تعريف الاحتمال المشروط بالأمثلة
ما هو الاحتمال المشروط
يمكن تعريف الاحتمال المشروط أو الاحتمال الشرطي على أنه احتمالية وقوع حدث معين أو نتيجة ما، وذلك بناء على وقوع أحداث أو نتائج سابقة. وبمعنى آخر، الاحتمال المشروط أو الشرطي يعتمد على النتائج السابقة. يفضل قراءة بحث عن الاحتمال المشروط لفهمه بشكل أفضل، وفيما يلي تمارين محلولة حول الاحتمالات وبالتحديد الاحتمال المشروط
- في حدث أ (A)، مثل قبول شخص ما في الالتحاق بالأكاديمية العسكرية، يوجد فرصة أو احتمالية لحصول هذا الشخص على القبول بنسبة 70٪ .
- يحصل الطلاب المقبولون في الأكاديمية العسكرية على سكن في مهجع صغير. ومع ذلك، ستوفر الأكاديمية سكنًا للطلاب في السكن الطلابي. وستجري عملية اختيار الطلاب الذين سينقلون إلى السكن بنسبة 60٪ فقط فقط من بين جميع الطلاب المقبولين .
- يتمثل الحدثُ في (P)؛ وهو (سكن قبول الطلاب، وسكن المهجع الصغير) = (سكن قبول الطلاب|مقبول) × (مقبول) = (0.60) × (0.70) = (0.48).
كما هو موضح في المثال اعلاه ، بهكذا تعلمنا إن من شأن الاحتمال المشروط أو الاحتمال الشرطي في الأمثلة الموضحة اعلاه إن هناك علاقة بين الحدثين مثل احتمال قبول هذا الشخص في الأكاديمية العسكرية و احتمال حصول الطلاب المقبولين على سكن في السكن الطلابي ، أو حصولهم على سكن في مهجع .
من الممكن أن يتعارض الاحتمال المشروط أو الشرطي مع الاحتمال غير المشروط، فالأخير يشير إلى حدوث حدث غير متوقع أو نتائج أحداث سابقة، أما الأول فله أنواع مختلفة وهي كالتالي
- الأحتمال المشروط و الحدث المتقاطع.
- الأحتمال المشروط و الحدث المتنافي .
- الأحتمال المشروط و الحدث الغير متنافي.
- الأحتمال المشروط و الحدث المكمل .
- الأحتمال المشروط و اتحاد الأحداث .
امثلة على الاحتمال المشروط
وكما ذُكِرَ في الأعلى، فإن الاحتمال المشروط أو الاحتمال الشرطي يتوقف عند الحصول على نتيجة، بالإضافة إلى أن الاحتمالات المشروطة أو الشرطية قد تحتوي على عدة افتراضات .
على سبيل المثال ؛
فرضا أن أخاك يرسم أربعة كرات من الكيس الأحمر والأزرق والأخضر وكل قطعة رخام لها نفس احتمالية السحب ، فما هو الاحتمال المشروط لسحب الرخام الأحمر بعد أن يرسم أخوك الرخام الأزرق بالفعل؟ .
اولا ؛ يبلغ الاحتمال المشروطي لسحب القطعة الزرقاء حوالي 33% ، لأنها تعد نتيجة احتمال واحد من أصل ثلاث أحتمالات . عند افتراضك بحدوث الحدث الأول ، و ستبقى كرتان باقيتان ، إذا افترضت احتمال سحب كل واحدة منهما بنسبة 50% ، ستكون نتيجة احتمال سحب الرخام الأزرق ستكون 16.5%(50%×33%).
شرح قواعد الاحتمال المشروط بالامثلة
هناك العديد من القواعد والقوانين في الرياضيات المتعلقة بالاحتمالات، ومن بينها قواعد وقوانين الاحتمالات المشروطة التي سيتم شرحها فيما يلي
القاعدة الأولى للأحتمال المشروط ؛
إذا كان حدوث الحدث أ واردًا ، فإن القاعدة الأولى هي 0 ≤ (أ) ≤ 1
القاعدة الثانية للأحتمال المشروط؛
مجموع جميع الاحتمالات التي تم العثور عليها يساوي واحد، وذلك بإضافة جميع الاحتمالات الممكنة .
القاعدة الثالثة للأحتمال المشروط ؛
يمكن استخدام الصيغة التالية لإيجاد الحدث المكمل للحدث أ، والذي يشير إلى احتمال عدم وقوع الحدث أ: ل(أ)=١−ل(أ).
