ما هي القطعة المتوسطة
القطعة المتوسطة هي قطعة مستقيمة تمتد بين نقطتي المنتصف في ضلعي المثلث. ونظرا لأن المثلث يحتوي على ثلاثة أضلاع، فإنه يحتوي على ثلاث قطع متوسطة محتملة. يمكن بناء ورسم الجزء الوسط لمثلث معين باستخدام المسطرة أو الفرجار والمسطرة. يستخدم هذا المفهوم في الرياضيات لإيجاد المنتصف العمودي للقطعة الخطية وتحديد نقاط المنتصف للأضلاع .
خصائص القطعة المتوسطة
- بما أن للمثلثات ثلاثة أضلاع، يمكنها أن تحتوي على ثلاثة أجزاء متوسطة، والجزء المتوسط هو نصف طول القاعدة.
- دائمًا ما تكون القطعة المتوسطة موازية للضلع الثالث من قاعدة المثلث ، و يشكل مثلثًا أصغر يشبه المثلث الأصلي، ويكون المثلث الأصغر المتشابه هو ربع مساحة المثلث الأصلي ، ومحيط المثلث الأصغر المتماثل له هو أيضاً نصف محيط المثلث الأصلي، نظرًا لأن المثلث الأصغر الذي تم إنشاؤه بواسطة الجزء الأوسط مشابه للمثلث الأصل ، فإن الزوايا المقابلة للمثلثين متطابقة و الزوايا الداخلية المقابلة لكل مثلث لها نفس القياسات.
- تكون القطعة المتوسطة من المثلث موازية للضلع الثالث وتكون نصف طوله
قانون القطعة المتوسطة
تفيد نظرية القطعة المتوسطة للمثلث بأن القطعة المتوسطة تساوي نصف طول الضلع الثالث وتسمى القاعدة، وأنها موازية للضلع الثالث.
لا يجب عليك إثبات نظرية القطعة المتوسطة، ولكن يمكنك إثباتها عن طريق استخدام خط إضافي ومثلثات متطابقة وخصائص المتوازي الأضلاع.
ونجد أن صيغة منتصف القطعة هي Midsegment = half of Triangles Base.
لرسم جزء من خط واحد، يمكنك إنشاء مثلث مشابه بمساحة أصغر بأربع مرات من المساحة الأصلية ومحيط أصغر بمرتين من الأصل، مع ضمان أن يكون القاعدة موازية للمقطع الأصلي.
كيفية إيجاد القطعة المتوسطة في المثلث
قم برسم أي مثلث باستخدام الفرجار وقلم الرصاص والمسطرة، وأطلق عليه اسم ABC، ثم ابحث عن نقاط المنتصف لأي وجهين من أضلاع المثلث، ويمكنك القيام بذلك في أربع خطوات
- يجب ضبط الفرجار بحيث يرسم قوسًا يزيد عن نصف طول أي ضلع في المثلث.
- يتم وضع إبرة الفرجار على كل رأس وتدوير قوس عبر جانب المثلث من كلا الطرفين، وذلك لتكوين قوسين متعارضين وفقًا للإرشادات.
- يمكن ربط نقاط التقاطع بين القوسين باستخدام المسطرة، وسيكون الموضع الذي يتقاطع فيه الخط المستقيم مع جانب المثلث هو نقطة وسط هذا الجانب.
- يمكن الحصول على الجزء الأوسط من المثلث بوضع أي نقطتين في منتصف الجانبين، حيث يكون هذا الجزء نصف طول القاعدة، وهي الجانب الذي لم يتم استخدامه، ويكون الجزء الأوسط والقاعدة خطين متوازيين، بغض النظر عن القطعة الوسطى التي تم إنشاؤها.
