هل عملية الضرب عملية ابدالية ام جمع متكرر ؟

مفهوم عملية الضرب

الضرب والجمع هما العمليتان الحسابيتان الأساسيتان، ويمكن اعتبار الجمع المتكرر هو نوع من الضرب، حيث يتم إضافة عدد متساوٍ مع نفسه عدة مرات. والسبب في ذلك هو أنه إذا تم تكرار نفس العدد، فيمكن كتابته بشكل عملية ضربية.

على سبيل المثال: 2 + 2 + 2 + 2 + 2

يمكن كتابة هذا الإضافة بشكل آخر على أنه 2 × 5.

وبنفس الطريقة التي يتم حل مسألة الضرب بالجمع المتكرر، يتم تجميع العدد بشكل متكرر وإضافة نفس العدد مرات عدة لإيجاد الإجابة.

فيما يلي بعض الأمثلة على الجمع المتكررة:

• 3+3+3 = 9 ، 3 × 3 = 9
• 2+2+2+2 = 8 ، 2 × 4 = 8
• 4+4+4 = 12 ، 4 × 3 = 12
• 5+5+5+5 =20 ، 5×4 =20

الإضافة المتكررة مفيدة أيضا في تعلم حقائق الضرب، على سبيل المثال، إذا كان الشخص غير عارف بنتيجة ضرب 7 × 3، فقد يكون من الأسهل حساب 7 × 3 عن طريق كتابة 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 أو 7 + 7 + 7، والإجابة ستكون نفسها.

يمكن أن يكون الجمع بين الأعداد مفيدًا أيضًا مع الأعداد الكبيرة مثل 5 × 40، حيث يمكن بسهولة كتابة 40 + 40 + 40 + 40 + 40 ثم إضافتها على العشرات.

هل عملية الضرب عملية ابدالية

تتعامل الخاصية التبادلية مع العمليات الحسابية للجمع والضرب، ويعني ذلك أن تغيير ترتيب أو موضع الأرقام أثناء جمعها أو ضربها لا يؤثر على النتيجة النهائية.

على سبيل المثال، 4 + 5 تساوي 9، و 5 + 4 تساوي 9.

تؤثر ترتيب الأرقام المضافة على المجموع بأي شكل، ونفس الفكرة تنطبق أيضًا على الضرب، ولكن لا ينطبق المبدأ التبادلي على الطرح والقسمة، لأن النتائج النهائية تختلف تمامًا عند تغيير ترتيب الأرقام.

المقصود بمفهوم التبادلية هو التحول أو التنقل، وبالتالي فإن الخاصية التبادلية تتعامل مع تحريك ونقل الأرقام. لذلك، إذا لم يؤثر تغيير ترتيب العمليات على نتيجة العملية الحسابية، فإن هذه العملية الحسابية تعتبر تبادلية. بغض النظر عن ذلك، هناك خصائص أخرى للأرقام مثل الخاصية الترابطية والخاصية التوزيعية، وتختلف هذه الخصائص عن الخاصية التبادلية للأرقام.

تشير خاصية التبادلية في الإضافات إلى أن تغيير ترتيب الإضافات لا يؤثر على قيمة المجموع، وقد تحتاج بعض الحالات إلى إضافة أكثر من رقم واحد.

تظل الخاصية التبادلية صحيحة حتى عند إضافة أكثر من عددين، ويمكن أن يكون ذلك واضحًا من خلال هذا المثال:

• 10 + 20 + 30 + 40 = 100
• 40 + 30 + 20 + 10 = أيضًا 100.

في كلتا الحالتين، يكون المجموع 100 عند تغيير ترتيب الأرقام، أي أنه إذا كانت “أ” و “ب” رقمين، فيمكن تمثيل خاصية التبادلية للأرقام .

هل عملية الضرب عملية جمع متكرر

رغم أن الإجابة قد تبدو واضحة بالنسبة لك، إلا أن هذه مسألة يثير جدلاً في تعليم الرياضيات حول صحتها وكيفية تدريسها.
عندما تؤدي عمليتان إلى نفس النتيجة، فإن ذلكلا يعني بالضرورة أن هاتين العمليتين متطابقتين، فالادعاء الرئيسي هو أن عمليات الضرب والجمع تختلف جوهريًا، ولكنها ترتبط ببعضها البعض على الأرقام.
الإضافة هي عملية تتوافق مع الدمج في العالم الحقيقي، بينما الضرب هو عملية تتوافق مع القياس.
يرغب مؤيدو هذه النظرة في استخدام الضرب كأداة فعالة لإيضاح الإضافة المتكررة في حل المسائل، ولكنهم يرون خطأ في تعريف الضرب كجمع متكرر.
هناك وجهة نظر أخرى تؤكد عدم صحة هذا الزعم، إذ أن عمليات الجمع والضرب المتكررة لا تحدث فقط للحصول على نفس النتيجة، وإنما تظهر النتيجة نفسها بسبب التماثل بين الأرقام.

لدينا هاتان العمليتان على الأعداد الصحيحة:

• الجمع 3 + 2 = 5
• الضرب 3 × 2 = 6.

في بعض الأحيان، يتم فهم الجمع المتكرر علىأنه طريقة لتعليم الضرب، حيث يتم تحويل المجاميع إلى مجموعة متكررة من الإضافات.

ببساطة، الجمع المتكرر هو إضافة مجموعات من الأرقام معًا عدة مرات، وهو نوع من الضرب الذي يتم استخدامه لتعليم الأطفال آلية الضرب.

