ما هو المدى والوسيط والمنوال في الرياضيات .. بالأمثلة

قياس النزعة المركزية

يعد مقياس النزعة المركزية أحد المفاهيم الإحصائية التي ظهرت في أواخر العشرينيات من القرن الماضي، وهو مجموعة من القيم المركزية أو النموذجية التي تستخدم في توزيع الاحتمالات، وفي بعض الأحيان يشار إليها باسم المتوسطات أو مراكز التوزيع.

تقسم تلك المقاييس إلى عدة أقسام، منها المدى والوسيط والمتوسط والمنوال. وأهم وأكثر قسم من مقاييس النزعة المركزية استخداما هو المتوسط، حيث يتم من خلاله حساب الميل الوسيط لمجموعة محددة من الأعداد النظرية.

تستخدم مقاييس النزعة المركزية للدلالة على ميل الإعداد أو البيانات الكمية للتجمع حول بعض القيم المركزية. تلخص هذه المقاييس العينات أو المجتمعات الإحصائية بقيمة واحدة فقط تمثل منتصف توزيع البيانات.

تظهر فائدة مقاييس النزعة في العديد من المجالات مثل العلوم المالية لحساب قيمة دخل الفرد في دولة أو مدينة ما، والبحث، والتعليم، والرياضيات، والاقتصاد، بالإضافة إلى فحص البيانات الفئوية.

المتوسط

يعد المتوسط أحد أهم مقاييس النزعة المركزية، ويستخدم في الإحصاء وحساب المتوسط وتحديد النقطة التي تميل إليها جميع النقاط. وبشكل آخر، يتمثل المتوسط في مجموع الأعداد المعطاة في المسألة مقسومة على عددها، ويتم تعبير عن المتوسط بالصيغة الرياضية التالية: المتوسط = مجموع الأعداد / عددها.

طريقة استخراج المتوسط: نجمع جميع الأعداد المذكورة في السؤال، ثم نقسم نتيجة الجمع على عددها، والناتج هو المتوسط الحسابي للأعداد.

الأمثلة:

المثال الأول: يتم حساب المتوسط الحسابي لمجموعة الأعداد (6، 2، 7، 2، 9) بجمع قيم الأعداد ومن ثم قسمة الناتج على عددها، وهو: (9+2+2+7+6) = 26، وبعد القسمة على عددها الإجمالي تكون الإجابة 5.2

المثال الثاني: يتم حساب المتوسط الحسابي لمجموعة الأعداد (8، 7، 9، 11، 9) بجمع القيم (9+11+9+7+8)=44 وقسمة الناتج على عددها 44/5=8.8

المثال الثالث: احسب المتوسط الحسابي لمجموعة الأعداد التالية (110، 90، 80، 110، 50) بجمع الأرقام (50+110+80+90+110) = 440، ثم قسم الناتج على عددها للحصول على 440/5 = 88

المنوال

المنوال يعني القيمة المتكررة في مجموعة الأعداد المتاحة في السؤال، وفي بعض الأحيان يكون هناك أكثر من قيمة متكررة، ويطلق في هذه الحالة على المنوالات الإضافية اسم متعدد المنوالات، وإذاكان هناك منوالان يطلق عليه اسم “ثنائي المنوال.

يمكن استخدام المنوال بشكل مفيد عند فحص البيانات الفئوية مثل نماذج العربات أو نكهات العلكة، حيث يمكن أن يكون المنوال نفس الناتج المتوسط أو الوسيط في بعض الحالات. يجب الإشارة إلى أن برنامج Excel يحتوي على دالة خاصة لحساب المنوال بطريقة بسيطة وسريعة جدًا.

يُعرف المنوال في الرياضيات بأنه القيم المتكررة في السؤال ويمثله رمزًا رياضيًا.

طريقة استخراج المنوال:  أولا، يجب إعادة كتابة الأعداد المعطاة في السؤال بترتيب تصاعدي، أي من الأصغر إلى الأكبر. ثم، نقوم بتحديد الأعداد المتكررة أكثر من مرة، والعدد الذي يتكرر هو المرجع.

الأمثلة:

المثال الأول: يتمثل قيمة المنوال في السؤال التالي في هذه الأرقام: 7، 9، 3، 8، 5، 2، 5، 1. يتم إعادة ترتيب هذه الأرقام من الأصغر إلى الأكبر (1، 2، 3، 5، 5، 7، 8، 9)، والعدد المتكرر هو الرقم 5، لذلك يكون المنوال = 5

المثال الثاني: يتمثل المنوال في القيمة الأكثر تكرارًا في مجموعة الأعداد التالية (11، 16، 12، 13، 18، 11، 16)، وبعد إعادة ترتيب الأعداد من الأصغر إلى الأكبر (11، 11، 12، 13، 16، 16، 18)، يتضح أن الأعداد المتكررة هي 11 و 16، لذلك يكون المنوال=11، 16

ملاحظة: إذا وجدت رقمين متكررين في المسألة، فسوف يتم تسميته بالمنوال الثنائي.

المثال الثالث: يتمثل قيمة المنوال في السؤال التالي (200، 800، 300، 500، 200، 800) في إعادة ترتيب الأعداد من الأصغر إلى الأكبر (200، 200، 300، 500، 800، 800)، والأعداد المتكررة في هذه المجموعة هي 200 و 800، لذلك فإن المنوال هو 200 و 800

الوسيط

الوسيط هو أحد مقاييس النزعة المركزية، ويتم استخدامه في تحليل البيانات الإحصائية وفهم دلالاتها، وأيضا لحساب متوسط رواتب العاملين في الشركة، وحساب متوسط دخل الفرد داخل الدولة. والمقصود به هو القيمة العددية الوسطى التي يتم استخراجها بعد ترتيب الأعداد من الأصغر إلى الأكبر أو العكس، والقيمة التي تقع في وسط الأعداد هي الوسيط.

