، فإن العملية قد انتهت.

يتم تحديد المضاعف المشترك الأصغر بضرب العمود الأيسر المظلل باللون الأصفر مع الصف السفلي المظلل أيضًا، ويتم تجاهل الرقم الواحد لأنه لا يؤثر على النتيجة بأي شكل من الأشكال، حيث يكون حاصل ضرب أي عدد بالواحد هو نفسه .
أصغر عامل مشترك = 2 × 3 × 5 × 2 × 5
المضاعف المشترك الأصغر = 300
لذا، المضاعف المشترك الأصغر (10، 12، 15، 75) = 300

استخدام العامل المشترك الأكبر لإيجاد المضاعف المشترك الأصغر

ممكن أن نعرف العامل بأنه الرقم الذي ينتج معنا عندما نتمكن من قسمة رقم على آخر بالتساوي، وهذا العامل يعرف أيضاً بالمقسوم عليه ، وهنا نلاحظ أن أكبر عامل مشترك لرقمين أو أكثر يعتبر أكبر رقم مشترك بين جميع هذه العوامل ، وللعامل المشترك الأكبر عدة أسماء وتحمل نفس المعنى فيمكن أن نسميه بالعامل المشترك الأعلى ، أو القاسم المشترك الأكبر أو القاسم المشترك الأعلى ، أو أكبر مقياس مشترك ونستنتج بأن المضاعف المشترك الأصغر لعددين (أ ،ب)= (أ *ب)/العامل المشترك الأكبر لهذين العددين.

مثال أوجد المضاعف المشترك الأصغر للعددين(6،10) باستخدام العامل:

•  عوامل العدد 6=1،2،3،6
• عوامل العدد 10=1،2،5،10
• العامل المشترك بين هذين العددين هو 2
• يتمثل المضاعف المشترك الأصغر للعددين (10،6) في الرقم 2، وتم الحصول عليه بضرب العددين وقسم الناتج على أكبر عامل مشترك بينهما، وهو 2، وبذلك يكون المضاعف المشترك الأصغر هو 30.

إيجاد المضاعف المشترك الأصغر للأرقام العشرية

نبدأ بالبحث عن أصغر مضاعف مشترك للأعداد العشرية بالبحث عن العدد الذي يحتوي على أكبر عدد من الأرقام العشرية. ثم نحسب عدد الأرقام العشرية في العدد الذي تم اختياره. بعد ذلك، نقوم بنقل الأرقام العشرية نحو اليمين حتى تصبح أرقاما صحيحة. يجب أن أشير إلى أن عدد الأرقام العشرية التي تم إنشاؤها سابقا سيحدد عدد المنازل التي سنقوم بنقلها. ثم نبحث عن أصغر مضاعف مشترك لهذه الأعداد، وبعد ذلك نقوم بنقل الأرقام العشرية بنفس العدد السابق ولكن هذه المرة ننقلها نحو اليسار. وهكذا نحصل على المضاعف المشترك لهذه الأعداد العشرية .

أمثلة شاملة على المضاعف المشترك الأصغر

المثال الأول: يتم إيجاد المضاعف المشترك الأصغر للأعداد 3 و9 و21

الحل

• اكتب قائمة العوامل الأولية لكل منها
  3: 3
  9: 3 × 3
  21: 3 × 7
• يتم ضرب كل عامل في أكبر عدد يحدث في أي من الأرقام، على سبيل المثال، 9 تحتوي على 3 مرات 2، و 21 تحتوي على 7 واحدات .
• إذا قمنا بضرب الرقم 3 مرتين، وضرب الرقم 7 مرة واحدة، فسيكون الناتج يساوي 63، وهو أصغر عدد يمكن تقسيمه بالتساوي على 3 و 9 و 21.
• نتحقق من صحة عملنا بالتأكد من أن 63 يمكن تقسيمه بالتساوي على 3 و9 و21.

المثال الثاني: باستخدام طريقة السلم، تم إيجاد أصغر مضاعف مشترك للأعداد 25، 18، 10.

الحل:

نكتب الأرقام في صف جدول القسمة مثل الصورة التالية:

يبدأ الجدول بأدنى عدد من الأعداد الأولية، ثم يتم قسم صف الأعداد على عدد أولي قابل للقسمة بالتساوي على واحد على الأقل من الأعداد الخاصة، ويتم إدراج النتيجة في صف الجدول التالي

في حالة وجود أي رقم في الصف غير قابل للقسمة بالتساوي، يجب حذف هذا الرقم

يتم تقسيم الأعداد الأولية التي يمكن تقسيمها بالتساوي إلى رقم واحد على الأقل عندما يتم الانتهاء من صف النتائج الأخير ويظهر فيه الرقم واحد

يتم حساب المضاعف المشترك الأصغر عن طريق ضرب الأعداد الأولية في العامود الأول، ويتساوى المضاعف المشترك الأصغر بـ 2 × 3 × 3 × 5 × 5.
المضاعف المشترك الأصغر للأرقام (10، 18، 25) يساوي 450