هل تعلم ” كم مجموع زوايا المثلث ؟ “

تعريف المثلث

المثلث هو شكل هندسي له ثلاثة رؤوس متصلة ببعضها بواسطة أضلاع، وعند نقطة اجتماع كل ضلعين يكون هناك زاوية يمكن أن تكون حادة أو قائمة أو واسعة، وعادة ما يتم تسمية رؤوس المثلث بأحرف مستقلة مثل أ وب وج، وتسمى الأضلاع عن طريق تجميع حرفي الرأس أ والرأس ب معا كما يسمى الضلع الواصل بين الزاويتين ب وج ب بج وهكذا.

مجموع زاويا المثلث (°180)

تعد الرياضة التي تهتم بدراسة حساب زوايا المثلثات وكذلك المثلثات وقانون حساب المثلثات من أقدم القوانين التي عرفها العالم، والتي استخدمها المصريون أثناء بناء أهرامات الجيزة وأيضا عددا من المعابد الأخرى، والمثلث كشكل هندسي له عدد من الخصائص المهمة، بما في ذلك أن مجموع زواياه دائما ما يكون يساوي 180 درجة، وتساعدنا هذه الخاصية على تحديد قياس أي زاوية مجهولة في المثلث من خلال معرفة زوايتين أخريين.

• مثال

إذا كان لدينا مثلث أ ب ج، وزاوية أ تساوي 80 درجة وزاوية ب تساوي 60 درجة، يمكننا التنبؤ بقيمة زاوية ج والتي تكون 40 درجة، ونرمز لها في المعادلة بالرمز X كما يلي

180∘=X+60∘+80

180∘=X+140

X=180-140

X=40

يمكننا التحقق من النتيجة من خلال إعادة جمعها مرة أخرى

180∘=40∘+60∘+80

يمكن إثبات حقيقة أن مجموع زوايا المثلث يساوي 180 درجة عن طريق اتباع الخطوات التالية:

• ارسم مثلثًا وسمه باسم أي حرف مثل أ ب ج.
• يرسم خط مستقيم يمر عبر رأس المثلث ويوازي قاعدته، ويتم تسميتها بالنقطة أ.
• يظهر الرسم أن قيمة الزاوية بين الخط المستقيم والضلع(أج) تساوي قيمة الزاوية (ج)، وذلك عن طريق التبادل.
• يجب أن يكون قياس زاوية الخط المستقيم الموجود بين الضلع (أ) والضلع (ب) مساويًا لقياس زاوية (ب)، وذلك بالتبادل.
• إجمالي قياس زوايا الثلاثة يكون 180 درجة في النهاية، لأنها تشكل زاوية مفتوحة بقياس 180 درجة.

أهم أنواع المثلث

المثلث له أنواع مختلفة تختار بناء على زواياه، وهناك ثلاثة أنواع مختلفة من المثلث وهي:

• المثلث القائم الزاوية

يشير المثلث القائم إلى المثلث الذي يحتوي على زاوية قائمة واحدة، وذلك لأن تركيبة المثلث وعدد زواياه لا تسمح بوجود أكثر من زاوية قائمة، وإلا فإن شكله الهندسي سيتغير، وبمعرفة أن المثلث قائم الزاوية، يمكننا استنتاج ما يلي:

• قياس إحدى زواياه هو 90

نظرًا لأن مجموع زوايا المثلث هو 180 درجة، فإن مجموع الزاويتين الباقيتين هما 90 درجة أيضًا، ويمكن بمعرفة أحد الزاويتين معرفة الأخرى بسهولة تامة.

• يعد الضلع المقابل للزاوية القائمة هو أطول أضلاع المثلث.
• المثلث المتساوي الساقين

عندما نعلم أن المثلث متساوي الساقين فإننا نستنج ما يلي:

• يوجد ضلعان في المثلث لهما طول متساوٍ.
• يحتوي المثلث على زاويتين لهمنفس القياس.
• المثلث المتساوي الأضلاع

عندما نعلم أن المثلث متساوي الأضلاع، يمكننا التعرف على المزيد من المعلومات حوله، مثل:

• كل أضلاع المثلث لها نفس الطول.
• كل زوايا المثلث تساوي 60 درجة

يعتبر هذا تطبيقا لقانون حساب زوايا المثلث عند معرفة الأضلاع، حيث يبلغ مجموع زوايا المثلث 180 درجة، وكل زاوية في المثلث متساوية، لذلك يمكننا تقسيم 180 على 3 لمعرفة قيمة كل زاوية والتي تكون مساوية لـ 60 درجة.

يمكن أيضا تصنيف المثلث حسب أنواع زواياه إلى ثلاثة أنواع:

•  مُثلث حاد الزاويا Acute triangle

يتميز بأن كل زواياه حادة بحيث يكون قياس كل زاوية أقل من 90 درجة.

• مُثلث قائم الزاوية Right triangle

المثلث هو شكل هندسي يحتوي على زاوية واحدة قائمة فقط، حيث إذا كان له أكثر من زاوية قائمة فلن يكون مثلثًا، ومقاس هذه الزاوية القائمة هو 90 درجة.

• مثلث منفرج الزاويةObtuse triangle

هو مثلث يحتوي على زاوية واحدة منفرجة، أي أن قياسها يزيد عن 90 درجة.

حساب محيط ومساحة المثلث

• محيط المثلث

يقصد به محيطه الخارجي وهو مجموع أطوال أضلاعه.