يختلف الوسيط الذي يستخرج من خلاله الحل بناءً على الأرقام المعطاة في السؤال، حيث يختلف وسيط القيم الزوجية عن وسيط القيم الفردية.

استخراج الوسيط من القيم الفردية: أولا، نقوم بإعادة كتابة الأعداد المعطاة في السؤال من الأصغر إلى الأكبر أو العكس. ويكون الوسيط هو العدد الذي يقع في وسط مجموعة الأعداد، أي أنها تكون القيم المتوسطة بين قيمة أكبر منها وقيمة أصغر منها.

الأمثلة:

المثال الأول: لحساب الوسيط من بين الأعداد (8، 7، 9، 11، 19)، يجب إعادة ترتيب الأعداد من الأصغر إلى الأكبر أو العكس (7، 8، 9، 11، 19). ثم يتم اختيار العدد الذي يقع في الوسط، وهو 9، وبالتالي فإن الوسيط = 9. يجب ملاحظة أن الرقم 9 يأتي بعد الرقم الأصغر منه، ويأتي قبل الرقم الأكبر منه.

المثال الثاني: لحساب الوسيط من الأرقام التالية (11،16، 12، 13، 18، 16)، يتم إعادة ترتيب الأرقام من الأصغر إلى الأكبر أو العكس، فتصبح (11، 12، 13، 16، 16، 18)، ثم يتم اختيار العدد الذي يقع في الوسط، وهو 13، وبالتالي يكون الوسيط = 13

استخراج الوسيط من القيم الزوجية: الوسيط يشير إلى مجموع العددين المتوسطين عندما يقسم على 2، وهو بمعنى آخر الوسط الحسابي للعددين الواقعيين في الوسط.

الأمثلة:

المثال الأول: جد قيمة الوسيط من القيم الآتية (200، 800، 300، 500، 200، 800) نقوم بترتيب الإعداد من الأصغر إلى الأكبر أو بالعكس (200، 200، 300، 500، 800، 800) لاحظ أن هناك قيمتين في الوسط 300، 500 نقوم بجمع هذين القيمتين ثم نقوم بتقسيمهم على اثنان 300+500=800 800/2=400 إذا الوسيط=400

المثال الثاني: لإيجاد الوسيط من بين الأرقام التالية (7، 9، 3، 8، 5، 2، 5، 1)، نقوم بترتيب الأرقام من الأصغر إلى الأكبر أو بالعكس (1، 2، 3، 5، 5، 7، 8، 9)، ثم نحسب القيمتين في الوسط، 300 و500، ونجمعهما، ثم نقوم بتقسيم المجموع على اثنين (800/2 = 400)، وبالتالي فإن الوسيط يساوي 400

المثال الثاني: لحساب الوسيط من الأعداد التالية (7، 9، 3،8، 5، 2، 5، 1)، نقوم بترتيب الأعداد من الأصغر إلى الأكبر أو العكس، مثلاً (1، 2، 3، 5، 5، 7، 8، 9)، ثم نجد القيمتين في الوسط ونجمعهما، ونقسم الناتج على 2، مثلاً (5+5=10، 10/2=5)، فإن الوسيط يساوي 5

المدى

المدى هو الفرق بين القيمة الأكبر والقيمة الأصغر، ويؤثر المدى فقط على هاتين القيمتين، دون التركيز على القيمة الوسطى أو التوزيع الإحصائي الآخر. وبالتالي، المدى هو الأسهل في حساب النزعة المركزية ويعتبر مقياسًا سهلًا لهذه النزعة.

يتم استخدام مفهوم المدى في قياس درجة الحرارة وحساب معدلات النتائج. يجب الإشارة إلى أنه إذا كان المدى كبيرًا، فإن القيم في السلسلة ستكون متباعدة وغير متجانسة، بينما إذا كان المدى صغيرًا، فإن القيم ستكون متجانسة وقريبة من بعضها البعض.

طريقة استخراج المدى: يجب أولا إعادة ترتيب الأعداد من الأكبر إلى الأصغر، ثم يتم طرح القيمة الأكبر من القيمة الأصغر، ويكون الناتج هو قيمة المدى.

الأمثلة:

المثال الأول: لحساب المدى من مجموع القيم التالية (200، 800، 300، 500، 200، 800)، يتم ترتيب الأرقام من الأصغر إلى الأكبر (200، 200، 300، 500، 800، 800) ثم يتم طرح القيمة الأكبر من القيمة الأصغر (800-200=600)، لذلك فإن المدى = 600

المثال الثاني: لحساب المدى من القيم التالية (11، 12، 13، 16، 16، 18)، نقوم بترتيبها من الأصغر إلى الأكبر ثم نحسب فرق القيمة الأكبر والأصغر، وبذلك يكون المدى = 7

المثال الثالث: لتحديد المدى من الأعداد (8، 7، 9، 11، 19)، نقوم بترتيبها من الأصغر إلى الأكبر وهي (7، 8، 9، 11، 19)، ثم نقوم بطرح القيمة الأكبر من القيمة الأصغر وهي 19 – 7 = 12، وبالتالي فإن المدى يساوي 12.