ما هي حدسية غولدباخ

تعريف حدسية غولدباخ

ما هي فكرة حدسية غولدباخ؟ الإجابة هي أن الحدسية المعروفة باسم حدسية غولدباخ الثلاثية، والتي كتب عنها إلى أويلر في رسالة بتاريخ 7 يونيو 1742، تقول إن كل عدد أكبر من 2 يمكن تمثيله على شكل مجموع ثلاثة أعداد أولية، وتم تأكيد هذه النظرية من قبل ديكسون في العام 200  .

إن النظرية تدور حول دراسة غولدباج للعدد 421، حيث اعتبر أن الرقم 1 هو عدد أولي وهو مصطلح. وأعاد أويلر التعبير عن هذه النظرية، حيث يسمى الشكل المكافئ لهذا الاحتمال التخمين القوي لغولدباخ أو الاحتمال الثنائي لغولدباخ. وتؤكد النظرية أيضا أن جميع الأعداد الصحيحة الموجبة التي تكون أكبر من أو تساوي 4 يمكن تعبيرها كمجموع اثنين من الأعداد الأولية .

إذا كانت اثنتان من الأعداد الأولية q و p موجودتين، فإن مجموعهما p + q يساوي عددا صحيحا معينا 2n، وفقا للرياضي البريطاني هاردي، يمكن إجراء تخمين ذكيا على هذه المشكلة. ومع ذلك، توجد عدة نظريات تتعلق بمشكلة جولدباخ التي لم تثبت بعد، وتعتبر واحدة من مسائل الألفية السبع في الرياضيات والتي لا يستطيع أي شخص عادي تخمين الإجابة. ولذلك، عرض فابر وفابر جائزة بقيمة 1000000 دولار لأي شخص يمكنه إثبات حل مشكلة جولدباخ بشكل صحيح خلال فترة محددة، ولكن لم يفز أي شخص بالجائزة حتى الآن.

وقد قام العالم شارلمان في عام 1939 بإثبات نظرية تفيد أنه يمكن كتابة أي رقم زوجي كمجموع لعدد أولي لا يتجاوز 300000، وقد أثبت العالم دينمهام النظرية ذاتها في عام 1990، وكان هذا الرقم بعيدا جدا عن إثبات وجود عددين أوليين، وادعى العالم بوجورزيلسكي في عام 1977 أنه حدس بوجود غولدبا  .

لكن إثباته للحدسية كانت غير مقبولة بشكل عام ، كما قال العالم شانكس 1985 ، والتخمين القائل بأن جميع الأعداد الفردية> = 9 هي عبارة عن مجموع ثلاثة أعداد أولية فردية يطلق عليها حدسية غولدباخ الضعيف ، أثبت فينوغرادوف 1937 إلى 1954 أن كل عدد فردي كبير ، بما فيه الكفاية هو مجموع ثلاثة أعداد أولية.

وأثبت أيضا أن جميع الأرقام الزوجية تقريبًا ، هي مجموع اثنين من الأعداد الأولية ، وتبين أن جميع الأعداد الزوجية الكبيرة ، بما يكفي هي مجموع عدد أولي وحاصل على أكثر من اثنين من الأعداد الأولية ، بعد أكثر من مرور أكثر من قرنين ، ونصف القرن من ذكر مضمون حدسية غولدباخ ، ولد تم إثبات النظرية من قبل العالم هيلفجر في عام  2014 .

يمكن التعبير عن أي عدد فردي ≥ 7 كمجموعة لعدد أولي وضعف عدد أولي آخر بواسطة الحدسية الخاصة بليفي، والتعبير المكافئ لتخمين الحدسية هو أنه لكل عدد صحيح موجب، يوجد عددان أوليان p و q يحققان ذلك .

مثال على حدسية غولدباخ

بعد التعرف على حدسية غولدباخ، يمكننا الآن الإطلاع على مثال لهذه الحدسية، ويمكن أن يكون هذا المثال على النحو التالي:

إذا كان phi (p) = p-1 لـ p Prime ، فإن phi (phi (q)) = 2 مباشرة (حيث phi (x) هي الوظيفة الكلية). وقد قرر بعض العلماء تسهيل العملية عن طريق تحديد p و q كأعداد أولية في هذه المعادلة لتحديد ما إذا كانت هذه الأرقام موجودة دائما أو لا .