• لدينا مثال على مثلث متساوي الأضلاع حيث يكون طول ضلعه 5 سم ويسمى أ، ب، ج

محيطُ المثلثِ أ ب ج = أ ب + ب ج + أ ج

محيط المثلث أ ب ج = 15

محيط المثلث أ ب ج =15

• مساحة المثلث

لحساب مساحة المثلث، يتم الرجوع إلى مساحة المستطيل، حيث تساوي مساحة المستطيل ضرب قاعدته في ارتفاعه. وإذا قمنا بقسم المستطيل بخط عرضي، فإنه يتكون من مثلثين قائمي الزاوية، وبالتالي يكون حجم المثلث يساوي نصف حجم المستطيل وهو نصف قاعدته مضروبًا في ارتفاعه.

الزوايا الخارجة عن المثلث

يمكن أن نحصل على زاوية خارجية للمثلث عندما نرسم خطًا مستقيمًا يبدأ من أحد أضلاع المثلث، بحيث تكون الزاوية الخارجية تلك هي الزاوية التي تتشكل بين الخط المستقيم والضلع المجاور له في المثلث.

• لنفترض أن لدينا مثلث أ ب ج ونريد حساب زاويته الخارجية كمثال.

نرسم خط مستقيم يمتد من أحد الأضلاع، ولنفرض أن هذا الضلع هو الضلع ب ج، ويمتد هذا الخط عبر النقطة ج. وفي هذه الحالة، تكون الزاوية الخارجية هي الزاوية المحصورة بين الخط الممتد الجديد والضلع أ ج، ويساوي قياس هذه الزاوية مجموع قياس الزاويتين الأخريين البعيدتين عنها داخل المثلث، وهما في هذه الحالة أ وب.

أمثلة متنوعة عن زوايا المثلث

لتوضيح كيفية حساب زوايا المثلثات بشكل أفضل، سنعرض بعض الأمثلة المحلولة التي توضح الطريقة

•  المثال الأول

احسب قياس زاوية أ في المثلث أ ب ج، إذا كانت زاوية ب تساوي 40 درجة وزاوية ج تساوي 20 درجة.

والحل هو مجموع الزوايا الداخلية لأي مثلث يساوي 180 درجة، وعليه: أ + (40 + 20) = 180، س + 60 = 180، س = 180 – 60، ومن ثم: س = 120 درجة.

• المثال الثاني

إذا كانت زاوية المثلث قياسها 80 درجة والزاوية الثانية قياسها 60 درجة، فما هو قياس الزاوية الثالثة؟

الحل كالآتي: يساوي مجموع زوايا المثلث 180 درجة، لذلك فإن س+80+60=180، وبالتالي فإن س=180-140، ويكون النتيجة أن س=40 درجة.

• المثال الثالث

– إذا كان لدينا مثلث يحتوي على زاوية قياسها 30 درجة وزاوية أخرى قياسها 50 درجة، فما مقدار الزاوية الثالثة

الحل هو: نظرا لأن مجموع زوايا أي مثلث يساوي 180 درجة، ونرمز للزاوية المجهولة بالرمز س، فإنه يمكننا كتابة المعادلة التالية: س + 30 + 50 = 180، وبالتالي س = 180 – 80، ومنها: س = 100 درجة، وسيكون المثلث ذو زاوية منفرجة.

• المثال الرابع

المثلث ب ج د هو مثلث منفرج الزاوية، ويحتوي على زاوية منفرجة بقياس 110 درجة وتسمى د، وزاوية أخرى تسمى ج بقياس 40 درجة، ويجب حساب قياس الزاوية د؟

الحل هو: إجمالي زوايا المثلث هو 180 درجة، ومنها د + 110 + 40 = 180، وبالتالي د = 180 – 150، ويكون النتيجة أن د = 30 درجة.

• المثال الخامس

في المُثلث د ه، يبلغ قياس الزاوية د 18 درجة، ويبلغ قياس الزاوية ه 39 درجة، فما هو قياس الزاوية و في هذا المثلث؟

الحل هو: مجموع زوايا المثلث الداخلية هو 180 درجة، وعند التعويض في القانون، يكون و + 18 + 39 = 180، و = 180-57، وبالتالي و = 123 درجة.

• المثال السادس

يحتوي المثلث أ ب ج على الزاوية أ وقياسها 3س-4 درجة، والزاوية ب وقياسها 2س+2 درجة، والزاوية ج وقياسها 5س-12، ويجب تحديد أرقام قياسات زوايا المثلث الحقيقية

الحل كالآتي: يساوي مجموع زوايا المثلث 180 درجة، ولذلك: (3س-4) + (2س+2) + (5س-12) = 180. وعند جمع المتشابهات في المعادلة، نحصل على: 10س-14 = 180، ومنها 10س = 194، وبتعويض قيمة س في الزوايا، نحصل على قياس زاوية أ = 54.2 درجة، وقياس زاوية ب = 40.8 درجة، وقياس زاوية ج = 85 درجة. 

مجموع قياسات الزوايا الداخلية للمثلث تساوي

مجموع قياسات الزوايا الداخلية للمثلث تساوي 180 درجة ، ويمكن توضيح ذلك من خلال النظر إلى الصورة التالية:

يتوازى الخط المسمى بـ (x) مع قاعدة المثلث (BC)، ونظرًا لأن تقاطع خطين متوازيين بواسطة مستقيم يشكل زوايا متناظرة وزوايا رأسية، فإن الزوايا التي لونها متشابه متساوية، مثلًا الزوايا ذات اللون الأحمر لها نفس القياس.

عند ربط زوايا الرأس الثلاثة A معًا، يمكننا ملاحظة أنها تشكل خطًا مستقيمًا، وبالتالي فإن مجموعها الإجمالي يساوي 180 درجة.

يمكن حساب قياسات كل زاوية بشكل منفصل باستخدام حقيقة أن مجموعها الإجمالي يساوي 180 درجة.