أمثلة على نظرية القطعة المتوسطة
يحتوي المثلث DOG على ثلاثة أضلاع؛ الضلع DO طوله 46 بوصة، والضلع DG طوله 38.6 بوصة، والضلع OG الذي يمثل القاعدة طوله 25 بوصة، ومساحة المثلث تساوي 482.5 بوصة مربعة. فما هي النقاط التي ستتم توصيلها لإنشاء جزء متوسط للمثلث؟
يمكننا إنشاء القطعة المتوسطة للمثلث عن طريق ربط نقاط V و Y، ويكون ضلع OG قاعدة المثلث، فما هو محيط المثلث الأصلي DOG؟
الحل:
- مجموع الأطول 46+38.6+25 = 109.6 إنش
- طول القطعة المتوسطة VY = 12.5
- طول الضلع DV= 23
- طول الضلع DV= 19.3
- محيط المثلث الجديد الذي شُكِّلَ من DVY يساوي 54.8
- إذن، يكون مساحة المثلث الجديد الذي يتكون من DVY تساوي 120.625 بوصة مربعة
القطعة المتوسطة في شبه المنحرف
القطعة المتوسطة في شبه المنحرف هي القطعة المستقيمة التي تربط بين نقطتي المنتصف للجانبين غير المتوازيين لشبه المنحرف، وتكون القطعة المتوسطة شبه المنحرفة موازية لمجموعة الخطوط المتوازية في شبه المنحرف، وتساوي متوسط أطوال القواعد.
الجزء الذي يربط بين نقاط المنتصف للجانبين غير المتوازيين هو الجزء المتوسط أو القطعة المتوسطة، كما هو موضح في الشبه المنحرف ABCD أدناه حيث يمثل المقطع PQ الجزء المتوسط.
وطول القطعة المتوسطة من شبه المنحرف هو نصف مجموع أطوال الضلعين المتوازيين ويساوي AB+CD مقسوم على الرقم اثنان .
تعريف ملتقى الإرتفاعات في المثلث
تسمى أيضًا نقطة الوسطى للمثلث، وهي النقطة التي تلتقي فيها متوسطات الأضلاع الثلاثة للمثلث. ويعتبر وسيط المثلث هو الخط المستقيم الذي يمر من رأس المثلث إلى وسط الجانب المقابل للمثلث.
يُطلق على نقطة وسط المثلث اسم مركز ثقل المثلث، إذا كان لديك لوحة مثلثية وحاولت توازنها على إصبعك، بمجرد أن تجد النقطة التي يتوازن فيها المثلث، فهذه هي النقطة الوسطى للمثلث ومركزه في الوقت نفسه.
نحن ندرك أهمية علم المثلثات والرياضيات في حياتنا، حيث نحتاج إلى حساب المثلثات في بناء المنازل وصناعة السيارات، بالإضافة إلى استخدام المفاهيم المثلثية في العلوم التكنولوجية وتطويرها.
لقد استخدم علم المثلثات في مواقع الكواكب والنجوم وفي علم الفلك قبل القرن السادس عشر، وكان ذلك استنادًا إلى مفهوم يتطلب وضع الأرض في وسط عدد من المجالات المتداخلة .
نظريات ثابتة في هندسة المثلثات
هناك العديد من النظريات الثابتة ومن ضمن هذه النظريات هي:
- زوايا القاعدة في المثلث المتساوي الساقين متساويتان في القياس.
- إذا كانت زاويتان في مثلث متساويتين، فإن هذا المثلث هو مثلث متساوي الأضلاع.
- العامود النازل من رأس المثلث المتساوي الساقين على القاعدة ينصف زاوية الرأس وينصف القاعدة.
- إذا كانت إحدى الزوايا الحادة في مثلث قائم الزاوية تساوي ثلاثين درجة، فإن طول الضلع المقابل لهذه الزاوية يساوي نصف الوتر.
- عندما يختلف طول ضلعين في مثلث، يكون الضلع الأطول مقابلًا لزاوية أكبر قياسًا من الزاوية التي يقابلها الضلع الأقصر .
- عندما تختلف زاويتان في مثلث، فإن الزاوية الأكبر لاقيس تتوافق مع الضلع الأطول، الذي يكون أطول من الضلع المقابل للزاوية الأخرى.
- مجموع أي ضلعين في المثلث أكبر من طول الضلع الثالث.
- تنص نظرية فيثاغورس على أن مربع طول الوتر في المثلث القائم يساوي مجموع مربعي طولي الضلع القائمين.
- في المتوازي الأضلاع، كل ضلعين متقابلينمتساويان في الطول، وكل زاويتين متقابلتين متساويتان في القياس .
- إذا كان كل ضلعين متقابلين متساويين في الشكل الرباعي، فإنه سيكون متوازي الأضلاع .
- يعتبر الشكل ذو الأضلاع المتساوية والزوايا المتقابلة متساوي الأضلاع شكلاً متوازيًا الأضلاع.