القاعدة الرابعة للأحتمال المشروط ؛
يمكن التعرف على احتمالية حدوث الحدث أ والحدث ب بشكل مشترك باحتمالية حدوث الحدثين أ وب معًا، ويمكن العثور على احتمالية حدوث الحدثين أ وب معًا باستخدام هذه الصيغة: (أ ∪ ب) .
القاعدة الخامسة للأحتمال المشروط ؛
يُطلق على احتمالية وقوع الحدث أ واحتمالية وقوع الحدث ب اسم احتمالية تقاطع الحدثين أ و ب، ويمكن الحصول على احتمالية تقاطع الحدثين أ و ب باستخدام هذه الصيغة: (أ ∩ ب).
القاعدة السادسة للأحتمال المشروط ؛
يتم التعبير عن احتمالية حدوث الحدث أ بصيغة ل(أ)−ل (أ ∩ب)، أو باستخدام صيغة احتمالية تقاطع الحدثين أ وب وهي (أ ∩ ب). وذلك للتعبير عن احتمالية حدوث الحدث أ واحتمال عدم حدوث الحدث ب .
في هذه الحالة ستولد احتمالية الأحداث المتنافية ، و احتمالية الأحداث المتنافية هي احتمالية عدم وقوع الحدثين أ و ب معا و في نفس الوقت . على سبيل المثال ؛ لنفرض إن هناك نوعان من الفاكهة أما تكون ( تفاح أو موز) ، لا بد إن يكون هناك نوعا واحد فقط ، فأحتمالية الحصول على التفاح و الموز معا ، احتمالية حدث متنافية تماما .
في حالة الأحداث المتنافرة، فإن احتمالية وقوع أي من الحدثين تساوي مجموع احتمالية وقوع أي منهما، على سبيل المثال، لـ (التفاح ∪ الموز) = لـ (التفاح) + لـ (الموز).
القاعدة السابعة للأحتمال المشروط ؛
تنطبق القاعدة السابعة للاحتمال المشروط بشكل عام على حدثين متناقضين، وهما (أ) و (ب)، وسيتم استخدام هذه القاعدتين
- ل(أ ∩ ب) =0
- ل(أ ∪ ب) = ل(أ) + ل(ب)
القاعدة الثامنة للأحتمال المشروط ؛
تنطبق القاعدة الثامنة للاحتمال المشروط على احتمالية حدوث حدثين غير متنافيين، وفي حالة حدوث الحدث أ والحدث معًا. على سبيل المثال:
لنفترض أن هناك شخصا يحب التفاح والموز معا، وإذا كان هذا الشخص يحب التفاح والموز معا، فهذا يعني أن احتمالية هذه الأحداث غير متنافية تماما. يجب عند حساب احتمالية الأحداث غير المتنافية أن يتم ذلك بدقة وتركيز عال. وبسهولة تأتي عندما نقوم بحساب احتمالية أن يحب هذا الشخص التفاح واحتمالية أن يحب هذا الشخص الموز، فقد بدأنا بحساب احتمالية التقاطع (القاعدة الخامسة للأحتمال المشروط)، ولهذا السبب يجب التركيز عند حساب الحدثين غير المتنافيين. عند حساب الأحداث غير المتنافية، سيتم استخدام هذه القاعدة؛ لـ (أ ∪ ب) = لـ (أ) + لـ (ب) – لـ (أ ∩ ب).
مثال توضيحي عن الاحتمال المشروط
لنفترض إن هناك كيس فيه 5 من حلوى الكرز ، و 5 قطع من الشكولاتة البيضاء ، و أخذ أخاك قطعة من الكيس عشوائيا و أكلها ، أحتمال إن تكون قطعة الحلوى المأخوذة من الكيس ، حلوى كرز يساوي ( 5 على 10 ، و 2 على 1) ،و احتمال إن تكون قطعة حلوى المأخوذة من الكيس ، من حلوى الشكولاتة البيضاء يساوي ،(5 على 10 ، و 2 على 1). و لكن إذا اردنا حساب احتمال حصول الشخص التالي على نكهة اخرى ، فإذا كان اخاك قد تناول حلوى الكرز سابقا فأن نسبة احتمال حصول الشخص التالي على قطعة من حلوى الكرز يساوي ،(4 على 9) احتمال إن تكون قطعة الحلوى التالية هي حلوى الشكولاتة البيضاء تساوي (5 على 9).