على سبيل المثال، قد يرغب المعلم في مساعدة الطفل في إيجاد الإجابة على `4×4`.

بدلاً من الاعتماد على جداول الضرب، سيتم سؤال الطالب عن 4 مجموعات من 4.

بعد ذلك، يمكن للطفل كتابة المجموع باعتباره `4 + 4 + 4 + 4`، وهو الجمع المتكرر.

يمكننا مشاهدة نفس الشيء مرة أخرى في فيلم “5×2“.

يمكننا الحصول على نفس الإجابة، وهي عشرة، إذا قمنا بكتابة العملية بشكل آخر مثل “5 + 5” أو “2 + 2 + 2 + 2 + 2″، أو إذا قمنا بجمع الرقم خمسة مرتين، أو جمعنا الرقم اثنين معًا خمس مرات.

طريقة عملية الضرب

عندما نتعلم كيفية الضرب، نتعلم تقسيم المعادلة إلى أجزاء، بدايةً نحصل على حاصل الضرب باستخدام القيمة المكانية للآحاد، ثم ننتقل إلى العشرات، وأخيرًا المئات.

في النهاية، يتم تلخيص كل شيء والوصول إلى الإجابة، وتعمل هذه الطريقة بشكل رائع ولكنها ليست دائما الأكثر فعالية، ويمكن استخدام بعض الطرق الأخرى لتسريع العملية.
في هذه الأمثلة، يتم استخدام أرقام مكونة من 2 و 3 أرقام، وتعمل هذه الطرق أيضاً مع أعداد أكبر، وهي:

• الطريقة الشبكية

في هذه الخطوة، سوف يتم رسم شبكة وتقسيم كل مربع بخط قطري، ثم كتابة رقم على الطول في الجزء العلوي والآخر على الجانب الأيمن، ووضع رقم واحد في كل عمود أو صف.

• الطريقة الخطية

تعمل هذه الطريقة بشكل جيد جدًا مع الأعداد المكونة من 2 و 3 أرقام عندما تكون الأرقام صغيرة، وتصبح معقدة إلى حدٍ ما عندما يكون لديك العديد من الخطوط المتقاطعة.
قم برسم سلسلة من الخطوط المتوازية التي تمثل كل رقم من الأرقام، ويجب أن تكون هذه الخطوط بزاوية تقريبية 45 درجة وتحتوي على فجوة بين كل رقم.

خصائص عملية الضرب

هناك مجموعة من الخصائص التي تنطبق على عملية الضرب ومنها:

• خاصية الضرب التبادلية

تنص الخاصية التبادليةللضرب على أن الإجابة تبقى كما هي عندما يتم ضرب الأرقام بأي ترتيب، ولا يؤدي تغيير ترتيب الضرب إلى تغيير الناتج.

على سبيل المثال، دعنا نفكر في العددين 3 و5.

عند ضرب 5 في 3 نحصل على 15

• خاصية الاستبدال من الضرب

عند عكس ترتيب الضرب، نحصل الآن على 5 مجموعات من 3

أي 5 × 3 = 15

خاصية التبادلية للضرب 2

نظرًا لأن الإجابة هي نفسها في كلتا الحالتين، يمكننا القول إن عملية الضرب هي تبادلية.

• خاصية التجميع

تشير الخاصية التجميعية في عملية الضرب إلى أنه إذا قمنا بضرب أي ثلاثة أرقام معًا، فإن الناتج أو حاصل الضرب سيكون هو نفسه دائمًا بغض النظر عن الترتيب الذي نضع به الأرقام.

على سبيل المثال: دعونا نفكر في أي ثلاثة أعداد، فلنختار 2 و 3 و 4 ونقوم بضربهم.

1. الحالة الأولى: يمكننا تجميع الأرقام بأنها 2 × (3 × 4)
   ستكون إجابتنا: 2 × (3 × 4) = 2 × 12 = 24
2. الحالة الثانية: يمكن تجميع الأرقام على هيئة (2 × 3) × 4
   ثم ستكون إجابتنا: (2 × 3) × 4 = 6 × 4 = 24

الملكية الترابطية للضرب 2

كالعادة في كلا الحالتين، الإجابة التي نحصل عليها هي نفسها بغض النظر عن الترتيب الذي يتم به ضرب الأرقام، وبالتالي فإن الضرب يعتبر عملية ترابطية.

• خاصية التوزيع في الضرب

تنص الخاصية التوزيعية للضرب على أنه يمكن توزيع الضرب على الجمع والطرح.

تساعد هذه الخاصية في حل الأسئلة التي تحتوي على الأقواس، كما أنها تسرع من عملية حساباتنا العقلية.

لنفترض، على سبيل المثال، أن لدينا الحساب 2 × (3 + 1)

الحالة الأولى إذا أضفنا أولاً:

ثم ستكون إجابتنا: 2 × (3 + 1) = 2 × 4 = 8

الحالة الثانية إذا وزعنا الضرب على الجمع، سيكون حاصل الضرب:

2 × (3 + 1) = 2 × 3 + 2 × 1 = 6 + 2 = 8

كما هو الحال في كلا الحالتين، فالإجابة التي نحصل عليها هي نفسها، وبالتالي فإن الضرب يكون توزيعيًا.

• خاصية هوية الضرب

ينص خاصية هوية الضرب على أنه إذا قمت بضرب أي رقم في 1، فستكون الإجابة دائمًا نفس الرقم.

لنفترض على سبيل المثال أننا نختار أي رقم ونقوم بضربه في 1.

•  3 × 1 = 3
• 7 × 1 = 7