تتضمن المتغيرات الأخرى لنظرية جولدباخ عبارات تقول بأن كل عدد زوجي يساوي أو يتجاوز ٦ هو مجموع اثنين من الأعداد الأولية الفردية، وأن كل عدد صحيح يساوي أو يتجاوز ١٧ هو مجموع ثلاثة أعداد أولية مميزة بالضبط .

لنفترض أن R (n) هو عدد تمثيل عدد زوجي n كمجموع اثنين من الأعداد الأولية، وتنص حدسية غولدباخ على أن هذا العدد يمكن تمثيله بعدد أوليين بالشكل التالي:

قيمة R(n) يساوي حوالي 2Pi_2product_ (k = 2 ؛ p k | n) (p k-1) / (p_k-2) int_2 ^ n (dx) / ((ln x) ^ 2)، حيث Pi_2 هو ثابت الأعداد الأولية المزدوجة، وفقا لتعريف العالم هيلبيرستام في عام 1974

حدسية غولدباخ من وجهة نظر العلماء

بعد تحديد العلماء لحدسية غولدباخ واعتبارها واحدة من مجموعة مسائل رياضية لم يستطيع العلماء حلها، وإثبات أن حدسية غولدباخ هي مجرد تخمين غير مثبت من العلماء حتى الآن، يتم التأكيد على أن كل عدد صحيح زوجي أكبر من اثنين يمكن تحليله إلى مجموع عددين أوليين، وتم اختبار الحدسية حتى 400.000.000.000.000.

ويعتبر علماء الرياضيات حدسية غولدباخ واحدة من أقدم المسائل الرياضية التي لم يتم حلها في نظرية الأعداد وفي كل مجالات الرياضيات، على سبيل المثال:

4 دولار = 2 + 2 دولار

6 دولار = 3 + 3 دولار

8 دولار = 3 + 5 دولار

10 دولار أمريكي = 3 + 7 = 5 + 5 دولار أمريكي

12 دولارًا = 5 + 7 دولار

14 دولارًا = 3 + 11 = 7 + 7 دولارات وهكذا .

اقتراح العالم غولدباخ للعالم أويلر

في عام 1742، كتب العالم الروسي الرياضياتي كريستيان جولدباخ رسالة إلى ليونارد أويلر اقترح فيها النظرية الحدسية التالية:

يمكن كتابة كل عدد صحيح أكبر من 2 كمجموع ثلاثة أعداد أولية، ويتم اعتبار عدد 1 عددًا أوليًا، وقد تم التخلي عن هذه النظرية في نفس اليوم، وسنتحدث عن فرضية غولدباخ حسبما يلي

يمكن كتابة أي عدد صحيح أكبر من خمسة على أنه مجموع ثلاثة أعداد أولية، وكان أويلر مهتمًا بالحدسية، وأجاب بنسخة مماثلة من الحدسية على النحو التالي:

يمكن كتابة كل رقم زوجي يزيد عن 2 كمجموع اثنين من الأعداد الأولية، وأشار إلى أن النظرية مؤكدة تمامًا، على الرغم من عدم قدرته على إثبات هذه الفرضية .

تعد حدسية غولدباخ الضعيفة تقول أن جميع الأعداد الصحيحة الفردية الأكبر من 9 يمكن تمثيلها كمجموع لثلاثة أعداد أولية فردية .

ملاحظات عامة على حدسية غولدباخ

هناك عدة ملاحظات عامة حول حدسية غولدباخ، وأهمها هي ما يلي من النقاط:

الأعداد الأولية ستكون متساوية البعد عن القيم  .

إذا كان العبارة $2n-3$ ليست عددا أوليا، فإن تقسيمات غولدباخ التكهنية تتكون من الأعداد الأولية $p$ و $q$ حيث $p$ و $q$ > 3 و $n > 2$

على الرغم من أنه من السهل قراءة نص حدسية غولدباج، إلا أن استخدام هذا النص في الموضع المناسب يجعله صعبا للغاية، ويبدأ الطالب أو الباحث في طرح الكثير من الأسئلة التي تنشأ في ذهنه عند بدء التطبيق، كما أنه يستخدم أساليب أكثر تعقيدا للوصول إلى نتائج هذه الحدسية، مما يجعلها صعبة للغاية وغير قابلة للفهم من قبل العديد من الأشخاص، وهذا يتعارض مع ما يحدث في حدسية هودج .